Fungsi Linear

Fungsi linear merupakan suatu fungsi yg mana variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yg grafiknya yakni garis lurus. Oleh sebab itu fungsi linier sering disebut selaku persamaan garis lurus (pgl).

Fungsi Linear

Pengertian fungsi sendiri merupakan hubungan matematis antara suatu variabel dgn variabel lainnya. Beberapa komponen pembentuk fungsi antara lain variabel, koefisien, & konstanta.

Variabel merupakan sebuah komponen yg sifatnya berubah-ubah dr satu keadaan ke keadaan yang lain.

Variabel bisa dibedakan menjadi dua, yaitu variabel bebas & variabel terikat.

Variabel bebas merupakan variabel yg menjelaskan variabel yang lain. Sementara Variabel terikat merupakan variabel yg dijelaskan oleh variabel bebas.

Koefisien merupakan bilangan atau angka yg berada tepat di depan suatu variabel, terkait dgn variabel yg bersangkutan.

Konstanta bersifat tetap serta tak terkait dgn suatu variabel apa pun.

Fungsi linier sendiri memiliki bentuk biasa selaku berikut:

f : x → mx + c atau

y = mx + c

Fungsi linear merupakan seuah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a, b ∈ R  & a ≠ 0) untuk seluruh x dlm tempat asalnya.

Fungsi linear pula dikenal selaku fungsi polinom (sukubanyak) berderajat satu dlm variable x.

Melukis Grafik Fungsi Linier

Berikut ini adalah beberapa langkah untuk melukis grafik fungsi linier, antara lain:

• Menentukan titik potong dgn sumbu x, y = 0 ditemukan koordinat A( x1, 0)
• Menentukan titik potong dgn sumbu y, x = 0 didapatkan koordinat B( 0, y1)
• Menghubungkan dua titik A & B sehingga akan terbentuk garis lurus Persamaan linier yg mampu pula ditulis ditulis dgn memakai simbol y = ax + b. (Hal ini untuk memudahkan kita dlm mengerti gambar). Apabila b bernilai kasatmata maka fungsi linier akan dilukis garis dr kiri bawah ke kanan atas
• Apabila b bernilai negatif maka fungsi linier akan digambarkan garis dr kiri atas ke kanan bawah.
• Apabila b bernilai nol maka fungsi linier akan digambarkan garis yg sejajar dgn sumbu datar x.

Jika b bernilai negatif, disini kita contohkan dgn Y = 10 – 2X maka kurva akan bergerak dr kiri atas ke kanan bawah, berikut gambarnya:

Jika b bernilai aktual : Y = 2 + 2X maka kurva akan bergerak dr arah kiri bawah ke kanan atas, beirkut ini ialah gambarnya:

Gradien & Persamaan Garis Lurus Fungsi linear

a. Garis lurus yg melalui titik A(x1, y1) & B(x2, y2) mempunyai gradien m:

m = y1-y2 atau m = y2-y1

x1-x2 x2-x1

b. Persamaan garis lurus yg melalui titik A(x1, y1) & B(x2, y2) yakni:

y-y1 = x-x1

y2-y1 x2-x1

c. Persamaan garis lurus (pgl) yg bergradien m serta melewati titik A(x1, y1) yaitu:

y = m (x – x1 ) + y1

Menentukan Gradien dr Persamaan Garis Lurus (pgl)

Berikut yakni cara untuk menentukan gradien dr persamaan garis lurus (pgl)

• Persamaan garis lurus: ax + by = c, sehingga gradiennya m = – a/b
• Persamaan garis lurus: y = ax + b, sehingga m = a
• Garis yg sejajar sumbu x mempunyai persamaan y = c & pula m = 0
• Garis yg sejajar sumbu y mempunyai persamaan x = c serta tak mempunyai gradient

Titik potong dua buah garis

Menentukan titik potong dr dua buah garis lurus identik dgn menuntaskan permasalah dr metode persamaan linier dua variabel. Baik itu dgn memakai metode eleminiasi, metode substitusi ataupun metode grafik.

Hubungan dua buah garis

Dua garis yg bergradien m1 & m2 akan disebut sejajar apabila m1 = m2 & tegak lurus apabila m1 x m2 = -1.

Berimpit

Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yg satu merupakan kelipatan dr garis yg lain. Dengan demikian , garis akan berimpit dgn garis , apabila

Sejajar

Dua garis lurus akan sejajar jikalau lereng atau gradien garis yg satu sama dgn lereng atau gradien dr garis yg lain.

Dengan begitu, garis akan sejajar dgn garis , apabila .

Berpotongan

Dua garis lurus akan berpotongan jika lereng atau gradien garis yg satu tak sama dgn lereng atau gradien dr garis yg lain. Dengan begitu, garis akan berpotongan dgn garis , apabila .

Tegak lurus

Dua garis lurus akan saling tegak lurus jikalau lereng atau gradien garis yg satu ialah kebalikan dr lereng atau gradien dr garis yg lain dgn tanda yg bertentangan. Dengan begitu, garis  akan tegak lurus dgn garis , apabila atau .

Persamaan Kuadrat Fungsi linear

Persamaan kuadrat ialah bentuk persamaan di mana pangkat paling besar variabelnya yaitu 2.

Bentuk lazim dr persamaan kuadrat ialah selaku berikut: y = ax² + bx + c = 0 dengan  a ≠ 0, a, b, & c merupakan koefisien. Serta x yakni variabelnya.

Sebagai teladan: x² + 5x + 6, 2x² – 3x + 4, & lain sebagainya.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat dlm hal ini maksudnya yaitu nilai x yg menciptakan ax² + bx + c kesannya akan sama dgn 0.

Sebagai misalnya, apabila x= k membuat ak² + bk + c = 0, maka k akan disebut seabgai akar-akar dr persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Untuk memilih akar-akar, terdapat tiga metode yg mampu kalian pakai.

Antara lain: metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat tepat, serta metode rumus abc.

Tetapi metode melengkapkan kuadrat sempurna jarang atau cukup sulit untuk dipakai dlm menentukan akar-akar, sehingga kita tak akan membahasnya pada postingan ini.

Metode Pemfaktoran

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 diubah menjadi a(x – x₁₎ (x – x₂ ) = 0, sehingga akar-akarnya yakni x₁ & x₂ .

Contohnya, apabila kita ingin memfaktorkan ax² + bx + c = 0, langkah awal yg dikerjakan adalah mencari dua bilangan. Dalam perkara ini akan kita ambil p & q.

Sehingga, apabila kita jumlahkan akan mendapatkan hasil b. Sementara apabila kita kalikan akan menghasilkan ac.

Dengan kata lain, p + q = b & p . q = a .c

Apabila a = 1, maka bentuk pemfaktorannya yaitu ( x + p )( x + q ) = 0, sehingga akar-akarnya yaitu x + p = 0 ⟺ x = -p atau x + q = 0 ⟺  x = -q

Apabila a ≠ 1, maka bentuk pemfaktorannya yakni sehingga akar-akarnya yaitu atau

Sebagai acuan:

Tentukanlah akar-akar dr persamaan kuadrat (a)  x² – 5x + 6 = 0 & (b)  6x² – x – 15 = 0

Jawab:

(a)

a = 1, b = -5 & c = 6. Carilah dua bilangan, p & q, sehingga p + q = -5 & p.q = 6.

Kedua bilangan tersebut ialah p = -3 & q = -2, alasannya -3 + (-2) = -5 & -3 . -2 = 6

Maka pemfaktorannya ialah (x + (-3))(x + (-2)) = 0 atau (x – 3)(x – 2) = 0, sehingga akar-akarnya yaitu:

x – 3 = 0 ⟺ x₁ = 3 atau x – 2 = 0 ⟺ x₂ = 2

(b)

Sama halnya dgn yg ada pada (a), cari p & q, sehingga p + q = -1 & p.q = a.c = -90

Maka akan diperoleh p = -10 & q = 9

Maka pemfaktorannya yaitu , sehingga akar-akarnya ialah atau

Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut yakni atau

Metode Rumus ABC

Tidak seluruh bentuk persamaan kuadrat bisa kita faktorkan. Sebagai acuan, kita tak mampu memfaktorkan bentuk x² – 3x + 1 = 0  di mana tak terdapat bilangan lingkaran p & pula q yg dapat menyanggupi p + q = -3 & p.q = 1.

Hal ini disebabkan akar-akar persamaan tersebut bukanlah berbentuk bilangan bulat atau bilangan rasional. Namun bilangan irasional.

Untuk memilih akar-akarnya, kita mampu memakai rumus abc berikut:

Sehinga, akar-akarnya yaitu atau .

b² – 4ac di atas disebut sebagai diskriminan (D).

Sebagai pola:

Tentukanlah akar-akar dr x² – 3x + 1 = 0

Jawab:

a = 1, b = -3 & c = 1, sehingga dgn menerapkannya pada rumus abc di atas, akan kita peroleh

Berarti akar-akarnya yakni & .

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pada beberapa acuan di atas, maka kita akan menyaksikan adanya dua buah akar-akarnya. Serta kedua akar tersebut ialah bilangan riil.

Tetapi ada kalanya suatu persamaan kuadrat hanya memiliki satu akar riil (akar-akarnya kembar), atau bahkan tidak mempunyai akar-akar riil.

Nah, untuk mengenali apakah suatu persamaan kuadrat memiliki dua akar riil, satu akar riil (kembar), atau tak memiliki akar-akar riil, kita mampu melihat Diskriminan nya (D), yakni:

D = b² – 4ac apabila D > 0, maka kedua akarnya riil serta berlainan apabila D = 0, maka kedua akar-nya kembar (satu akar riil).

Apabila D < 0,  maka kedua akarnya tak riil (imajiner).

Sebagai contoh:

Apabila dikenali bahwa 4x² – 20x + p = 0 memiliki satu akar riil, tentukanlah nilai p.

Jawab:

Sebab cuma memiliki satu akar riil, itu artinya D = 0.

Dengan begitu, D = (-20)² – 4 .4 . p = 0 ⟺ 400 – 16p = 0.

⟺ 16p = 400 ⟺ p = 25

Sehingga, nilai yg menyanggupi yakni p = 25

Jumlah & Hasil Kali Akar-akar

Apabila x₂ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² – bx + c = 0, maka berlaku kekerabatan:

x₂ + x₂ = -b/a

x_{2 .} x₂ = c/a.

Sebagai pola:

Apabila x₂ dan x₂ ialah akar-akar dr 3x² – 15x + 10 = 0 tentukanlah nilai dr x²₁ dan x²_{2 .}

Jawab:

Persamaan kuadrat di atas tak mampu difaktorkan, sehingga akar-akarnya berupa bilangan irasional, yg mana menjadi susah bagi kita untuk menghitung nilai x²₁ + x²_{2 .}

Tetapi, kita tak perlu menghitung satu-satu berapa nilai dr x²₁ dan x²_{2 ,} namun kita mampu mengkalkulasikan eksklusif nilai dr x²₁ + x²_{2 .}

Dengan cara memakai rumus jumlah & hasil kali akar-akar.

Perhatikan bahwa x²₁ + x²₂ = (x₁ + x₂)² – 2_x1x2

Dari rumus di atas kita peroleh: &

Dengan begitu, 

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Kita bisa menyusun suatu persamaan kuadrat gres dr gosip akar-akarnya. Apabila akar-akarnya yaitu p & q, maka persamaan kuadrat barunya yaitu:

x² – (p +q)x + pq = 0

Sebagai acuan:

Persamaan kuadrat yg akar-akarnya 3 & 5 yaitu x² – (3+5)x + 3.5 = 0 ⟺ x² – 8x + 5 = 0

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat yakni suatu fungsi yg pangkat paling besar variabelnya yaitu 2.

Sama dgn persamaan kuadrat, tetapi berupa sebuah fungsi.

Bentuk umumnya yaitu: f(x) = ax² – bx + c, dgn a, b, c suatu bilangan real & a ≠ 0.

Sebagai pola: f(x) = 3x² – 5x + 7

Dengan begitu, f(0) = 3 . 0² + 5 . 0 + 7 = 7, f(0) = 3 . 4² + 5 . 4 + 7 = 75, & yg yang lain.

Grafik atau Kurva Fungsi Kuadrat

Apabila digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Parabola nya terbuka ke atas apabila a > 0 & terbuka apabila a < 0.

Berikut yaitu tahapan untuk menggambarkan grafik atau kurva nya:

Langkah pertama menentukan titik potong y = f(x) = ax² – bx + c kepada sumbu x. Yakni nila x ketika y = 0.

Dengan begitu, nilai titik potong ini yaitu akar-akar dr persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0

Selanjutnya, menentukan titik potong kepada sumbu y, nilai y saat x = 0.

Sesudah itu, memilih sumbu simetri nya. Sumbu simetri yakni garis yg membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri kepada sumbu x mampu dihitung dgn menggunakan rumus atau

Terakhir, menentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak ialah titik di mana nilai y = f(x) meraih nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola yaitu:

Di mana D merupakan diskriminan, yakni D = b² – 4ac.

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita mampu pribadi menggambar grafik fungsi kuadrat dgn cara menghubungkan titik-titik di atas dgn garis yg berupa parabola.

Supaya parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita bisa menghitung atau memilih titik-titik lain yg dilewati oleh kurva atau fungsi y = f(x).

Berikut yakni acuan dr grafik fungsi kuadrat y = f(x) = x² – 5x + 4.

Contoh soal:

Apabila y = f(x) = 2x² – 11x + p mempunyai nilai minimum -1/8, maka tentukanlah nilai p.

Jawab:

Nilai minimum tersebut adalah titik puncak dr y = f(x)

Dengan begitu, dgn menggunakan rumus titik puncak kita mampu peroleh:

Titik puncak =

Dengan begitu,

Hubungan Diskriminan Grafik Fungsi Kuadrat

Apabila pada persamaan kuadrat nilai diskriminan mampu kita pakai untuk mengenali apakah akar-akarnya riil, kembar, atau tak mempunyai akar-akar riil.

Maka pada fungsi kuadrat kita mampu menggunakan nilai diskriminan untuk mengenali apakah grafiknya memotong sumbu x di dua titik yg berlainan, menyinggung sumbu x, atau tak menyinggung maupun memangkas sumbu x.

Berikut ini adalah sifat-sifatnya:

Apabila D yaitu diskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² – bx + c, maka

Apabila D > 0, maka grafik dr y = f(x) akan memangkas sumbu x pada dua titik yg berbeda.

Apabila D = o, maka grafik dr y = f(x) akan menyinggung sumbu x pada satu titik.

Apabila D < 0, maka grafik dr y = f(x) tak akan memangkas sumbu .

Demikianlah ulasan singkat terkait Fungsi Linear yg dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai fungsi linear mampu kalian jadikan selaku bahan belajar kalian.