Integral Substitusi - Blog Ilmu Pengetahuan

Daftar Isi

Teknik Pengintegralan dengan Integral Subtitusi

Integral subtitusi merupakan salah satu teknik penyelesaian integral khusus termasuk juga teknik integral parsial. Oleh karena itu prasyarat mempelajari materi integral subtitusi ini yaitu integral tak tentu fungsi aljabar , integral tak tentu fungsi trigonometri serta integral tertentu wajib anda kuasai terlebih dahulu. Jika lupa silahkan di review lagi ya!

Integral Subtitusi Aljabar

Integral subtitusi aljabar adalah pengintegralan yang dapat dirubah ke dalam bentuk ∫ f(u) du. Dibawah ini adalah teorema integral subtitusi ,

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/integral-substitusi.html

Langkah-langkah pengintegralan dengan teknik integral subtitusi

Secara umum teknik integral subtitusi menggunakan dua langkah dibawah ini:

1.Menentukan fungsi u = g(x) sehingga ∫ f(g(x)) g’(x) dx dapat dirubah menjadi ∫ f(u) du.

2.Selesaikan bentuk ∫ f(u) du

Agar lebih jelas perhatikan contoh soal integral subtitusi dibawah ini!

Soal-soal dan Pembahasan integral subtitusi

Tentukan integral-integral berikut dengan teknik integral subtitusi!

1. $\int (2x-5)^3\, dx$

[Penyelesaian]
$\\misalkan \, ,u=2x-5\, ....(1) \\\\du=2\, dx\Rightarrow dx=\frac{du} {2}\, ....(2)$

Subtitusikan (1) dan (2) ke soal semula,
$\\ \int (2x-5)^3\, dx \\\\=\int u^3.\frac{du}{2}=\frac{1} {2}\int u^3\, du \\\\=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4}u^4 \right )+c \\\\=\frac{1}{8}u^4+c=\frac{1}{8}(2x-5)^4+c$

2. $\int \frac{dx}{3x-1}$

[penyelesaian]
$\\misalkan \, u=3x-1\, ....(1) \\\\du=3\, dx\Rightarrow dx=\frac{du} {3}\, ...(2)$

Subtitusikan (1) dan (2) ke soal semula,
$\\\int\frac {dx}{3x-1}=\int dx.\frac{1}{3x-1} \\\\=\int\frac{du}{3}.\frac{1}{u}=\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} \\\\=\frac{1}{3}\, ln|u|+c \\\\=\frac{1}{3}\, ln|3x-1| +c$

3. $\int\frac {x}{x^2+1}\, dx$

[Penyelesaian]
$\\misalkan \, ,u=x^2+1\, ....(1) \\\\du=2x\, dx\Rightarrow x\, dx= \frac{du}{2}....(2)$

Subtitusikan (1) dan (2) ke soal semula,
$\\=\int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\int x\, dx.\frac{1}{x^2+1} \\\\=\int\frac {du}{2}.\frac{1}{u}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u} \\\\=\frac{1}{2}\, ln\left | u \right |+c=\mathbf{\frac{1}{2}\, ln\left | x^2+1 \right |+c}$

4. $\int\frac{3x-1}{\sqrt{x+1}}\, dx$

[Penyelesaian]
$\\misalkan\,, u=x+1\, ...(1) \\\\du=dx\, ....(2)\\\\dari\, (1),\, x=u-1\, ...(3)$

Subtitusikan (1) dan (2) dan (3) ke soal semula,
$\\=\int\frac{3x-1}{\sqrt{x+1}}\, dx \\\\=\int\frac{3(u-1)-1}{\sqrt{u}}\,\, du=\int\frac{3u-4}{\sqrt{u}}\, du \\\\=\int\frac{3u-4}{u^{\frac{1}{2}}}\, du=\int\left ( \frac{3u}{u^{\frac{1}{2}}}-\frac{4}{u^{\frac{1}{2}}} \right )du$
$\\=\int(3u^{\frac{1}{2}}-4u^{-\frac{1}{2}})du \\\\=2\, u^{\frac{3}{2}}-8\, u^{\frac{1}{2}}+c=2\, u^{\frac{1}{2}}(u-4)+c \\\\=2\, \sqrt{u}(u-4)+c \\\\=\mathbf{2\, \sqrt{x+1}\, (x-3)+c}$

5. $\int \frac{e^x}{e^x+1}\, dx$

[Penyelesaian]
$\\misalkan \, ,u=e^x+1\, ....(1) \\\\du=e^x\, dx\, ....(2)$

Soal no 5 ini menggunakan fungsi bilangan e . Subtitusikan (1) dan (2) ke soal semula,

$\\=\int \frac{e^x}{e^x+1}\, dx=\int e^x\, dx.\, \frac{1}{e^x+1} \\\\=\int\frac{du}{u}=ln\, \left | u \right |+c \\\\=ln\, \left | e^x+1 \right |+c \\\\=\mathbf{ln\, (e^x+1)+c}\, \, (\because e^x+1>0)$

6. $\int\frac{dx}{x\, ln\, x}$

[Penyelesaian]

Soal no 6 ini menggunakan fungsi logaritma natural. Subtitusikan (1) dan (2) ke soal semula,
$\\=\int\frac{dx}{x\, ln\, x}=\int\frac{1}{ln\, x}.\frac{dx}{x} \\\\=\int\frac{1}{u}\, \, du=ln\, \left | u \right |+c \\\\=ln\, \left | ln\, x \right |+c$

Perlu dicatat bahwa teknik integral subtitusi juga berlaku untuk integral tertentu baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri untuk fungsi trigonometri rumus-rumus dasar trigonometri sangat diperlukan.

Integral substitusi Fungsi Trigonometri

Hitunglah nilai setiap integral tertentu dibawah ini dengan teknik integral subtitusi!

1. $\int cos^3x\, sin\, x\, dx$

[Penyelesaian]

$\\misalkan, \, u=cos\, x\, ....(1) \\\\du=-sin\, x\, dx \Rightarrow sin\, x\, dx=-\, du\, ....(2)$

$\\= \int cos^3x\, sin\, x\, dx \\\\=\int u^3.\, (- \, du)=-\int u^3\, du \\\\=-\frac{1}{4}\, u^4+c=\mathbf{-\frac {1}{4}\, cos^4x+c}$

2. $\int sin^5x\, dx$

[Penyelesaian]

Ubah dahulu soal diatas dengan manipulasi aljabar sebagai berikut:
$\\ \int sin^5x\, dx=\int sin^4x.\, sinx\, dx \\\\=\int (sin^2x)^2.sin\, x\, dx \\\\=\int(1-cos^2x)^2.\, sin\, x\, dx \, .....(1)$

Subtitusikan (2) dan (3) ke (1),

$\\=\int(1- cos^2x)^2.\, sin\, x\, dx\, .....(1) \\\\=\int (1-u^2)^2. \, (-\, du) \\\\=-\int (1-2u^2+u^4)\, du=-\left ( u- \frac{2}{3}\, u^3 +\frac{1}{5}\, u^5\right )+c$
$\\=-\frac {1}{5}\, u^5+\frac{2}{3}\, u^3-u+c \\\\=-\frac{1} {5}\, cos^5x+\frac{2}{3}\, cos^3x-cos\, x+c$

3. $\int \frac{cos^3x}{sin^2x}\, \, dx$

[Penyelesaian]

Ubah dahulu soal diatas dengan manipulasi aljabar sebagai berikut:

$\\=\int \frac{cos^3x}{sin^2x}\, \, dx=\int\frac{cos^2x.cos\, x}{sin^2x}\, dx \\\\=\int\frac{(1-sin^2x).cos\, x}{sin^2x}\, .....(1)$

Subtitusikan (2) dan (3) ke (1),

$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=sin\, x\, ....(2) \\\\\Leftrightarrow du=cos\, x\, dx\, ....(3)$

$\\=\int\frac{(1-sin^2x).cos\, x}{sin^2x}\, dx\, .....(1) \\\\=\int \frac{(1-u^2).du}{u^2}=\int \left ( \frac{1}{u^2}-1 \right )du \\\\= -\frac{1}{u}-u+c=\mathbf{-\frac{1}{sin\, x}-sin\, x+c}$

4. $\int tan^3x\, dx$

[Penyelesaian]
Ubah dahulu soal diatas dengan manipulasi aljabar sebagai berikut:

$\\\int tan^3x\, dx=\int \frac{sin^3x}{cos^3x}\, dx=\int \frac{sin^2x.sinx}{cos^3x}\, dx \\\\=\int \frac{(1-cos^2x).sin\, x\, dx}{cos^3x}\, dx\, ......(1)$

$\\misalkan,\, u=cos\, x\, .......(2) \\\\du=-sin\, x\, dx\Rightarrow sin\, x\, dx=-du\, ......(3)$

Subtitusikan (2) dan (3) ke (1),

$\\=\int \frac{(1-cos^2x).sin\, x\, dx}{cos^3x}\, dx\, ......(1) \\\\=\int \frac{(1-u^2).(-du)}{u^3}=\int \frac{u^2-1}{u^3}\, du \\\\=\int \left ( \frac{1}{u}-\frac{1}{u^3} \right )du$
$\small \\=ln\left | u \right |+\frac{1}{2u^2}+c \\\\=ln\left | cos\, x \right |+\frac{1}{2cos^2x}+c$

5. $\int\frac{sin\, x}{\sqrt{cos\, x}}\, dx$

[Penyelesaian]
Buat terlebih dahulu permisalan integral subtitusi nya,

$\\misalkan,\, u=\sqrt{cos\, x}\, .....(1) \\\\u^2=cos\, x \\\\2\, u\, du=-\, sin\, x\, dx \\\\sin\, x\, dx=-2\, u\, du\, .....(2)$

Subtitusikan (1) dan (2) ke soal awal:
$\\=\int\frac{sin\, x}{\sqrt{cos\, x}}\, dx \\\\=\int \frac{-2\, u\, du}{u}=-2\int du \\\\=-2u+c=\mathbf{-2\sqrt{cos\, x}+c}$

Integral Substitusi Trigonometri

Teknik pengintegralan berikutnya adalah integral subtitusi trigonometri yaitu integral yang memuat bentuk-bentuk seperti dibawah ini,

Hasil subtitusinya seperti tabel 1 dibawah ini:

Contoh soal dan Pembahasan Integral Substitusi Trigonometri

Tentukanlah integral – integral dibawah ini!

1. $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$

[Penyelesaian]
$\ \subtitusikan,\, x=3\, sin\, \theta \, ....(1) \\\ \dx=3\, cos\, \theta\, d\theta\, .....(2) \\\\Dari (1), \, sin\theta=\frac{x}{3},\, maka\, \theta=arc\, sin\, \frac{x} {3}\, .....(3)$
Subtitusikan (1) dan (2) ke soal awal,
$\\= \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} \\\\=\int \frac{3\, cos\, \theta \, d\theta }{\sqrt{9-9\, sin^2\theta }} \\\\=\int\frac{3\, cos \, \theta \, d\theta}{\sqrt{9(1-sin^2\theta )}}=\int \frac {3\, cos\, \theta \, d\theta}{\sqrt{9\, cos^2\theta }}$
$\\= \int \frac{3\, cos\, \theta \, d\theta}{\sqrt {9\, cos^2\theta }} \\\\=\int \frac{3\, cos\, \theta \, d\theta}{3\, cos\, \theta} \\\\=\int d\theta = \theta +c \\\\=\mathbf{arc\, sin\, \frac{x}{3}+c}$

2. $\int \frac{dx}{16+x^2}$

[Penyelesaian]

$\\subtitusi,\, x=4\, tan\, \theta \, .....(1) \\\\dx=4\, sec^2\theta \,\, d\theta \, .....(2) \\\\Dari\, (1),\, tan\, \theta =\frac{x}{4}\, \, maka,\, \theta=arc\, tan\, \frac{x}{4}\, ......(3)$

$\\\Leftrightarrow \sqrt{16+x^2} \\\\=\sqrt{16+16\, tan^2\theta } \\\\= \sqrt{16(1+tan^2\theta) } \\\\=4\, sec\, \theta \, .....(4)$

Subtitusikan (1) dan (2) ke soal awal,
$\\=\int \frac{dx}{16+x^2}=\int dx.\, \, \frac{1}{16+x^2} \\\\=\int 4\, sec^2\theta \, d\theta .\, \frac{1}{16\, sec^2\theta } \\\\=\int \frac{1}{4}\, d\theta$
$\small \\= \frac{1}{4}\, \theta +c \\\\=\frac{1}{4}\, arc\, tan\, \frac{x}{4} +c$

3. $\int \frac{\sqrt{x^2-25}}{x}\, dx$

[Penyelesaian]

$\\subtitusi\, ,x=5\, sec\, \theta \, .....(1) \\\\dx=5\, tan\theta \, sec\theta \, d\theta \, ......(2) \\\\\Leftrightarrow \sqrt{x^2-25}=5\, tan\theta \, ......(3)$

Subtitusikan (1), (2) dan (3) ke soal awal,
$\\=\int\frac{\sqrt{x^2-25}}{x}\, dx \\\\=\int \frac{5\, tan\theta }{5\, sec\theta }.\, 5\, tan\theta .\, sec\theta \, d\theta \\\\=5 \int tan^2\theta \, d\theta =5 \int \frac{sin^2\theta }{cos^2\theta }\, d\theta$
$\\=5\int \frac{1-cos^2 \theta}{cos^2\theta}\, d\theta =5\int\left ( \frac{1}{cos^2\theta }-1 \right )\, d\theta \\\\=5(tan\theta -\theta )+c \\\\=5\left \{ \frac{\sqrt{x^2-25}}{5}-arc\, tan\left ( \frac{\sqrt{x^2-25}}{5} \right ) \right \}+c$

[Penyelesaian]

Demikian pembahasan integral subtitusi, jika ada kesalahan konsep atau pun dalam pembahasan silahkan berikan komentar di kolom komentar. Like juga ya fanspage facebooknya, dan semoga materi integral subtitusi ini bermanfaat.

⊡ Materi yang masih berkaitan:

∯ Integral parsial