Bentuk Aljabar

Taukah ananda apa itu aljabar? Bentuk aljabar merupakan suatu bentuk dr matematika di mana dlm penyajiannya memuat aneka macam aksara untuk mewakili bilangan yg belum dikenali.

Bentuk aljabar biasa dipakai dlm menuntaskan duduk perkara pada kehidupan sehari-hari.

Berbagai hal yg tak atau belum dimengerti seperti banyaknya materi bakar minyak yg diperlukan oleh sebuah bis dlm setiap minggunay, jarak yg ditempuh dlm waktu tertentu, ataupun banyaknya masakan ternak yg diharapkan dlm kurun waktu 3 hari.

Hal itu semua mampu kita cari jadinya dgn menggunakan bentuk aljabar. Informasi selengkapnya tentang aljabar simak pembahasan berikut ini.

Unsur Unsur Aljabar

Berbagai bentuk kalimat matematika seperti 2a , -5b, x3, 3p + 2q biasa dikenal dgn sebuatan bentuk aljabar.

Dalam bentuk aljabar 2a,2 , angka tersebut dinamakan koefisien, sementara untuk a disebut sebagai variabel atu pula mampu disebut selaku peubah.

Sedangkan untuk bentuk 5x² + 13x + 6 disebut selaku bentuk aljabar suku dua atau binom. Dan bentuk 8x² – 26xy + 15y² disebut selaku bentuk aljabar suku tiga atau  trinom.

Dari ulasan singkat di atas, kita sudah mengenali beberapa unsur yg ada di aljabar. Untuk memudahkan pemahaman kalian, berikut akan kami berikan gosip detailnya untuk masing-masing unsur. Simak baik-baik ulasan berikut ini.

1. Variabel

Variabel merupakan suatu lambang sebagai pengganti pada suatu bilangan yg belum diketahui nilainya dgn terperinci.

Variabel pula memiliki sebutan lain yakni peubah. Variabel pada umumnya dilambangkan dgn penggunaaan aksara kecil a, b, c, … z.

Sebagai pola:

Sebuah bilangan apabila kita kalikan 5 kemudian dikurangi 3, kesudahannya akan berjumlah 12. Buatlah bentuk persamaannya!

Jawab:

Misalnya, bilangan tersebut x, yg artinya 5x – 3 = 12. (di mana x adalah variabelnya)

2. Konstanta

Suku dr suatu bentuk aljabar yg berwujud bilangan serta tak menampung variabel disebut selaku konstanta.

Sebagai contoh:

Tentukan konstanta dr bentuk aljabar di bawah ini:

a. 2 x² + 3xy + 7x – y – 8

b. 3 – 4 x² – x

Jawab: 

a. Konstanta merupakan suku yg tak memuat variabel, sehingga konstanta dr 2 x² + 3xy + 7x – y – 8

tidak lain yaitu –8.

b. Konstanta dr 3 – 4 x² – x yakni 3.

3. Koefisien

Koefisien dlm bentuk aljabar merupakan suatu faktor konstanta dr suatu suku dlm bentuk aljabar.

Sebagai acuan:

Tentukan koefisien x dr bentuk aljabar di bawah ini:

a. 5x²y + 3x

b. 2x²+ 6x – 3

Jawab:

a. Koefisien x dr 5 x²y + 3x yaitu 3.

b. Koefisien x dr 2 x² + 6x – 3 yakni 6. 

4. Suku Sejenis & Suku Tak Sejenis

1. Suku

Yang dimaksud suku dlm aljabar merupakan suatu variabel beserta koefisiennya atau konstanta dlm bentuk aljabar yg dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku dlm aljabar di bagi menjadi dua macam, yakni suku sejenis & suku tak sejenis, berikut isu selengkapnya.

Suku-suku sejenis merupakan suatu suku yg mempunyai variabel serta pangkat dr masing-masing variabel yg sama.

Sebagai teladan:

5x & –2x, 3a2 & a2, y & 4y, …

Sedangkan, suku tak sejenis merupakan suatu suku yg mempunyai variabel & pangkat dr masing-masing variabel yg tak sama.

Sebagai acuan:

2x & –3×2, –y & –x3, 5x & –2y, …

2. Suku Satu

Suku satu dlm aljabar merupakan bentuk aljabar yg tak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Sebagai contoh:

3x, 2a2, –4xy, …

3. Suku Dua

Yang dimaksud suku dua dlm aljabar yakni bentuk aljabar yg dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

Sebagai contoh:

2x + 3, a2 – 4, 3×2 – 4x, …

4. Suku Tiga

Suku tiga merupakan bentuk aljabar yg dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Sebagai pola:

2×2 – x + 1, 3x + y – xy, …

Bentuk aljabar yg mempunyai lebih dr dua suku disebut selaku suku banyak.

Operasi Hitung dlm Al jabar

Berikut akan kami berikan penjelasan operasi hitung mirip penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian & lainnya dlm bentuk aljabar. Perhatikan baik-baik ulasan di bawah ini ya.

1. Penjumlahan & Pengurangan Bentuk Aljabar

Dalam bentuk aljabar, operasi penjumlahan & pula pengurangan hanya bisa dijalankan pada suku-suku yg sejenis atau sama.

Kita hanya perlu untuk menjumlahkan atau mengurangkan koefisien pada suku-suku yg sejenis.

Agar lebih terang, liat acuan soal di bawah ini:

Tentukan hasil penjumlahan & pula penghematan pada bentuk aljabar di bawah ini:

a. –4ax + 7ax

b. (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)

c. (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)

Jawab:

a. –4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax

b.

(2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)

= 2x² – 3x + 2 + 4x² – 5x + 1

= 2x² + 4x² – 3x – 5x + 2 + 1

= (2 + 4)x² + (–3 – 5)x + (2 + 1)

= 6x² – 8x + 3

c.

(3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)

= 3a² + 5 – 4a² + 3a – 2

= 3a² – 4a² + 3a + 5 – 2

= (3 – 4)a² + 3a + (5 – 2)

= – a²+ 3a + 3

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bila dlm perkalian bilangan bundar akan berlaku sifat distributif perkalian pada penjumlahan.

Di mana a × (b + c) = (a × b) + (a × c) serta sifat distributif perkalian pada penghematan yaitu a × (b – c) = (a × b) – (a × c).

Sehingga, untuk masing-masing bilangan bundar a, b, & c. Sifat ini akan berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

Berikut akan kami berikan berbagai jenis perkalian yg ada di dlm bentuk perkalian aljabar.

a. Perkalian antara konstanta dgn bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dgn bentuk aljabar suku satu serta suku dua dinyatakan seperti di bawah ini:

k(ax) = kax

k(ax + b) = kax + kb

Sebagai acuan:

Uraikan bentuk aljabar di bawah ini, kemudian sederhanakanlah!

a. 4(p + q)

b. 5(ax + by)

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)

d. –8(2x – y + 3z)

Jawab:

a. 4(p + q) = 4p + 4q

b. 5(ax + by) = 5ax + 5by

c.

3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6

= (3 + 42)x – 6 + 6

= 45x

d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z

b. Perkalian antara dua bentuk aljabar

Seperti pada perkalian suatu konstanta dgn bentuk aljabar, untuk mencari hasil kali antara dua bentuk aljabar kita bisa menggunakan sifat distributif perkalian pada penjumlahan. Serta pula dapat menggunakan sifat distributif perkalian kepada penghematan.

Selain dgn menggunakan sistem atau cara tersebut, untuk mencari hasil kali antara dua bentuk aljabar. Kita pula bisa menggunakan cara atau sistem sebagai berikut.

Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dgn suku dua di bawah ini:

(ax+b)(cx+d) = ax × cx + ax × d + b × cx + b × d

          = acx² + (ad +bc)x + bd

 

Selain dgn sistem skema seperti yg tertera di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dgn suku dua kita pula mampu menggunakan sifat distributif seperti uraian di bawah:

(ax+b)(cx+d) = ax(cx +d) + b(cx +d)

= ax × cx +ax × d + b × cx + b × d

= acx² +adx +bcx +bd

 = acx² +(ad + bc)x + bd

3. Perpangkatan

Masih ingatkah kalian tentang operasi perpangkatan pada bilangan bundar?

Operasi perpangkatan didefinisikan sebagai perkalian berulang pada bilangan yg sama.

Hal tersebut ternyata pula berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar lho. Dalam perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien masing-masing suku akan diputuskan menurut segitiga Pascal.

Sebagai contoh, kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dgn n merupakan bilangan asli.

Perhatikan baik-baik ulasan di bawah ini:

Dalam uraian di atas mengenai segitiga Pascal, bilangan yg terletak di bawahnya ditemukan dr penjumlahan bilangan yg berdekatan yg letaknya di atasnya.

4. Pembagian

Hasil bagi dua dlm bentuk aljabar mampu kita peroleh dgn cara memilih apalagi dulu faktor dr sekutu masing-masing dr bentuk aljabar tersebut.

Lalu kita kerjakan pembagian pada pembilang & pula penyebutnya.

Sebagai teladan:

9x : 3 = 9x/3 = 3x

15pq : 5q = 15pq / 5 q = 3p

Pembagian bentuk aljabar akan lebih gampang dikerjakan apabila kita ubah bentukan ke dlm bentuk pecahan.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai dr sebuah bentuk aljabar mampu kita cari dgn cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk dr aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK & FPB Bentuk Aljabar

Masih ingatkah kalian cara untuk memilih KPK & FPB dr dua ataupun lebih bilangan lingkaran?

Hal tersebut pula berlaku pada bentuk aljabar lho.

Untuk mencari KPK & pula FPB pada bentuk aljabar mampu kita lakukan dgn cara menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

7. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Materi pangkat bahwasanya sudah kita pelajari di kelas 7 Sekolah Menengah Pertama. Pada intinya sama, bilangan pangkat didefinisikan selaku berikut ini:

aⁿ = a x a x a x … x a (a sebanyak n)

Contoh soal apabila diaplikasikan dlm bentuk aljabar:

(2a)³ = 2a x 2a x 2a = 2 x 2 x 2 x a x a x a = 8a³

(4x²y)² = 4x²y x 4x²y = 16 x⁴ y²

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a-b)² = a² – 2ab + b²

Pecahan dlm bentuk Al jabar

1. Pengurangan & Penjumlahan Pecahan dlm Bentuk Aljabar

Sebetulnya prinsipnya sama dgn cara menjumlahkan & mengurangkan pecahan bentuk aljabar. Di mana penghematan & penjumlahannya sama dgn menjumlahkan & mengurangkan pada pecahan biasa.

Yakni dgn cara menyamakan penyebutnya apalagi dulu.

Perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:

Sementara untuk operasi pengurangan perhatikan pola di bawah ini:

2. Perkalian & Pembagian Bentuk Aljabar

a. Perkalian

Caranya hampir sama dgn yg ada pada perkalian pecahan. Pembilang kali pembilang, penyebut kali penyebut kemudian kita sederhanakan apabila terdapat bilagan yg mampu disederhanakan.

Rumusnya:

Sebagai contoh:

b. Pembagian

Cara pembagian pecahan dlm bentuk aljabar sama dgn pembagian yg ada pada bilangan pecahan biasa.

Kalian mampu mengubahnya ke bentuk perkalian dgn membalik pecahan aljabar pembagi.

Rumusnya:

Sebagai contoh:

c. Penyederhanaan Pecahan bentuk Aljabar

Untuk mampu menyederhanakan pecahan dlm bentuk aljabar kalian mesti memegang prinsip. Prinsipnya di mana pada dikala ada aspek persekutuan yg sama antara pembilang & penyebut maka mampu kita sederhanakan.

Faktor komplotan mampu berwujud angka ataupun variable dgn jenis & pangkat yg sama.

Perhatikan teladan berikut ini:

Sederhanakan pecahan berikut:

10p/24pr

Dari pecahan di atas, terdapat aspek persekutuan yg sama antara pembilang & penyebut yakni 2p. Faktor komplotan ini kita coret sehingga akan berkembang menjadi:

10p/24pr = 2p . 5 / 2p . 12 r = 5/12r

Dalam beberapa perkara soal pada umumnya penyederhanaan pecahan dilakukan dgn apalagi dulu melaksanakan pemfaktoran.

Sebagai pola:

Pemfaktoran Bentuk Aljabar

1. Pemfaktoran menggunakan Sifat Distributif

Contoh:

Coba kalian cari faktor dr  5ab + 10b

Untuk mencari aspek dr 5ab + 10b pertama yg harus kalian kerjakan yakni mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) dr 5 & 10 serta dr ab & b.

FPB dr 5 & 10 yakni 5 serta komplotan terbesar ab & b yakni b. Sehingga kita keluarkan 5b.

5ab + 10b = 5b (a+2b)

2. Pemfaktoran Selisih Dua Kuadrat

Yang disebut selaku bentuk selisih dua kuadrat yakni:

a² – b² = (a+b) (a-b)

Sebagai acuan:

25x² – y² = (5x + y) (5x – y)

20p² – 5q² = 5 (4p² – q²) = 5 (2p + q) (2p – q)

3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

a. Pemfaktoran ax² + bx + c dgn a = 1

Bentuk aljabar kuadrat x² + (p + q)x + pq bisa kita faktorkan menjadi (x + p) (x + q).

Sebagai acuan:

x² + (p + q)x + pq = ax² + bx + c sehingga akan menjadi:

a = 1, b = p + q,dan c = pq.

Dari contoh di atas, bisa kita lihat bila p & q ialah faktor dr c.

Apabila p & q dijumlahkan, akibatnya yakni b. Dengan begitu, untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dgn a = 1, tentukan dua bilangan yg merupakan aspek dr c. Serta bila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dgn b.

Contoh:

x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)

Misalnya, x² + 5x + 6 = ax² + bx + c, ditemukan a = 1, b = 5, & c = 6.

Untuk mengisi titik-titik, pastikan dua bilangan yg merupakan faktor dr 6 serta jikalau kedua bilangan tersebut dijumlahkan, karenanya akan sama dgn 5.

Faktor dr 6 yakni 6 & 1 atau 2 & 3, yg memenuhi syarat yakni 2 & 3 alasannya adalah 2 + 3 = 5

Sehingga, x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3).

b. Pemfaktoran Bentuk ax² + bx + c dgn a ≠ 1

Sebelumnya, kalian sudah memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dgn a = 1. Sekarang kalian akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dgn a ≠ 1.

Perhatikan contoh di bawah ini:

(x + 3) (2x + 1) = 2x² + x + 6x + 3

= 2x² + 7x + 3

Dengan kata lain, bentuk dr 2x² + 7x + 3 kalau kita faktorkan akan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2×2 + 7x + 3 yaitu dgn cara membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.

2x² + 7x + 3

= 2x² + (x + 6 x) +3

= (2x² + x) + (6x + 3)

= x (2x + 1) + 3(2x + 1)

= (x + 3)(2x+1)

Dari uraian di atas mampu kita simpulkan bahwa untuk melakukan pemfaktoran ax² + bx + c dgn a ≠ 1 bisa kita lakukan dgn memakai tahapan selaku berikut:

1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yg kalau kedua suku tersebut dikalikan akan menghasilkan nilai yg sama dgn (ax²)(c). –> b = a x c
2. Faktorkan bentuk yg didapatkan pada langkah 1 dgn menggunakan sifat distributif perkalian kepada penjumlahan atau penghematan.

2x² + 11x + 12

= 2x² + 3x + 8x + 12

(11 diuraikan 3 & 8, 3 x 8 = 2 x 12)

= (2x² + 3x) + (8x + 12)

= x(2x + 3) + 4(2x + 3)

= (x + 4)(2x + 3)

Contoh Soal & Pembahasan

Penjumlahan & Pengurangan Aljabar 

Soal 1.

Tentukan bentuk sederhana dari:

4(3x + 2) – 3(6x – 5)

Jawab:

4(3x + 2) – 3(6x – 5)

= 4.3x + 4.2 – (3.6x – 3.5)

= 12x + 8 – (18x – 15)

= 12x + 8 – 18x + 15

= 12x – 18x + 8 + 15

= -6x + 23

Soal 2.

Faktorkan bentuk-bentuk berikut:

a) 25x + 20y

b) 2mn − 8m

c) 15xy² + 10x²y

d) 6ab²c³ − 18 a³c²

e) 4xy²z³ + 6x²y³z²  + 12x³yz²

f) 4xy²z³ + 6x²y³z²

Jawab:

Soal-soal di atas yakni tipe distributif, sehingga cara pemfaktorannya tinggal kita ringkas saja menjadi :

a) 25x + 20y

= 5(5x + 4y)

b) 2mn − 8m

= 2m(n − 4)

c) 15xy² + 10x²y

= 5xy (3y + 2x)

d) 6ab²c³ − 18 a³c²

= 6ac² (b²c + 3a²)

e) 4xy²z³ + 6x²y³z²  + 12x³yz²

= 2xyz (2yz² + 3xy²z + 6x²z)

f) 4xy²z³ +  12x³yz²

= 2xyz (2yz²  + 6x²z)

Soal 3.

Tulislah bentuk sederhana dr bilangan di bawah ini:

6x² + x – 2 / 4x² – 1 ?

Jawab:

Pemfaktoran dr pembilangnya yaitu:

6x² + x – 2 = 6x² – 3x + 4x – 2

= 3x ( 2x – 1 ) + 2 ( 2x – 1 )

= ( 3x + 2 ) ( 2x – 1 )

Pemfaktoran dr penyebutnya:

4x² – 1 = ( 2x + 1 ) ( 2x – 1 )

Sehingga akan kita peroleh bentuk bilangan mirip:

6x² + x – 2 / 4x² – 1 = ( 3x + 2 ) ( 2x – 1 ) / ( 2x + 1 ) ( 2x – 1 )

Lalu kita hilangkan aspek yg sama antara penyebut & pembilang nya, yaitu 2x – 1. Sehingga akan didapatkan sebuah hasil tamat mirip di bawah ini:

6x² + x – 2 / 4x² – 1 = 3x + 2 / 2x + 1

Sehingga, hasil bentuk sederhana dr bilangan 6x² + x – 2 / 4x² – 1 ialah: 3x + 2 / 2x + 1.

Soal 4.

Berapakah hasil dr bilangan di bawah ini:

( 2x + 3 ) ( 4x – 5 )?

Jawab:

( 2x + 3 ) ( 4x – 5 ) = 2x ( 4x – 5 ) + 3 ( 4x – 5 )

= 8x² – 10x + 12x – 15

= 8x² + 2x – 15

Sehingga, hasil dr bilangan ( 2x + 3 ) ( 4x – 5 ) yakni: 8x² + 2x – 15.

Soal 5.

Tulislah bentuk sederhana dr bilangan di bawah ini:

3x² – 13x – 10 / 9x² – 4 ?

Jawab:

Pemfaktoran dr pembilangnya yakni:

3x² – 13x – 10 = 3x² – 15x + 2x – 10

= 3x ( x – 5 ) + 2 ( x – 5 )

= ( 3x + 2 ) ( x – 5 )

Pemfaktoran dr penyebutnya yaitu:

9x² – 4 = ( 3x + 2 ) ( 3x – 2 )

Sehingga akan kita peroleh bentuk bilangan:

3x² – 13x – 10 / 9x² – 4 = ( 3x + 2 ) ( x – 5 ) / ( 3x + 2 ) ( 3x – 2 )

Lalu hilangkan aspek yg sama antara pembilang & penyebutnya yaitu 3x + 2. Sehingga, akan kita peroleh hasil final seperti di bawah ini:

3x² – 13x – 10 / 9x² – 4 = x – 5 / 3x – 2

Sehingga, hasil bentuk sederhana dr bilangan 3x² – 13x – 10 / 9x² – 4 yakni: x – 5 / 3x – 2.

Demikianlah ulasan singkat kali ini yg dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mampu kalian jadikan sebagai materi belajar kalian.