Dalam peluang ini akan kita diskusikan wacana kegunaan turunan fungsi trigonometri dlm menentukan titik balik dr sustu kurva fungsi trigonometri. Perlu diingat bahwa turunan (Derivatif) fungsi salah satu manfaatnya adalah untuk menentukan nilai optimum sebuah fungsi. Jadi, jika terdapat suatu fungsi tertentu, maka untuk mencari titik optimumnya mampu menggunakan turunan fungsi.
Dalam konteks kali ini kita akan diskusikan dengan-cara khusus wacana fungsi trigonometri, yakni menggunakan turunan fungsi.
Jika dimengerti sebuah grafik fungsi trigonometri y = f(x), maka nilai x pada titik balik grafik fungsi trigonometri dapat dicari dengan menentukan y’ = 0 atau f'(x) = 0.
Jika diperoleh x1 sebagai titik balik, & f”(x) adalah turunan kedua dr f(x) maka:
1. Titik (x1, f(x1)) merupakan titik balik maksimum apabila f”(x1) < 0.
2. Titik (x1, f(x1)) merupakan titik balik minimum apabila f”(x1) > 0.
Nah, bagaimana cara memperoleh titik balik maksimum & minimum fungsi sebuah grafik fungsi trigonometri?
Marilah simak beberapa contoh & pembahasannya berikut.
Contoh 1
Tentukan titik balik maksimum & minimum fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0o < x < 360o
Jawaban:
Diketahui y = sin x + cos x
Maka turunannya ialah y ‘ = f'(x) = cos x – sin x
Selanjutnya memilih titik balik dgn menentukan nilai x dgn syarat y’ = 0.
Sehingga diperoleh:
Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum & minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.
y ‘ = f'(x) = cos x – sin x , maka
y ” = f”(x) = -sin x – cos x
Cara Menentukan Jarak Antara Titik, Garis, dan Bidang Pada Bangun Dimensi Tiga
Contoh 2
Tentukan titik balik maksimum & minimum fungsi trigonometri y = sin 2x, untuk 0o < x < 360o
Jawaban:
Diketahui y = sin 2x
Maka turunannya adalah y ‘ = f'(x) = 2 cos 2x
Selanjutnya memilih titik balik dgn menentukan nilai x dgn syarat y’ = 0.
Sehingga diperoleh:
2 cos 2x = 0
cos 2x = 0
cos 2x = cos 90o & cos 270o
(i) 2x = 90o + k.360o
x = 45o + k.180o
untuk k = 0, maka x = 45o
untuk k = 1, maka x = 225o
ii) 2x = 270o + k.360o
x = 135o + k.180o
untuk k = 0, maka x = 135o
untuk k = 1, maka x = 315o
Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dgn mensubstitusikanya ke persamaan fungsi awal.
Untuk x = 45o, maka y = sin 2(45o) = sin 90o = 1. Diperoleh titik balik (45o, 1).
Untuk x = 135o, maka y = sin 2(135o) = sin 270o = -1. Diperoleh titik balik (135o, -1).
Untuk x = 225o, maka y = sin 2(225o) = sin 450o = 1. Diperoleh titik balik (225o, 1).
Untuk x = 315o, maka y = sin 2(315o) = sin 630o = -1. Diperoleh titik balik (315o, -1).
Selanjutnya untuk memilih titik balik maksimum & minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.
y ‘ = f'(x) = 2 cos 2x, maka
y ” = f”(x) = -4 sin 2x
Untuk x = 45o maka y ” = f”(45o) = -4 sin 2(45o)
= -4 sin 90o
= -4 (negatif)
Sehingga, (45o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.
Untuk x = 135o maka y ” = f”(135o) = -4 sin 2(135o)
= -4 sin 270o
= 4 (faktual)
Sehingga, (135o, -1) titik merupakan titik balik minimum.
Untuk x = 225o maka y ” = f”(225o) = -4 sin 2(225o)
= -4 × sin (450o)
= -4 × sin 90o
= -4 × (1)
= 4 (negatif)
Sehingga, (225o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.
Untuk x = 315o maka y ” = f”(315o) = -4 sin 2(315o)
= -4 sin 630o
= -4 sin 270o
= -4 × (-1)
= 4 (kasatmata)
Sehingga, (315o, -1) titik merupakan titik balik minimum.
Cara Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Puncak dari Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)
Contoh 3
Tentukan titik balik maksimum & minimum fungsi trigonometri y = sin 3x – cos 3x, untuk 0o < x < 360o
Jawaban:
Diketahui y = sin 3x – cos 3x
Maka turunannya yakni y ‘ = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x
Selanjutnya menentukan titik balik dgn menentukan nilai x dgn syarat y’ = 0.
Sehingga diperoleh:
3cos 3x + 3sin 3x = 0
cos 3x + sin 3x = 0
sin 3x = -cos 3x
tan 3x = -1 = tan 135o
Sehingga
3x = 135o + k.180o
x = 45o + k.60o
untuk k = 0, maka x = 45o
untuk k = 1, maka x = 105o
untuk k = 2, maka x = 165o
untuk k = 3, maka x = 225o
untuk k = 4, maka x = 285o
untuk k = 5, maka x = 345o
Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dgn mensubstitusikan sudut-sudut tersebut ke persamaan fungsi permulaan.
Fungsi awal y = sin 3x – cos 3x
Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum & minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut.
y ‘ = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x, maka
y ” = f”(x) = -9sin 3x + 9cos 3x
= 9 -sin 3x + cos 3x
Demikianlah sekilas materi turunan trigonometri dlm penggunaannya untuk menentukan titik balik maksimum & minimum.
