Keabsahan rumus-rumus dlm matematika tentunya sudah dibuktikan dengan-cara benar & mampu dipertanggungjawabkan. Sebab dgn rumus tersebut maka segala perkiraan akan menjadi lebih cepat & tepat.
Dalam pembuktian rumus-rumus matematika pastinya memakai cara/metode yg tepat, artinya bentuk rumus yg dibuktikan harus menggunakan cara pembuktian yg sempurna.
Ada pembuktian rumus/teorema menggunakan gambar (geometri), ada yg memakai pemisalan, ada yg menggunakan pendekatan ilmiah, atau ada yg menggunakan induksi matematika.
Kali ini kita akan pertanda suatu rumus memakai sistem induksi matematika.
Prinsip Induksi Matematika
Untuk setiap bilangan asli n, misalkan P(n) adalah pernyataan yg bergantung pada nilai n. Adapun yg akan dibuktikan selaku berikut.
- P(1) benar, dan
- untuk setiap bilangan bulat positif k, jikalau P(k) benar maka P(k + 1) pula benar.
Jadi, sesudah P(1), P(k), & P(k+1) benar, maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Langkah-langkah menandakan dgn cara induksi matematika.
Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 : Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 : Anggap bahwa P(k) benar, & gunakan pikiran ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)
Perlu dikenang bahwa dlm Langkah 2 kita tak mengambarkan bahwa P(k) benar. Kita cuma menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) pula bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.
Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita mesti mampu menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dlm pernyataan P(k) yg diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 ke k dlm pernyataan P(k).
Contoh:
P(k) = 2k + 3, maka P(k + 1) = 2(k + 1) + 3
= 2k + 2 + 3
= 2k + 5
P(k) = 3k2 – 7k + 1, maka P(k + 1) = 3(k + 1)2 – 7(k + 1) + 1
= 3(k2 + 2k + 1) – 7k – 7 + 1
= 3k2 + 6k + 3 – 7k – 7 + 1
= 3k2 – k – 3
Dalam matematika banyak sekali rumus-rumus yg berkaitan dgn n.
Bagaimana mengambarkan kebenaran rumus dgn induksi matematika?
Simak beberapa teladan pembuktian induksi matematika berikut.
Demikianlah sekilas cara pertanda sebuah rumus atau pola dgn induksi metematika.
Sekarang coba kalian buktikan rumus pola berikut dgn induksi matematika.
