Daftar Isi
Teorema Sisa Matematika Kelas 11 SMA
Teorema sisa merupakan bahan lanjutan dari suku banyak yang sudah dibahas sebelumnya, yang membahas ihwal pembagian suku banyak dengan sistem horner dan tata cara bersusun, dan juga kesamaan suku banyak.
Pada pembahasan kali ini yakni bahan perihal teorema sisa.
Sisa pembagian sebuah suku banyak mampu diputuskan dengan teorema sisa ialah:
Jika suku banyak f(x) dibagi x – k , maka sisanya yaitu f(k)
Pembagi berbentuk (x – b)
Contoh 1:
1).Tentukan sisa pada pembagian f(x) = 2x3 + x2 – 5x + 2 dibagi dengan x + 1
[Penyelesaian]
Dengan memakai teorema sisa, maka sisanya adalah f(–1)
Dengan tata cara subtitusi:
=2(-1)^3+(-1)^2-5(-1)+2&space;\\f(-1)=-2+1+5+2=\mathbf6 "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Jadi, sisa pembagian S = 6
Dengan metode Horner:
Buat apalagi dulu bagan atau bagan mirip dibawah ini,
Dari bagan diatas diperoleh hasil bagi: 2x2 – x – 4 sisa = 6
Jelas dari dua metode ini teorema sisa tata cara horner lebih baik dari pada sistem subtitusi alasannya adalah dengan sistem horner tidak hanya sisa yang didapat tetapi juga hasil bagi, sedangkan dengan tata cara subtitusi cuma diperoleh sisa pembagian saja.
Teorema sisa – Pembagi berbentuk (ax + b)
2). Jika f(x) = 3x3 –8x2 + ax –4 dibagi 3x-2 sisanya – 2, tentukanlah nilai a
[Penyelesaian]
Untuk soal ini lebih gampang dengan teorema sisa tata cara subtitusi,
=3(\frac23)^3-8(\frac23)^2+a(\frac23)-4&space;\\\\-2=\frac89-\frac329+\frac23a-4&space;\\\\\frac23a=\frac143&space;\\\\\mathbfa=7 "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
3). Suku banyak a6 + 6b6 dibagi dengan a2 + b2 tentukan sisanya.
[Penyelesaian]
Suku banyak ini dipandang suku banyak variabel dalam a dan b dipandang selaku konstanta, maka:
=a^6+6b^6 "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Dengan mensubtitusi a2 = – b2 , maka
Jadi, sisanya yaitu :
4). Jika f(x) dibagi x – 3 sisanya 3, sedangkan kalau dibagi x + 4 sisanya –4
Tentukanlah sisanya jikalau f(x) dibagi (x – 3)( x + 4), dengan memakai teorema sisa.
[Penyelesaian]
Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya (ax + b), maka dengan menggunakan teorema sisa:
f(x) =(x – 3)( x + 4).H(x) + (ax + b)
f(3) = 3a + b = 3 …..(1)
f(–4) = –4a + b = – 4 ……(2)
Dari (2) – (1), a = 1 dan b = 0
Kaprikornus, sisa = ax + b = x
Pembagian suku banyak Pembagi berupa kuadrat
Contoh 2 :
1). Jika f(x) dibagi x + 1, x + 2 dan x + 3 maka sisanya berturut-turut ialah 2, 3 dan 6. Tentukanlah sisanya jikalau f(x) dibagi (x + 1)( x + 2) ( x + 3)
[penyelesaian]
Pembagi (x + 1)( x + 2) ( x + 3) berderajat tiga, maka sisanya maksimum berderajat 2. Misalkan sisanya ax2 + bx + c dan hasil bagi H(x), maka
F(x) =(x + 1)( x + 2) ( x + 3). H(x) +
F(-1) = a-b+c = 2 ……(1)
F(-2) = 4a-2b+c = 3 ……(2)
F(-3) = 9a-3b+c= 6 ….(3)
Dari persamaan (2) – persamaan (1) diperoleh:
3a – b = 1 …..(4)
Dari (3) – (2), diperoleh 5a – b = 3 …….(5)
Dari (5) – (4), diperoleh a = 1
subtitusikan a = 1 ke (4) di peroleh b = 2
subtitusikan a = 1 dan b = 2 ke pers (1) di peroleh c = 3
Kaprikornus, sisa =
2). Dengan memakai teorema sisa tentukanlah sisa jikalau f(x) = x5 –4x3 + 3 dibagi dengan x2 – 2x – 3
[Penyelesaian]
Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya S = (ax + b) alasannya adalah pembagi berderajat dua, maka diperoleh kekerabatan:
=(x^2-2x-3).H(x)+ax+b&space;\\\\f(x)=(x-3)(x+1).H(x)+ax+b "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Faktor-aspek linier pembagi x = 3 dan x = – 1 , maka
=3^5-4(3)^3+3=(3-3)(3+1).H(3)+a(3)+b&space;\\138=3a+b\,&space;....(1)&space;\\\\f(-1)=(-1)^5-4(-1)^3+3=(-1-3)(-1+1).H(-1)+a(-1)+b&space;\\6=-a+b\,&space;....(2) "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Dengan eliminasi persamaan (1) – (2):
Diperoleh a = 33
Subtitusikan a = 33 ke persamaan (2) diperoleh b = 39 .
Makara, Sisa = ax + b = 33x + 39
3). Jika x5 + ax3 + b dibagi dengan x2 – 1 sisanya yaitu 2x+1
Tentukanlah nilai a dan b dengan teorema sisa.
[Penyelesaian]
Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya S = (2x + 1) karena pembagi berderajat dua, maka:
=(x^2-1).H(x)+2x+1&space;\\f(x)=x^5+ax^3+b=(x-1)(x+1).H(x)+(2x+1) "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Dengan eliminasi persamaan (1) – persamaan (2):
diperoleh a = 1 dan b = 1
4). Tentukanlah nilai dari x4 – x2 + 6x –4
jika diketahui 
[Penyelesaian]
Untuk menuntaskan soal ini kita gunakan teorema sisa, karena tata cara subtitusi nyaris mustahil dikerjakan.
Ubah apalagi dahulu bentuk pembagi nya dengan manipulasi aljabar,
Ruas kiri dan ruas kanan di kali 2 ,
Kuadratkan kedua ruas,
^2=(\sqrt3\,&space;i)^2&space;\\4x^2-4x+1=3\,&space;i^2\,&space;\,&space;\,&space;(\because&space;i^2=-1)&space;\\4x^2-4x+1=-3&space;\\x^2-x+1=0\,&space;....(1) "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Persamaan (1) adalah pembagi dari f(x) = x4 – x2 + 6x –4 dan sisanya misalkan ax + b, dicari terlebih dahulu sisanya dengan metode bersusun,
Diperoleh sisa = 4x – 3, sehingga diperoleh relasi:
=(x^2-x+1)(x^2+x-1)+4x-3\,&space;....(2) "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Subtitusikan ke persamaan (3):
=0+4\left&space;(&space;\frac1+\sqrt3\,&space;i2&space;\right&space;)&space;\\\\f\left&space;(&space;\frac1+\sqrt3\,&space;i2&space;\right&space;)=\mathbf2\sqrt3\,&space;i-1 "Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan")
Semoga postingan ihwal teorema sisa ini berfaedah!
Artikel Terkait:
□ Teorema Faktor