Dalam postingan sebelumnya, sudah dibahas tentang rancangan & sifat perkalian bilangan lingkaran. Materi tersebut sungguh bermanfaat dlm menentukan kelipatan & aspek dr sebuah bilangan. Kelipatan & aspek sebuah bilangan digunakan untuk memilih Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) & Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dr sebuah bilangan. Lalu tahukah kalian bagaimana cara memilih KPK & FPB suatu bilangan? Jika belum tahu, simak klarifikasi berikut.
#1 Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Di tingkat sekolah dasar, kalian sudah mengenali mengenai kelipatan sebuah bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang & memperdalam materi tersebut. Jika k anggota A = 1, 2, 3, … maka kelipatan-kelipatan dari k yakni semua hasil kali k dengan setiap anggota A.
Misalnya, kelipatan 3 selaku berikut.
1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
…
Bilangan orisinil kelipatan 3 dapat ditulis selaku 3, 6, 9, 12, …
Contoh soal
a. Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yg kurang dr 30
b. Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yg kurang dr 30
c. Tentukan semua bilangan orisinil yg kurang dr 30 & merupakan kelipatan 2 & 5.
Penyelesaian:
a. Semua bilangan kelipatan 2 yg kurang dr 30 selaku berikut.
|
1 × 2 = 2
|
6 × 2 = 12
|
11 × 2 = 22
|
|
2 × 2 = 4
|
7 × 2 = 14
|
12 × 2 =24
|
|
3 × 2 = 6
|
8 × 2 = 16
|
13 × 2 = 26
|
|
4 × 2 = 8
|
9 × 2 = 18
|
14 × 2 = 28
|
|
5 × 2 = 10
|
10 × 2 = 20
|
|
Semua bilangan kelipatan 2 yg kurang dr 30 ialah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
b. Semua bilangan kelipatan 5 yg kurang dr 30 adalah 5, 10, 15, 20, 25
c. Semua bilangan asli yg kurang dr 30 & merupakan kelipatan 2 & 5 ialah 10, 20. Bilangan 10 & 20 ini berikutnya disebut kelipatan persekutuan dr 2 & 5 yg kurang dr 30.
#2 Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dr Dua Bilangan atau Lebih
Bilangan kelipatan 3 yaitu 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …
Bilangan kelipatan 4 ialah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …
Bilangan kelipatan 3 & 4 adalah 12, 24, …
Bilangan terkecil yg merupakan kelipatan persekutuan dr 3 & 4 yaitu 12. Bilangan 12 dlm hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dr 3 & 4. Dengan demikian, dapat kita simpulkan rancangan mengenai KPK yaitu sebagai berikut.
|
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli yaitu bilangan terkecil anggota himpunan bilangan orisinil yg habis dibagi oleh p dan q.
|
Contoh soal
a. Tentukan KPK dr 2, 3, & 4
b. Tentukan KPK dr 2, 4, & 5
c. Tentukan KPK dr 3, 5, & 6
Penyelesaian:
a. KPK dr 2, 3, & 4 dicari dgn cara berikut.
Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan asli kelipatan dr 3 yakni 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Bilangan asli kelipatan dr 4 yaitu 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Dari kelipatan 2, 3 & 4 di atas, bilangan terkecil yg habis dibagi 2, 3 & 4 ialah 12. Makara KPK dr 2, 3 & 4 adalah 12.
b. KPK dr 2, 4, & 4 dicari dgn cara berikut.
Bilangan asli kelipatan 2 yaitu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan asli kelipatan dr 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Bilangan asli kelipatan dr 5 yakni 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
Dari kelipatan 2, 4 & 5 di atas, bilangan terkecil yg habis dibagi 2, 4 & 5 yakni 20. Kaprikornus KPK dr 2, 4 & 5 adalah 20.
c. KPK dr 3, 5, & 6 dicari dgn cara berikut.
Bilangan asli kelipatan 3 yakni 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, …
Bilangan orisinil kelipatan dr 5 ialah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
Bilangan orisinil kelipatan dr 6 yakni 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …
Dari kelipatan 3, 5 & 6 di atas, bilangan terkecil yg habis dibagi 3, 5 & 6 adalah 30. Jadi KPK dr 3, 5 & 6 yaitu 30.
#3 Faktor Suatu Bilangan & Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Perhatikan perkalian bilangan berikut.
1 × 8 = 8
2 × 4 = 8
Bilangan 1, 2, 4, & 8 disebut faktor dr 8. Sekarang amati perkalian berikut.
1 × 2 = 2
1 × 3 = 3
1 × 5 = 5
1 × 7 = 7
Bilangan-bilangan 2, 3, 5 & 7 masing-masing cuma memiliki dua faktor, yakni 1 & dirinya sendiri. Bilangan-bilangan mirip ini disebut bilangan prima. Bilangan prima yaitu bilangan yg sempurna mempunyai dua aspek, yaitu 1 & dirinya sendiri. Dengan demikian, yg dimaksud dgn faktor yaitu sebagai berikut.
|
Faktor dari sebuah bilangan asli k yaitu suatu bilangan orisinil yg apabila dikalikan dgn bilangan asli lain kesannya sama dengan k.
|
Contoh soal
a. Tentukan semua faktor dr 25
b. Tentukan semua aspek dr 30
c. Tentukan semua aspek prima dr 45
Penyelesaian:
a. Faktor dr 25 mampu diputuskan dgn cara berikut.
1 × 25 = 25
5 × 5 = 25
Makara, semu aspek dr 25 yakni 1, 5, & 25.
b. Faktor dr 30 mampu diputuskan dgn cara berikut.
1 × 30 = 30
2 × 15 = 30
3 × 10 = 30
5 × 6 = 30
Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, & 30 habis membagi 30 & tak ada bilangan lain yg habis membagi 30 maka semua aspek dr 30 yakni 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 & 30.
c. Ingat kembali cara menentukan faktor prima suatu bilangan dgn pohon aspek. Dengan menggunakan pohon faktor, aspek prima dr 45 yakni sebagai berikut.
Makara, semua faktor prima dr 45 adalah 3 & 5.
Dari acuan soal a & b di atas, diperoleh bahwa:
■ Faktor dr 25 adalah 1, 5 dan 15
■ Faktor dr 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, & 30
Tampak bahwa 1 & 5 merupakan aspek dr 25 & 30. Selanjutnya, 1 & 5 disebut faktor komplotan dr 25 & 30. Karena 5 merupakan aspek terbesar, maka 5 disebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dr 25 & 30. Dengan demikian, dapat kita simpulkan selaku berikut.
|
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dr dua bilangan adalah bilangan orisinil terbesar yg merupakan faktor komplotan kedua bilangan tersebut.
|
Contoh soal
a. Tentukan FPB dr 16 & 24.
b. Tentukan FPB dr 9, 18, & 36
Penyelesaian:
a. Untuk menentukan FPB, pertama kita pastikan faktor komplotan dr bilangan 16 & 24, yaitu selaku berikut.
|
1 × 16 = 16
|
1 × 24 = 24
|
|
2 × 8 = 16
|
2 × 12 = 24
|
|
4 × 4 = 16
|
3 × 8 = 24
|
|
|
4 × 6 = 24
|
Faktor dr 16 = 1, 2, 4, 8, 16
Faktor dr 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Dari faktor 16 & 24 di atas, bilangan paling besar yg habis membagi 16 & 24 adalah 8. Makara FPB dr 16 & 24 adalah 8.
b. Faktor persekutuan dr bilangan 9, 18 & 24 adalah sebagai berikut.
|
1 × 9 = 9
|
1 × 18 = 18
|
1 × 24 = 24
|
|
3 × 3 = 9
|
2 × 9 = 18
|
2 × 12 =24
|
|
|
3 × 6 = 18
|
3 × 8 = 24
|
|
|
|
4 × 6 = 24
|
Faktor dr 9 = 1, 3, 9
Faktor dr 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Faktor dr 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Dari faktor 9, 18 & 24 di atas, bilangan terbesar yg habis membagi 9, 18 & 24 yakni 3. Kaprikornus FPB dr 9, 18 & 24 adalah 3.
#4 Menentukan KPK & FPB dr Dua Bilangan atau Lebih dgn Memfaktorkan
Penentuan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) & aspek persekutuan terbesar (FPB) dgn cara mencari kelipatan komplotan atau aspek untuk bilangan yg nilainya besar merupakan pembuatan yg susah. Untuk membuat lebih mudah, digunakan cara pemfaktoran bilangan prima atau lebih diketahui dgn faktorisasi prima. Yang dimaksud dgn faktorisasi prima adalah sebagai berikut.
|
Faktorisasi prima ialah perkalian semua faktor-aspek prima dr suatu bilangan.
|
Untuk menentukan faktorisasi prima suatu bilangan, kita mampu memakai pohon aspek. Misalnya, kita akan memilih KPK & FPB dr 36 & 40 dgn cara pemfaktoran. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
Pertama: kita pastikan faktor prima dr 36 & 40 dgn pohon faktor
Kedua: dr pohon faktor di atas, faktorisasi prima dr 36 & 40 ialah selaku berikut.
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5
Ketiga: pastikan KPK & FPB dr faktorisasi prima di atas dgn cara berikut.
Kelipatan komplotan terkecil (KPK) dr 36 & 40 diperoleh dgn mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dgn bilangan pokok yg sama, mirip 22 dan 23, pilih pangkat yg tertinggi yakni 23.
Kaprikornus, KPK dr 36 & 40 adalah 23 × 32 × 5 = 360
Adapun faktor komplotan terbesar (FPB) dr 36 & 40 diperoleh dgn mengalikan faktor dgn bilangan pokok yg sama, dgn pangkat terendah.
Kaprikornus, FPB dr 36 & 40 yaitu 22 = 4.
Dari pola di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut.
|
■
|
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dgn cara mengalikan semua faktor. Jika ada aspek dgn bilangan pokok yg sama, pilih pangkat yg tertinggi.
|
|
■
|
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) diperoleh dgn cara mengalikan faktor yg sama dgn pangkat terendah.
|
Contoh soal
a. Tentukan KPK & FPB dr bilangan 45, 78 & 100 dgn cara memfaktorkan.
Penyelesaian:
Faktor prima dr 45, 78 & 100 ditunjukkan pada gambar pohon faktor berikut ini.
Dari pohon faktor di atas, maka faktorisasi prima dr 45, 78 & 100 yaitu sebagai berikut.
45 = 32 × 5
78 = 2 × 3 × 13
100 = 22 × 52
Dengan demikian, KPK & FPB dr 45, 78 & 100 yaitu selaku berikut.
KPK = 22 × 32 × 52 × 13 = 11.700.
FPB = 1 (alasannya tak ada bilangan pokok yg sama dr faktor 45, 78 & 100).
b. Tentukan KPK & FPB dr bilangan 24, 36 & 72 dgn cara memfaktorkan.
Penyelesaian:
Coba kalian gambarkan sendiri pohon faktor untuk mencari aspek dr prima dr 24, 36 & 72. Jika kalian menggambarkan dgn benar, maka faktorisasi prima dr 24, 36 & 72 berdasarkan pohon aspek yg kalian buat ialah selaku berikut.
24 = 23 × 3
36 = 22 × 32
72 = 23 × 32
Dengan demikian, KPK & FPB dr 24, 36 & 72 yaitu selaku berikut.
KPK = 23 × 32 = 72
FPB = 22 × 3 = 12