Coba kalian perhatikan Gambar (a). Diketahui terdapat tiga susun buah apel yg masing-masing susunnya terdiri atas dua apel yg saling sejajar. Perhatikan pula Gambar (b). Diketahui terdapat dua susun buah apel yg masing-masing susunnya terdiri atas tiga apel yg saling sejajar. Banyaknya buah apel pada gambar (a) & (b) masing-masing berjumlah (3 × 2) & (2 × 3) buah.
3 × 2 & 2 × 3 merupakan salah satu bentuk operasi bilangan lingkaran yg disebut perkalian. Pada dasarnya, operasi perkalian bilangan lingkaran mampu dinyatakan dlm bentuk penjumlahan berulang. Perhatikan contoh berikut.
3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6
2 × 3 = 3 + 3 = 6
Meskipun akibatnya sama, perkalian 3 × 2 & 2 × 3 berbeda artinya. Secara umum, bentuk dr perkalian bilangan bulat mampu dituliskan sebagai berikut.
Apabila kalian telah paham mengenai perkalian bilangan bundar ialah bentuk dr penjumlahan berulang, kini dikala kita mencar ilmu tentang desain perkalian bilangan lingkaran serta sifat-sifatnya. Konsep yg dimaksud yakni perkalian antara bilangan bulat positif dgn positif, positif dgn negatif & negatif dgn negatif. Silahkan amati klarifikasi berikut ini.
Konsep Pekalian Bilangan Bulat
Untuk memahami konsep perkalian bilangan lingkaran, coba kalian amati tabel perkalian dgn pola yg berlainan berikut ini.
|
×
|
3
|
2
|
1
|
0
|
−1
|
−2
|
−3
|
|
3
|
9
|
6
|
3
|
0
|
−3
|
−6
|
−9
|
|
2
|
6
|
4
|
2
|
0
|
−2
|
−4
|
−6
|
|
1
|
3
|
2
|
1
|
0
|
−1
|
−2
|
−3
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
−1
|
−3
|
−2
|
−1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
−2
|
−6
|
−4
|
−2
|
0
|
2
|
4
|
6
|
|
−3
|
−9
|
−6
|
−3
|
0
|
3
|
−6
|
−9
|
Dari data pada tabel di atas, tampak bahwa:
■ Hasil kali dua bilangan lingkaran postif yakni bilangan bulat positif.
Contoh:
3 × 3 = 9
2 × 3 = 6
1 × 3 = 3
■ Hasil kali bilangan lingkaran positif dgn bilangan lingkaran negatif ialah bilangan lingkaran negatif.
Contoh:
3 × (−3) = −9
2 × (−1) = −2
(−2) × 3 = −6
(−3) × 1 = −3
■ Hasil kali dua bilangan lingkaran negatif adalah bilangan lingkaran positif.
Contoh:
(−2) × (−2) = 4
(−3) × (−2) = 6
(−1) × (−3) = 3
Kesimpulan:
|
■
|
Hasil kali dua bilangan bundar yg bertanda sama selalu positif.
(+) × (+) = (+) & (−) × (−) = (+)
|
|
■
|
Hasil kali dua bilangan lingkaran yg berlainan tanda selalu negatif.
(+) × (−) = (−) & (−) × (+) = (−)
|
Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Bulat
Sifat-sifat perkalian bilangan lingkaran antara lain tertutup, komutatif, identitas/netral, perkalian dgn nol, asosiatif, distributif perkalian terhadap penjumlahan & distributif perkalian kepada penghematan. Berikut ini adalah penjelasan & contoh masing-masing sifat tersebut.
#1 Bersifat Tertutup
Untuk mampu mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bundar, perhatikan teladan berikut ini.
Contoh:
● 2 × 5 = 10
2 & 5 merupakan bilangan bulat, hasil kalinya yaitu 10 pula merupakan bilangan bundar.
● −5 × 7 = −35
−5 & 7 adalah bilangan bundar, akibatnya −35 pula merupakan bilangan bundar.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa perkalian dua buah bilangan bundar atau lebih bersifat tertutup & dirumuskan selaku berikut.
|
Untuk setiap bilangan bulat a & b, jika a × b = c, maka c pula merupakan bilangan lingkaran.
|
#2 Sifat Komutatif (Pertukaran)
Untuk mengetahui sifat komutatif atau pertukaran pada perkalian bilangan bundar, perhatikan teladan berikut ini.
Contoh:
● 3 × (−7) = −21
● −7 × 3 = −21
Dengan demikian, 3 × (−7) = −7 × 3 = −21 sehingga pada perkalian bilangan lingkaran selalu berlaku sifat komutatif. Secara umum dituliskan sebagai berikut.
|
Untuk setiap bilangan lingkaran a & b, senantiasa berlaku a × b = b × a.
|
#3 Unsur Identitas (Netral)
Apa itu komponen identitas pada perkalian bilangan bundar? Perhatikan teladan di bawah ini.
Contoh:
● 10 × 1 =10
● 5 × 1 =5
● −5 × 1 = −5
● −3 × 1 = −3
Dari pola-contoh operasi perkalian di atas, maka mampu kita simpulkan bahwa semua bilangan lingkaran kecuali nol (0) bila dikalikan dgn 1 atau sebaliknya, akan menciptakan bilangan itu sendiri. Dalam hal ini 1 disebut komponen identitas pada perkalian. Secara lazim dituliskan selaku berikut.
|
Untuk setiap bilangan lingkaran a , senantiasa berlaku a × 1 = 1 × a = a.
|
#4 Perkalian dgn Nol
Perhatikan teladan operasi hitung perkalian bilangan bundar positif & negatif dgn nol berikut ini.
Contoh:
● 5 × 0 = 0
● −3 × 0 = 0
● 0 × 2 = 0
● 0 × (−4) = 0
Jadi, untuk semua bilangan lingkaran positif & negatif apabila dikalikan dgn nol (0) akibatnya yaitu nol. Secara lazim dituliskan selaku berikut.
|
Untuk setiap bilangan lingkaran a , selalu berlaku a × 0 = 0 × a = 0.
|
#5 Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)
Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bundar, coba kalian perhatikan beberapa contoh berikut ini.
● 6 × (−5) × (−2) = −30 × (−2) = 60
● 6 × −5 × (−2) = 6 × 10 = 60
Jadi, 6 × (−5) × (−2) = 6 × −5 × (−2) = 60. Berdasarkan contoh ini maka dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut.
|
Untuk bilangan bundar a, b, & c selalu berlaku (a × b) × c = a (b × c).
|
#6 Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan
Contoh:
Perhatikan tabel berikut!
|
a
|
b
|
c
|
b + c
|
a × (b + c)
|
a × b
|
a × c
|
(a × b) + (a × c)
|
|
−2
|
2
|
−3
|
−1
|
2
|
−4
|
6
|
2
|
|
3
|
−2
|
4
|
2
|
6
|
−6
|
12
|
6
|
Dari tabel di atas, apa yg mampu kalian simpulkan? Hasil yg diperoleh pada kolom 5 & 8 pada tabel tersebut menunjukkan bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Secara biasa sifat distributif ini dituliskan selaku berikut.
|
Untuk bilangan bulat a, b, & c berlaku a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
|
#7 Sifat Distributif Perkalian kepada Pengurangan
Contoh:
Perhatikan tabel berikut!
|
a
|
b
|
c
|
b − c
|
a × (b − c)
|
a × b
|
a × c
|
(a × b) − (a × c)
|
|
−2
|
2
|
−3
|
5
|
−10
|
−4
|
6
|
−10
|
|
3
|
−2
|
4
|
−6
|
−18
|
−6
|
12
|
−18
|
Dari tabel di atas, apa yg mampu kalian simpulkan? Hasil yg diperoleh pada kolom 5 & 8 pada tabel di atas menunjukkan bahwa pada perkalian bilangan bundar berlaku sifat distributif perkalian kepada pengurangan atau selisih. Secara lazim sifat distributif ini dituliskan selaku berikut.
|
Untuk bilangan bundar a, b, & c berlaku a × (b − c) = (a × b) − (a × c).
|
Contoh Soal & Pembahasan
Agar kalian dapat mengetahui rancangan & sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bundar, silahkan pelajari beberapa teladan soal & penyelesaiannya berikut ini.
Contoh Soal #1
Tulislah arti perkalian berikut, kemudian selesaikan.
a. 8 × 4
b. 2 × (–3)
c. 3 × p
d. 4 × (–p)
e. 4 × 8
f. 5 × (–2p)
Jawab:
a. 8 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32
b. 2 × (–3) = (–3) + (–3) = –6
c. 3 × p = p + p + p = 3p
d. 4 × (–p) = (–p) + (–p) + (–p) + (–p) = –4p
e. 4 × 8 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32
f. 5 × (–2p) = (–2p) + (–2p) + (–2p) + (–2p) + (–2p) = –10p
Contoh Soal #2
Hitunglah hasil perkalian berikut.
a. 7 × (–18)
b. (–12) × (–15)
c. (–16) × 9
d. 25 × 0
e. (–24) × (–11)
f. 35 × (–7)
Jawab:
a. 7 × (–18) = –126
b. (–12) × (–15) = 180
c. (–16) × 9 = –144
d. 25 × 0 = 0
e. (–24) × (–11) = 264
f. 35 × (–7) = –245
Contoh Soal #3
Dengan memakai sifat asosiatif & komutatif, hitunglah hasil dr operasi perkalian berikut ini.
a. 25 × 16 × (–4)
b. 48 × 25 × 4 × (–20)
c. 24 × 15 × (–24) × (–85)
d. (–124) × 125 × (–8) × 20
Jawab:
a. 25 × 16 × (–4) = 25 × (–4) × 16 = 100 × 16 = 160
b. 48 × 25 × 4 × (–20) = (25 × 4) × 48 × (–20) = 100 × (–960) = –96.000
c. 24 × 15 × (–24) × (–85) = (24 × 15) × –24 × (–85) = 360 × 2040 = 734.400
d. (–124) × 125 × (–8) × 20 = 125 × (–8) × (–124 × 20) = –1.000 × (–2480) = 2.480.000
Contoh Soal #4
Hitunglah perkalian bilangan berikut dgn menggunakan sifat distributif.
a. 32 × 6 + 32 × 14
b. 36 × 14 + 36 × 24 + 36 × 62
c. 48 × 25 + 25 × 52 + 25 × 52
d. 62 × 15 + 62 × 12 + (–62) × (–73)
Jawab:
a. 32 × 6 + 32 × 14 = 32 × (6 + 14) = 32 × 20 = 640
b. 36 × 14 + 36 × 24 + 36 × 62 = 36 × (14 + 24 + 62) = 36 × 100 = 3.600
c. 48 × 25 + 25 × 52 + 25 × 52 = 25 × (48 + 52 + 52) = 25 × 152 = 3.800
d. 62 × 15 + 62 × 12 + (–62) × (–73) = 62 × 15 + 12 – (– 73) = 62 × 100 = 6.200