Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga

Barisan merupakan urutan dr suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, & seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dr suatu barisan dinotasikan $U_n$ . Barisan pula dapat didefinisikan selaku fungsi dr bilangan orisinil atau fungsi yg domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, $U_n = f(n)$

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org lainnya:

Integral

Perkalian & Invers Matriks

barisan & deret sebagai fungsi

Misalkan $U_n = (2n + 1)$ , maka suku ke-4 dr baris tersebut yaitu $U_4 = (2(4) + 1) = 9$ .

Penjumlahan suku-suku dr suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dlm bentuk sigma. Barisan dr suku U₁, U₂, U₃, …, U_n yg dinyatakan dlm fungsi f(n) = U_n $f(n) = U_n$ mempunyai deret selaku :

$U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum \limits_ i=1 ^ n U_i$

Daftar Isi

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yg nilai setiap sukunya ditemukan dr suku sebelumnya lewat penjumlahan atau penghematan dgn suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yg berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

$U_n - U_ (n - 1) = b$

Sebagai teladan baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dgn nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengenali nilai suku ke-n dr suatu barisan aritmatika dapat diketahui dgn mengetahui nilai suku ke-k & selisih antar suku yg berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k + (n - k)b$

Jika yg diketahui adalah nilai suku pertama $U_k = a$ & selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 & nilai $U_n$ ialah:

$U_n = a + (n - 1)b$

Deret Aritmatika

Deret aritmatika yakni penjumlahan suku-suku dr suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dr suku-suku petama hingga suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

Contoh Soal Permutasi

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_ (n-1)$

atau sebagai:

$S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)$

Jika cuma dimengerti nilai a dalalah suku pertama & nilai ialah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya ialah:

$S_n = \frac n 2 (a + U_n)$

Persamaan tersebut mampu dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1)$ .

$S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1)$ .

$S_n - S_(n-1) = U_n$

Sehingga diperoleh $U_n = S_n - S_(n-1)$ .

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dgn telah dimengerti nilai suku pertama (a) & suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika & memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 & diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

$b = \frac p-a q+1$

Misalkan a= 1 & p = 9, jikalau disisipkan 3 bilangan diantara a & p, maka baris belangan aritmatikanya ialah:

Nilai q = 3

Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5

$b = \frac 9-1 3+1 = \frac 8 4 = 2$

Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika ialah suku ke- $\frac 1 2 (n+1)$ . Jika teratasi dlm rumus $U_n = a + (n - 1)b$ , maka nilai suku tengah ditemukan:

$U_n = a + (n - 1)b$

$U_ \frac 1 2 (n + 1) = a + (\frac 1 2 (n + 1) - 1)b$

$= a + (\frac 1 2 n - \frac 1 2 )b = a + \frac 1 2 (n - 1)b$

$= \frac 2a+(n - 1)b 2 = \frac a + a(n - 1)b 2$

$U_ \frac 1 2 (n + 1) = \frac a + U_n 2$

Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yg nilai setiap sukunya ditemukan dr suku sebelumnya melalui perkalian dgn suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dgn nilai suku sebelumnya yg berdekatan senantiasa sama yakni r. Sehingga:

$\frac U_n U_ (n - 1) = r$

Sebagai teladan baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dgn nilai

$r = \frac 16 8 = \frac 8 4 = \frac 4 2 = \frac 2 1 = 2$

Untuk mengenali nilai suku ke-n dr suatu barisan geometri dapat dikenali dgn mengetahui nilai suku ke-k & rasio antar suku yg berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k \cdot r^ (n - k)$

Jika yg dimengerti yakni nilai suku pertama $U_k = a$ & rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 & nilai $U_n$ adalah:

$U_n = a \cdot r^ (n - 1)$

Deret Geometri

Deret geometri yakni penjumlahan suku-suku dr suatu barisan geometri. Penjumlahan dr suku suku petama hingga suku ke-n barisan geometri dapat dijumlah sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_ (n - 1) + U_n$

Atau selaku :

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^ (n - 2) + ar^ (n - 1)$

Jika cuma dikenali nilai a adalah suku pertama & nilai U_n ialah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya ialah:

$S_n = a\frac (1 - r^n) (1 - r)$

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

$S_n = a \frac (r^n - 1) (r - 1)$

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut mampu dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dgn deret aritmatika yakni:

$U_n = S_n - S_ (n - 1)$

Sisipan

Jika hendak menciptakan sebuah baris geometri dgn telah dimengerti nilai suku pertama (a) & suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri & mempunyai rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut mempunyai banyak suku q + 2 & diurutkan menjadi:

a, ar, ar², ar³, …,ar^q, ar^(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar^(q+1) = p

Sehingganilai r mampu diputuskan sebagai:

$r = \sqrt[q + 1] \frac p a$

Deret Geometri Tak hingga

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana $n \rightarrow \infty$ , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \cdots$

Atau sebagai :

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots$

Deret geometri tak hingga terdiri dr 2 jenis yaitu konvergen & divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen kalau penjumlahan dr suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dr suku-sukunya tak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga mampu diperoleh dgn mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri ialah:

$S_n = a \frac (1 - r^n) (1 - r)$

Dimana terdapat bagian $r^n$ didalam perhitungannya yg terpengaruh jumlah suku n. Jika $n \rightarrow \infty$ , maka untuk memilih nilai $r^n$ mampu memakai limit yaitu:

$lim_ n \rightarrow \infty r^n$

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

$lim_ n \rightarrow \infty r^n = tak terbatas$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit $r^n$ tersebut mampu dimasukan kedalam perhitungan deret selaku :

$S = a \frac (1 - lim_ n \rightarrow \infty r^n) (1 -r) = a \frac 1 - 0 1 - r = \infty$

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

$S = a \frac (1 - lim_ n \rightarrow \infty r^n (1 - r) = a \frac (1 - \infty) (1 - r) = \infty$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Contoh Soal Barisan & Deret Aritmatika/Geometri & Pembahasan

1. Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke-5 sama dgn 42, & suku ke-8 sama dgn 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $U_5 = 42$ , $U_8 = 15$ , maka dapat digunakan rumus :

$U_n = U_k + (n - k)b$

Dimana:

$U_8 = U_5 + (8 - 5)b$

$15 = 42 + (8 - 5)b$

$3b = -27$

$b = -9$

Sehingga:

$U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36$

$78 = a$

$U_ 12 = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21$

Diperoleh:

$S_ 12 = \frac n 2 (a + U_12) = \frac 12 2 (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342$

2. Contoh Soal Deret Geometri

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri yaitu 6 & jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka pastikan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan: