Kali ini kita akan membahas perihal penggunaan Turunan Fungsi dlm menentukan persamaan garis singgung ataupun memilih gradiennya. Sebelum memilih persamaan garis singgung suatu kurva di suatu titik kita pelajari dulu menentukan gradien garis singgung.
Misalkan kita mempunyai kurva dgn persamaan y = f(x). Jika dipunyai titik pada kurva tersebut, katakan saja titik (a, b), maka gradien garis singgung di titik tersebut ialah m = y’ = f’(a).
Contoh 1
Tentukan gradien garis singgung y = x2 + 5x + 4 di titik (1,10)
Jawaban:
y = x2 + 5x + 4, maka y’ = 2x + 5
Untuk x = 1, maka f’(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7
Makara, gradien garis singgungnya yakni 7.
Contoh 2
Tentukan gradien garis singgung y = 2x2 – 6x + 9 di titik (2, 5)
Jawaban:
y = 2x2 – 6x + 9, maka y’ = 4x – 6
Untuk x = 2, maka f’(2) = 4(2) – 6 = 8 – 6 = 2
Jadi, gradien garis singgungnya yaitu 2.
Contoh 3
Tentukan gradien garis singgung y = x3 + 3x2 – 8x + 15 di titik yg berabsis -2.
Jawaban:
y = x3 + 3x2 – 8x + 15, maka y’ = 3x2 + 6x – 8
Berabsis -2, berarti x = -2,
maka f’(1) = 3(-2)2 + 6(-2) – 8 = 12 – 12 – 8 = -8
Kaprikornus, gradien garis singgungnya ialah -8.
Contoh 4
Diketahui kurva y = 2x2 + px + 15 memiliki gradien 6 di titik x = -1. Tentukan nilai p.
Jawaban:
y = 2x2 + px + 15, maka y’ = 4x + p
Untuk x = -1, mempunyai gradien 6.
maka f’(-1) = 6
4(-1) + p = 6
-4 + p = 6
p = 10
Kaprikornus, nilai p yaitu 10.
Contoh 5
Diketahui kurva y = 2x3 – px2 + 9x mempunyai gradien 3 di titik berabsis 1. Tentukan nilai p.
Jawaban:
y = 2x3 – px2 + 9x, maka y’ = 6x2 – 2px + 9
Untuk x = 1, mempunyai gradien 3.
maka f’(1) = 3
6 × (1)2 – 2(1)p + 9 = 3
6 – 2p + 9 = 3
-2p = -12
p = 6
Kaprikornus, nilai p ialah 6.
Nah, sesudah menentukan gradien garis singgung kurva dgn memakai turunan fungsi, mari kita teruskan memilih persamaan garis singgung kurva.
Dalam memilih persamaan garis singgung kurva yg perlu diketahui adalah titik singgung & gradien. Sebab pada dasarnya garis singgung berbentukgaris lurus. Makara, perlu dikatahui titik & gradien garis.
Kemudian setelah menemukan kedua unsur tersebut, kita masukkan ke dlm rumus terkenal berikut.
y – y1 = m(x – x1)
Lebih jelasnya amati pola berikut ini.
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x + 5 yg melalui titik (1, 2).
Jawaban:
y = x2 – 4x + 5
y’ = 2x – 4
Grafik melalui (1, 2), sehingga:
Gradien garis (m) = 2(1) – 4 = -2
Persamaan garis yg lewat (1, 2) & bergradien -2 yakni:
y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = -2 (x – 1)
y – 2 = -2x + 2
y = -2x + 4
Makara, persamaan garis singgung yaitu y = -2x + 4.
Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (2x + 1)2 – 5 yg lewat titik dgn absis -2.
Jawaban:
y = (2x + 1)2 – 5
y’ = 2(2x + 1).2
= 4(2x + 1)
Grafik lewat absis -2 (x = -1), sehingga:
y = (2(-2) + 1)2 – 5
= (-3)2 – 5
= 4
Diperoleh titik (-2, 4)
Gradien garis singgung yg melalui (-2, 4) adalah m = 4(2(-2) + 1) = -12
Persamaan garis yg lewat (-2, 4) & bergradien -12 yakni:
y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = -12(x + 2)
y – 4 = -12x – 24
y = -12x + 20
Makara, persamaan garis singgung adalah y = -12x + 20.
Contoh 3
Diketahui kurva y = 3x2 + 2x – 4 memangkas sumbu Y di titik A. Tentukan persamaan garis singung yg melalui titik A.
Jawaban:
Titik potong kurva y = 3x2 + 2x – 4 terhadap sumbu Y (x = 0)
y = 3(0)2 + 2(0) – 4
y = 4
Titik potongnya adalah (0, 4)
Gradien garis singgung di titik (0, 4)
y’ = 6x + 2
m = y’ = 6(0) + 2 = 2
Persamaan garis singgung yg lewat titik (0, 4) & bergradien 2
y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = 2(x – 0)
y – 4 = 2x – 0
y – 2x – 4 = 0
Jadi, persamaan garis singgung yakni y – 2x – 4 = 0.
Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 4 di titik yg berordinat 8.
Jawaban:
Titik potong kurva y = x2 + x – 4 di titik yg berordinat 8 (y = 8)
y = x2 + x – 4
8 = x2 + x – 4
x2 + x – 12 = 0
(x + 4)(x – 3) = 0
x = -4 atau x = 3
Diperoleh koordinat (-4, 8) & (3, 8)
Gradien garis singgung ialah m = y’ = 2x + 1
Gradien garis di titik (-4, 8) yakni m = 2(-4) + 1 = -7
Persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – 8 = -7(x – (-4))
y – 8 = -7x – 28
y = –7x – 20
Gradien garis di titik (3, 8) adalah m = 2(3) + 1 = 7
Persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – 8 = 7(x – 3)
y – 8 = 7x – 21
y = 7x – 13
Jadi, persamaan garis singgung yakni y = –7x – 20 & y = 7x – 13.
Contoh 5
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 6x – 8 yang sejajar dgn garis y – 2x + 3 = 0.
Jawaban:
Kurva y = x2 + 6x – 8 memiliki gradien garis singgung di setiap titik selaku berikut.
m = y’ = 2x + 6.
Garis y – 2x + 3 = 0 mempunyai gradien 2.
Titik singgung yg memiliki gradien 2 sebagai berikut
y’ = 2
2x + 6 = 2
2x = -4
x = -2
Sehingga diperoleh nilai y = (-2)2 + 6(-2) – 8 = 8
Dengan demikian titik singgungnya ialah (-2, -12)
Persamaan garis singgung yg sejajar garis y – 2x + 3 = 0 (m = 2) di titik (-2, -12)
Persamaan garis
y – y1 = m(x – x1)
y – (-12) = 2(x – (-2))
y + 12 = 2x + 4
y = 2x – 8
Jadi, persamaan garis singgung yakni y = 2x – 8.
Demikianlah sekilas materi singkat perihal cara menentukan gradien & persamaan garis singgung pada kurva memakai turunan fungsi.
Semoga berguna.
Artikel Terkait
Menentukan Nilai Maksimum & Minimum Kurva pada Interval Tertutup Menggunakan Turunan Fungsi
Menentukan Interval Fungsi Naik & Fungsi Turun Suatu Kurva Menggunakan Turunan Fungsi