Irisan Kerucut – Media Masyarakat

Irisan kerucut adalah irisan sebuah kerucut dgn suatu bidang yg membentuk kurva dua-dimensi. Jenis kurva yg dapat terbentuk yakni lingkaran, parabola, elips, & hiperbola.

irisan kerucut parabola elips hiperbola

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org lainnya:

Persamaan & Pertidaksamaan Logaritma

Dimensi Tiga

Daftar Isi

Lingkaran

Lingkaran yakni tempat kedudukan titik-titik yg berjarak sama, yg disebut jari-jari bulat, ketitik tertentu yg disebut pusat bulat. Persamaan lazim pada bundar sebagai berikut :

$x^2 + y^2 + Ax + By + c = 0$

dengan

Pusat bulat $(-\frac 1 2 A, -\frac 1 2 B)$

Jari-jari $\sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C$

Persamaan lingkaran jika titik pusatnya diketahui:

irisan kerucut lingkaran

Posisi titik $P(x_1,x_2)$ kepada bundar dgn persamaan $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ adalah:

P di dlm lingkaran kalau $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 < r^2$

P di lingkaran jikalau $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = r^2$

P di luar bulat jikalau $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 > r^2″ class=”latex” /></li> </ul> <img decoding=$

Posisi titik $P x_1,x2$ terhadap lingkaran dgn persamaan $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ diputuskan dgn Kuasa K, dimana $K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C$ .

P di dlm bundar kalau $K < r^2$

P di bundar jika $K = r^2$

P di luar bulat jika $K > r^2″ class=”latex” /></li> </ul> Posisi garis <img decoding=$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ memiliki tiga kemungkinan titik potong. Hal ini diputuskan oleh diskriminan $D = b^2 - 4ac$ dr persamaan kuadrat sekutu antara garis & lingkaran. Sehingga:

$D > 0″ class=”latex” />, garis memotong bundar di dua titik</li> <li><img decoding=$ , garis menyinggung bundar di satu titik

$D < 0$ , garis tak memotong bundar.

posisi garis terhadap lingkaran

Garis singgung yg melalui titik singgung $(x_1,y_1)$ dapat ditentukan persamaan garisnya dgn cara:

garis singgung yg melewati lingkaran

Persamaan garis singgung dgn gradien m yg menyinggung lingkaran mampu ditentukan dgn cara:

persamaan garis singgung lingkaran dgn gradien m

Garis singgung dgn gradien m akan sejajar dgn garis h $(y = mx_h + n)$ bila $m = m_h$

Garis singgung dgn gradien m akan tegak lurus dgn garis h $(y = mx_h + n)$ jika $m = \frac 1 m_h$

Parabola

Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yg jaraknya terhadap titik tertentu, yg dinamakan titik fokus (f), & garis tertentu, yg dinamakan direktriks (d), selalu sama. (alasannya e = 1)

irisan kerucut parabola

Berikut yaitu macam-macam persamaan parabola:

Titik Puncak	Titik Fokus	Persamaan Parabola	Keterangan
$(0,0)$	$(p,0)$	$y^2 =4px$	Kurva terbuka kekanan Persamaan direktriks: $x = -p$ Sumbu simetri: $y = 0$ Panjang latus rectum $= 4p$
	$(-p,0)$	$y^2 = -4px$	Kurva terbuka kekiri Persamaan direktriks: $x =p$ Sumbu simetri: $y = 0$ Panjang latus rectum $=4p$
	$(0,p)$	$x^2 = 4py$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = -p$ Sumbu simetri: $x = 0$ Panjang latus rectum
	$(0,-p)$	$x^2 = -4py$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = p$ Sumbu simetri: $x = 0$ Panjang latus rectum
$(a,b)$	$(a + p,0)$	$(y-b)^2 = 4p(x - a)$	Kurva terbuka kekanan Persamaan direktriks: $x = a-p$ Sumbu simetri: $y = b$ Panjang latus rectum $=4p$
	$(a - p,0)$	$(y - b)^2 = -4p(x - a)$	Kurva terbuka kekiri Persamaan direktriks: $x = a + p$ Sumbu simetri: $y = b$ Panjang latus rectum $= 4p$
	$(0,a + p)$	$x - a^2 = 4p(y - b)$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = b - p$ Sumbu simetri: $x = a$ Panjang latus rectum $= 4p$
	$(0,a - p)$	$x - a^2 = -4p(y - b)$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = b + p$ Sumbu simetri: $x = a$ Panjang latus rectum $= 4p$

Persamaan garis singgung parabola yg lewat titik singgung $(x_1,y_1)$ pada parabola adalah:

persamaan parabola

Persamaan garis singgung parabola dgn gradien m pada parabola yaitu:

persamaan garis singgung parabola dgn gradien m

Elips

Elips didefinisikan selaku kedudukan titik-titik yg jumlah jaraknya dr dua titik (titik konsentrasi) adalah konstan.

irisan kerucut elips

Bentuk persamaannya selaku berikut:

Pusat

Puncak Sumbu Mayor

Puncak Sumbu Minor

Persamaan Elips

$(0,0)$

$A_1(-a,0)$

$A_2(a,0)$

$B_1(0,-b)$

$B_2(0,b)$

$\frac x^2 a^2 + \frac y^2 b^2 =1$

Kurva lonjong mendatar

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $= 2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(c,0)$

Eksentrisitas $e = \frac c a$

Direktriks $x = -\frac a^2 c$ & $x = \frac a^2 c$

Panjang latus rectum $= \frac 2b^2 a$

$A_1(0,-a)$

$A_2(0,a)$

$B_1(-b,0)$

$B_2(b,0)$

$\frac x^2 b^2 + \frac y^2 a^2 =1$

Kurva lonjong vertikal

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(0,c)$

Eksentrisitas $e = \frac c d$

Direktriks $x =-\frac a^2 c$ & $x =\frac a^2 c$

Panjang latus rectum $=\frac 2b^2 a$

$(h,k)$

$A_1(h-k,a)$

$A_2(h+a,0)$

$B_1(h,k-b)$

$B_2(h,k+b)$

$\frac (x-h)^2 a^2 + \frac (y-k)^2 b^2 = 1$

Kurva lonjong mendatar

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 -b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(h+c,0)$

Eksentrisitas $e = \frac c d$

Direktriks $x = h -\frac a^2 c$ & $x = h + \frac a^2 c$

Panjang latus rectum $= \frac 2b^2 a$

$A_1(h,k - a)$

$A_2(h,k + a)$

$B_1(h - b,k)$

$B_2(h + b,k)$

$\frac (x-h)^2 b^2 + \frac (y-k)^2 a^2 = 1$

Kurva lonjong vertikal

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(0,k + c)$

Eksentrisitas $e = \frac c a$

Direktriks $x = k - \frac a^2 c$ dan $x = k + \frac a^2 c$

Panjang latus rectum $= \frac 2ab^2 a$

Dengan persamaan garis singgung yg melalui titik $(x_1,y_1)$ pada elips yaitu:

persamaan elips

Persamaan garis singgung parabola dgn gradien m pada elips adalah:

persamaan garis singgung elips dgn gradien m

Hiperbola

Hiperbola didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yg selisih jaraknya dr dua titik (titik konsentrasi) yaitu konstan.

irisan kerucut hiperbola

Persamaan hiperbola dgn titik sentra $(0,0)$ & $(h,k)$ selaku berikut:

persamaan hiperbola dgn titik pusat 00

persamaan hiperbola dgn titik pusat h k

Persamaan garis singgung hiperbola yg lewat titik $(x_1,y_1)$ adalah:

persamaan hiperbola melalui titik x1 y1

Persamaan garis singgung hiperbola dgn gradien m pada elips ialah:

persamaan garis singgung hiperbola dgn gradien m

Contoh Soal Irisan kerucut dan Pembahasan

Contoh Soal Irisan Kerucut 1

Lingkaran $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 9$ memotong garis $y = 3$ . Garis singgung yg lewat titik potong antara bulat & garis tersebut ialah? (UN 2012)

Pembahasan

$y =3$ disubstitusi ke $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 9$ menjadi

$(x + 1)^2 + (3 - 3)^2 = 9$

$(x + 1)^2 = 9$

$(x + 1) = \pm \sqrt 9 = \pm 3$

$x_1 = 2$ & $x_2 = -4$

Contoh Soal Irisan Kerucut 2

Koordinat titik pusat elips $7x^2 + 16y^2 - 28x + 96y + 60 = 0$ yakni? (UAN 2002)

Pembahasan

$7x^2 + 16y^2 - 28x + 96y + 60 = 0$

$7x^2 - 28x + 16y^2 + 96y + 60 = 0$

$7(x^2 - 4x) + 16(y^2 + 6y) = -60$

$7(x^2 - 4x + 4) + 16(y^2 + 6y + 9) = -60 + 7(4) + 16(9)$

$7(x - 2)^2 + 16(y + 3)^2 = -60 + 28 + 144 = 112$

$\frac 7(x-2)^2 112 + \frac 16(y+3)^2 112 = 1$

$\frac (x - 2)^2 16 + \frac (y + 3)^2 7 = 1$

Sesuai dgn $\frac (x-h)^2 a^2 + \frac (y-k)^2 b^2 = 1$ , sehingga titik pusatnya yakni

$(h, k) = (2, -3)$

Contoh Soal Irisan Kerucut 3

Hiperbola $\frac (y-3)^2 49 - \frac (x+1)^2 6 = 1$ mempunyai garis singgung yg tegak lurus garis $x + 2y - 14 = 0$ . Tentukan garis singgungnya.

Pembahasan

$x + 2y - 14 = 0$

$2y = -x + 14$

$y = -\frac 1 2 x + 7$

$m_1 = -\frac 1 2$

Garis saling tegak lurus, sehingga

$m_2 = -\frac 1 m_1$

$m_2 = -\frac 1 m_1 = -\frac 1 (-\frac 1 2 ) = 2$

kemudian

$\frac (y-3)^2 49 - \frac (x+1)^2 6 = 1$

Sesuai dgn $\frac (y-k)^2 a^2 - \frac (x-h)^2 b^2 = 1$ , sehingga

$y - k = m(x - h) \pm \sqrt a^2 - b^2m^2$

$y - 3 = 2(x + 1) \pm \sqrt 49 - 6(4)$

$y - 3 = 2x + 2 \pm 5$

$y = 2x + 2 + 3 \pm 5 = 2x + 5 \pm 5$

Sehingga

$y_1 = 2x + 10$

$y_2 = 2x$

Artikel: Irisan Kerucut

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Trigonometri

Integral

Determinan & Invers Matriks

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (5x² – 10x + 30) dalam ribu rupiah untuk tiap unit.