Acuan Soal Barisan Dan Deret Aritmatika Beserta Jawabannya

Pembahasan mata pelajaran matematika kali ini akan mengupas persoalan mengenai barisan dan deret aritmatika.

Persoalan yang paling kerap muncul atau ditanyakan yakni mencari suku ke-n dari suatu barisan, memilih beda antar suku, menentukan banyaknya suku dan mencari nilai suku pertama.

Namun sebelum kita memasuki ke latihan soal, kita akan mengetahui apalagi dulu apa itu barisan dan deret aritmatika. Karena selain barisan dan deret aritmatika, kita juga mengenal barisan dan deret geometri. Namun dalam pembahasan kali ini, fokus kita teteap pada barisan dan deret aritmatika.

Daftar Isi

Barisan dan Deret Aritmatika

Setelah diuraikan dalam penjelasan selanjutnya, diperlukan kita mengerti seperti apa barisan atau deret serta perbedaannya dan juga mengenali maksud dari barisan dan deret aritmatika. Disamping itu kita mampu mengerti yang mana dinamakan suku dan nilai beda.

Apa itu Barisan ?

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibuat menurut suatu urutan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

1, 2, 3, 4, 5,6,7 (Bilangan 1 adalah suku pertama, bilangan 2 yakni suku kedua dst)
2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 ialah suku ketiga, bilangan 17 ialah suku keenam).
14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 ialah suku kedua, bilangan 10 adalah suku ketiga dst).

Sehingga terang bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang memiliki pola tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan pola tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak sebagai suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U₃,…..U_n
maka : U₁ + U₂ + U₃ +… +U_n yaitu deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + .U_n

2 + 4 + 6 + 8 +… + .U_n

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika ialah barisan yang memiliki nilai selisih antara dua suku yang berurutan senantiasa tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku selanjutnya yakni konstan. Dengan kata lain, kita hanya menyertakan nilai yang sama setiap waktu.

Bilangan Komposit: Pemahaman, Contoh, Soal

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …

Barisan tersebut mempunyai nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.

Secara umum, kita mampu menulis barisan aritmatika tersebut :

a, a+b, a+2b, a+3b, …

dimana:

a ialah suku pertama,
b yaitu nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = a + (n – 1)b
dimana :

U_n: suku ke-n
a: suku pertama
b: nilai beda
n: banyak suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = U_n-U_(n-1)
dimana :

b adalah nilai beda
U_n: suku ke-n

3. Untuk mencari Suku Tengah
Kita dapat mencari suku tengah yang memiliki n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka dipakai rumus :

U_t = a + U_n 2
dimana :

U_t yakni suku tengah
a adalah suku pertama
U_n adalah suku ke-n (dalam hal ini bertindak selaku suku terakhir)

Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya dikenali suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya:

U_t = a + (n-1)b 2dimana :

U_t yaitu suku tengah
a ialah suku pertama
n menyatakan banyaknya suku
b menyatakan nilai beda

Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika yakni jumlah dari barisan aritmatika yang umum ditandai dengan tanda plus (+).

Contoh :

2 + 4 + 6 + 8 + 10
3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, digunakan rumus:

S_n = n 2 (a+U_n)
atau
S_n = n 2 (2a + (n-1)b) dimana :

S_n menyatakan jumlah suku ke-n
a ialah suku pertama
U_n menyatakan nilai suku ke-n
b menyatakan nilai beda
n menyatakan banyaknya suku

Latihan Soal

Soal No.1

Sebuah barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya yakni 20, maka suku tengahnya yaitu:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16

Pembahasan

a = 4
U_n = 20
U_t= a + U_n 2 = 20 + 42 = 12

Jawab : a

Soal No.2

Terdapat suatu barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya ialah 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12

Pembahasan:

a = 2
b = 2
n = 7
U_t= a + (n-1)b 2U_t= a + (n-1)b 2 = 2 + (7-1)2 2 = 8

Jawab : b

Soal No.3

Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, ………U_n. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. U_n = 3n -1
a. U_n = 3n -2
c. U_n = 3n + 1
d. U_n = 3n + 3

Irisan Dua Lingkaran

Pembahasan:

a = 2
b = 3
U_n= a + (n-1)b
U_n= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n – 3 = 3n-1

Jawab : a

Soal No.4

Diketahui U₂ + U₄ = 12 dan U₃ + U₅ = 16, maka suku ke-7 barisan itu yaitu
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10

Pembahasan

Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U₂ +U₄ = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6

Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U₃ + U₅ = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8

Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b…. substitusi ke persamaan (2)

Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2

Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.

Kaprikornus, suku pertama barisan itu ialah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut ialah :
U₇ = a + 6b
⇒ U₇ = 2 + 6(2) ⇒ U₇ = 14

Jawab: b

Soal No.5

Dalam suatu barisan aritmatika dikenali suku kedua adalah 5 dan suku kelima yaitu 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155

Pembahasan:

Suku Kedua :
⇒ U₂ = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 – b…(Persamaan 1)

Suku Kelima :
⇒ U₅ = 14
⇒ a + 4b = 14…(Persamaan 2)

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 – b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Makara a = 5 -b
⇒ a = 5 – 3 = 2

Jumlah 10 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₁₀= 10 2 (a+U₁₀)
⇒ S₁₀= 5 (a + a + 9b)
⇒ S₁₀= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S₁₀= 155

Jawab: d

Soal No.6

Diketahui suatu suku ke-4 dan suku ke-9 dari deret aritmatika adalah 16 dan 51. Jumlah 25 suku pertama yakni …
a. 163
b. 326
c. 1975
d. 3950

Pembahasan

Rumus suku ke-n :
U_n = a + (n – 1)b

Suku ke-4 :
⇒ U₄ = 16 ⇒ a + 3b = 16 ……(Persamaan 1)

Suku ke-9 :
⇒ U₉ = 51 ⇒ a + 8b = 51 ……(Persamaan 2)

Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :

a + 8b = 51
a + 3b = 16
___________ _
    5b = 35
     b = 7

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5

Jumlah 25 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + U₂₅)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + a + 24b )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-5 – 5 + 24(7) )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-10 + 168 )
⇒ S₂₅ = 25 2 158
S₂₅ = 1975

Aritmatika Sosial

Jawab : c

Soal No.7

Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan 114.Jumlah bilangan paling besar dan terkecil yakni….
a. 36 dan 40
b. 36 dan 38
c. 38 dan 40
d. 36 dan 42

Pembahasan

Dari soal di atas, bilangan genap berurutan niscaya akan memiliki nilai beda sama dengan 2.

Lalu dari bilangan genap berturut-turut, dapat kita misalkan U₁, U₂, U₃

Dari soal diketahui tiga bilangan genap berurutan bernilai 114, dapat kita maknai selaku :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
Suku ke-1 ialah :
⇒ U₁ = a + (1 – 1) 2
⇒ U₁ = a

Suku ke-2:
⇒ U₂ = a + (n – 1) b
⇒ U₂ = a + (2 – 1) 2
⇒ U₂ = a + 2

Suku ke-3:
⇒ U₃ = a + (n – 1) b
⇒ U₃ = a + (3 – 1) 2
⇒ U₃ = a + 4

Lalu jumlahkan ketiga suku tersebut :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
⇒ a + a + 2 + a + 4 = 114
⇒ 3a + 6 = 114
⇒ 3a = 114 – 6
⇒ 3a = 108
⇒ a = 36

Makara suku ke-2 yaitu :
⇒ U₂ = a + 2
⇒ U₂ = 36 + 2
⇒ U₂ = 38

Jadi suku ke-3 ialah :
⇒ U₂ = a + 4
⇒ U₂ = 36 + 4
⇒ U₂ = 40

Kaprikornus nilai bilangan terkecil 36 dan bilangan paling besar 40

Jawab : a

Soal No.8

Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut:
5, -2, -9, -16, ….
a. -338
b. -77
c. -438
d. 128

Pembahasan

a = 5

Misal kita cari beda suku ke-3 dan ke-2
b = U_n-U_(n-1)
b = U₃-U_(3-1)
b = U₃-U₍₂₎
b = (-9) – (-2)
b = -9 + 2
b = -7

Maka suku ke-50:
U_n = a + (n – 1)b
U₅₀ = 5 + (50 – 1).-7
U₅₀ = 5 + (49).-7
U₅₀ = 5 – 343
U₅₀ = -338

Jawab : a

Soal No.9

Jika dimengerti barisan aritmatika dengan suku ke-3 = 12 dan suku ke-8 = 37. Maka suku pertama dan nilai bedanya adalah…
a. suku pertama = 2 dan nilai beda = 7
b. suku pertama = 2 dan nilai beda = 5
c. suku pertama = 7 dan nilai beda = 7
d. suku pertama = 7 dan nilai beda = 5

Pembahasan

Diketahui suku ke-3 = U₃ = 12, maka
U_n = a + (n – 1)b
12 = a + (3 – 1)b
12 = a + 2b …..Persamaan (1)

Diketahui suku ke-8 = U₃ = 37, maka
U_n = a + (n – 1)b
37 = a + (8 – 1)b
12 = a + 7b …..Persamaan (2)

Lakukan penghematan persamaan (2) dan (1)

a + 7b = 37
a + 2b = 12
___________ _
    5b = 25
     b = 5

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 2b = 12
⇒ a + 2(5) = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 12 – 10
⇒ a = 2

Makara suku pertama = 2 dan nilai beda = 5

Jawab b

Anda dapat mendengarkanpembahasan dari teladan soal dalam bentuk video berikut ini :