Integral Parsial - Blog Ilmu Pengetahuan

Daftar Isi

Pengantar Integral parsial

Integral parsialmerupakan salah satu teknik pengintegralan jika teknik integral yang lain tidak dapat diselesaikan seperti teknik integral subtitusi atau integral tak tentu secara umum. Metode integral parsial didasarkan pada integrasi untuk turunan hasil kali dua fungsi.

Jika u = u(x) dan v = v(x), maka rumus integral parsial adalah:

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/integral-parsial.html

Ada dua hal yang sangat penting dalam integral parsial dan akan menentukan berhasil atau tidaknya pengintegralan, yaitu:

1. Pemilihan u dan dv yang tepat, memilih dv sehingga v dapat ditentukan melalui v = ∫ dv

2. ∫ v duharus lebih mudah diselesaikan dibandingkan ∫ u dv (Sartono W, Matematika SMA Kelas XII)

Dalam pembahasan materi integral parsial kali ini, soal dan pembahasan saya kelompokkan berdasarkan jenis dari fungsi udan dv. Dua-dua nya fungsi aljabar atau dua-duanya fungsi trigonometri atau campuran fungsi aljabar dan trigonometri.

Integral Parsial Contoh Soal dan Pembahasan

a.Integral parsial u dan dv fungsi aljabar

Agar lebih jelas perhatikan soal-soal dibawah ini!

Dengan menggunakan rumus integral parsial tentukan integral-integral dibawah ini.

1. $\int x\, \sqrt{x-5}\, dx$

[Penyelesaian]

Dalam soal ini di tentukan u = x , karena jika x diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,

$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=x \\ du=dx \\\\\Leftrightarrow dv=\sqrt{x-5}\, dx=(x-5)^{\frac{1}{2}}\, dx \\v=\int (x-5)^{\frac{1}{2}}\, dx=\frac{2}{3}(x-5)^{\frac{3}{2}}$

$\\=\int x\, \sqrt{x-5}\, dx \\\\=u.v-\int v\, du \\\\=\frac{2}{3}x(x-5)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\int (x-5)^{\frac{3}{2}}\, dx$
$\\=\frac{2}{3}x(x-5)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15} (x-5)^{\frac{5}{2}}\, +c \\\\=\mathbf{\frac{2}{3}\left ( x-5 \right )^{\frac{3}{2}}\left ( \frac{3}{5}x+2 \right )+c}$

2. $\int x(x-1)^5\, dx$

[Penyelesaian]

Dalam soal ini di tentukan u = x , karena jika x diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,

$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=x \\du=dx \\\\dv=(x-1)^5\, dx \\v=\int (x-1)^5\, dx=\frac{1}{6}(x-1)^6$

$\\\Leftrightarrow \int x(x-1)^5\, dx=u.v- \int v.du \\\\=\frac{1}{6}x(x-1)^6- \frac{1}{6}\int (x-1)^6 \, dx \\\\= \frac{1}{6}x(x-1)^6-\frac{1}{42}(x-1)^7+c=\mathbf{\frac{1}{42}(x-1)^6(6x+1)+c}$

3. $\int x^2\, \sqrt{4-2x}\, dx$

[Penyelesaian]
Dalam soal ini di tentukan $u= x^2$ , karena jika $u= x^2$ diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,

$\\\Leftrightarrow misalkan ,\, u=x^2 \\du=2x\, dx \\\\\Leftrightarrow dv=\sqrt{4-2x}\, dx=(4-2x)^{\frac{1}{2}}\, dx \\v=\int (4-2x)^{\frac{1}{2}}\, dx=-\frac{1}{3}(4-2x)^{\frac{3}{2}}$

$\\\Leftrightarrow \int x^2\, \sqrt{4-2x}\, dx=u.v-\int v.du \\\\=-\frac{1}{3}x^2(4-2x)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{\color{Red} \int x\, (4-2x)^{\frac{3}{2}}\, dx}$

Bagian yang berwarna merah, di integral parsial satu kali lagi,
$\\=-\frac{1}{3}x^2(4-2x)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{\color{Red} \int x\, (4-2x)^{\frac{3}{2}}\, dx} \\\\=-\frac{1}{3}x^2(4-2x)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}\left ( u.v-\int v.du \right ) \\\\=-\frac{1}{3}x^2(4-2x)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}\left \{ -\frac{1}{5}x(4-2x)^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{5}\int(4-2x)^{\frac{5}{2}}\, dx \right \}$
$\\=\mathbf{-\frac{1}{3}x^2(4-2x)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{15}x(4-2x)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{105}(4-2x)^{\frac{7}{2}}+c}$

Integral parsial trigonometri

b.Integral parsial fungsi campuran trigonometri ,Aljabar, logaritma natural dan fungsi bilangan e

Dalam pembahasan soal-soal dibawah ini fungsi atau integrannya merupakan campuran antara fungsi aljabar, trigonometri , logaritma natural, dan bilangan e .

4. $\int x\, cos\, x\, dx$

[Penyelesaian]
Dalam soal ini di tentukan u = x , karena jika x diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,

$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=x \\du=dx \\\\\Leftrightarrow dv=cos\, x\, dx \\v=\int cos\, x\, dx=sin\, x$

Kembali ke soal semula,
$\\\Leftrightarrow \int x\, cos\, x\, dx=u.v-\int v.du \\\\=x\, sinx-\int sin\, x\, dx \\\\=\mathbf{x\, sinx+ cos\, x\, +c}$

5. $\int x\, cos\, 3x\, dx$

[Penyelesaian]
Dalam soal ini di tentukan u = x , karena jika x diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,
$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=x \\du=dx \\\\\Leftrightarrow dv=cos3x\, dx \\v=\int cos3x\, dx=\frac{1}{3}sin\, 3x$

Kembali ke soal semula,
$\\\Leftrightarrow \int x\, cos3x\, dx=u.v-\int v.du \\\\=\frac{1}{3}x\, sin3x-\frac{1}{3}\, sin3x\, dx \\\\=\mathbf{\frac{1}{3}x\, sin3x+\frac{1}{9}\, cos3x+c}$

6. $\int x\, e^2x\, dx$

[Penyelesaian]
Dalam soal No 6 ini di tentukan u = x , karena jika x diturunkan terus-menerus maka turunannya sama dengan 0,

$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=x \\du=dx \\\\\Leftrightarrow dv=e^{2x}\, dx \\v=\int e^{2x}\, dx=\frac{1}{2}\, e^{2x}$

Kembali ke soal awal,
$\\\Leftrightarrow \int x\, e^{2x}\, dx= u.v- \int v.du \\\\=\frac{1}{2}x\, e^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}\, dx \\\\=\mathbf{\frac{1}{2}x\, e^{2x}-\frac{1}{4}\int e^{2x}+c}$

7. $\int x\, ln\, x\, dx$

[Penyelesaian]
Karena lebih cepat mengintegralkan x dibanding ln x maka di pilh dv = x dx

$\\\Leftrightarrow misalkan ,\, u=ln\, x \\du=\frac{1}{x}\, dx \\\\ \Leftrightarrow dv= x \, dx \\ v= \int x\, dx=\frac{1}{2}\, x^2$
Kembali ke soal semula
$\\ \Leftrightarrow \int x\, ln\, x\, dx= u.v- \int v.du \\\\=\frac{1}{2}x^2\, lnx -\frac{1}{2} \int x^2.\frac{1}{x}\, dx \\\\=\frac{1}{2}x^2\, lnx -\frac{1}{2} \int x\, dx \\\\=\mathbf{\frac{1}{2}x^2\, lnx -\frac{1}{4} x^2+c}$

8. $\int \frac{x}{cos^2x}\, dx$
[Penyelesaian]
Karena lebih cepat mengintegralkan $cos^2x$ maka di pilih $dv = \frac{1}{cos^2x}\, dx$
Misalkan,
$\\\Leftrightarrow u=x \\du=dx \\\\\Leftrightarrow dv= \frac{1}{cos^2 x}\, dx \\v= \int \frac{1}{cos^2 x}\, dx = tan\, x$
Kembali ke soal semula,
$\\\Leftrightarrow \frac{x}{cos^2x}\, dx= u.v- \int v.du \\\\= x\, tan\, x- \int tan\, x\, dx \\\\=x\, tan\, x + ln\, \left | cos\, x \right |+c$

9. $\int e^x\, cos\, x\, dx$
[Penyelesaian]
$\\\Leftrightarrow misalkan ,\, u=cosx \\du=-sinx\, dx \\\\\Leftrightarrow dv=e^x\, dx \\v=\int e^x\, dx=e^x$

Kembali kesoal semula,
$\\\Leftrightarrow \int e^x\, cosx\, dx=u.v-\int v.du \\\\=e^x\, cosx+{\color{Red} \int e^x\, sinx\, dx}\leftarrow parsial\, kedua \\\\=e^x\, cosx+(u.v-\int v.du)$
$\\\int e^x\, cosx\, dx=e^x\, cosx+e^x\, sinx-\int e^x\, cosx\, dx \\\\\int e^x\, cosx\, dx+ \int e^x\, cosx\, dx=e^x\, cosx+e^x\, sinx \\\\2\int e^x\, cosx\, dx=e^x\, cosx+e^x\, sinx$
$\\2\int e^x\, cosx\, dx=e^x\, cosx+e^x\, sinx \\\\\int e^x\, cosx\, dx=\frac{1}{2}(e^x\, cosx+e^x\, sinx)+c$

Integral parsial tertentu

Rumus integral Parsial tertentu adalah:

10. $\int_{-2}^{2}(x+2)\, x^2\, dx$

[Penyelesaian]

$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=x+2 \\du=dx \\\\\Leftrightarrow dv=x^2\, dx \\v=\int x^2\, dx=\frac{1}{3}x^3$

Kembali ke soal awal,
$\\\Leftrightarrow \int_{-2}^{2}(x+2)\, x^2\, dx=\left [ u.v \right ]_{-2}^{2}-\int_{-2}^{2}v.du \\\\=\left [\frac{1}{3}x^3(x+2) \right ]_{-2}^{2}-\int_{-2}^{2}\frac{1}{3}x^3\, dx \\\\=\left [\frac{x^3(x+2)}{3} \right ]_{-2}^{2}-\frac{1}{12}\left [ x64 \right ]_{-2}^{2}$
$\\=\frac{32}{3}-\frac{1}{12}(0) \\\\=\mathbf{\frac{32}{3}}$

11. $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}x\, \, cos3x\, dx$

[Penyelesaian]
$\\\Leftrightarrow misalkan,\, u=x \\du=dx \\\\\Leftrightarrow dv=cos3x\, dx \\v=\int cos3x\, dx=\frac{1}{3}sin3x$

Kembali ke soal awal,
$\\\Leftrightarrow \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}x\, \, cos3x\, dx=\left [ x.\frac{1}{3}sin3x \right ]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}-\frac{1}{3}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}sin3x \, dx \\\\=\left [ \frac{x\, sin3x}{3} \right ]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}+\frac{1}{9}\left [ cos3x \right ]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}$
$=\mathbf{\left ( \frac{\sqrt{2}\, \pi}{8}+\frac{\pi}{6} \right )+\left ( \frac{\sqrt{2}}{18} \right )}$
12.

[Penyelesaian]

13.

[Penyelesaian]

Demikian materi integral parsial semoga bermanfaat, jika ada materi atau pun soal yang salah mohon kritikan dan saran anda dikolom komentar untuk perbaikan materi integral parsial ini.

MATERI TERKAIT :

□ Integral Trigonometri

□ Integral Tertentu