Konsep Perpangkatan Bilangan Bulat
Coba kalian ingat kembali bahan di SD ihwal pengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan yakni mengalikan suatu bilangan dgn bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dgn bilangan yg sama. Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut ini.
|
21
|
=
|
2
|
|
|
22
|
=
|
2 × 2
|
(22 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)
|
|
|
=
|
4
|
|
|
23
|
=
|
2 × 2 × 2
|
(23 dibaca 2 pangkat 3)
|
|
|
=
|
8
|
|
|
…
|
|||
|
2n
|
=
|
2 × 2 × 2 × … × 2
|
(2n dibaca 2 pangkat n)
|
|
n kali
|
|||
Secara lazim dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan bulat p & bilangan bundar kasatmata n, berlaku
|
pn
|
=
|
p × p × p × … × p
|
|
sebanyak n aspek
|
Dengan p disebut bilangan pokok (basis) & n disebut pangkat (eksponen). Untuk p ≠ 0 maka p0 = 1 & p1 = p.
Menghitung Bilangan Bulat Negatif yg Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Untuk mampu memperoleh rancangan dlm menghitung bilangan bundar negatif yg berpangkat bilangan bulat faktual, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh:
Hitunglah nilai dr perpangkatan bilangan bundar di bawah ini.
a. (−2)3
b. (−3)4
c. (−4)5
d. (−5)6
Jawab:
a. (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 (negatif)
b. (−3)4 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = 81 (nyata)
c. (−4)5 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = −1.024 (negatif)
d. (−5)6 = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = 15.625 (positif)
Dari hasil perhitungan di atas, maka dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut.
|
■
|
Bilangan negatif yg berpangkat bilangan ganjil karenanya adalah bilangan negatif.
|
|
■
|
Bilangan negatif yg berpangkat bilangan genap balasannya yaitu bilangan faktual.
|
Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat
Operasi hitung bilangan berpangkat mempunyai beberapa sifat atau pola khusus yg mampu memudahkan dlm menuntaskan perhitungannya. Terdapat 5 sifat pokok dlm operasi hitung bilangan berpangkat, yakni: sifat perkalian bilangan berpangkat, sifat pembagian bilangan berpangkat, sifat perpangkatan bilangan berpangkat, sifat perpangkatan sebuah perkalian & sifat perpangkatan suatu pembagian. Berikut klarifikasi lengkapnya.
#1 Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Untuk bisa memahami sifat perkalian pada bilangan berpangkat, coba perhatikan contoh berikut ini.
Contoh:
|
a.
|
32 × 33
|
=
|
(3 × 3) × (3 × 3 × 3)
|
|
|
|
=
|
3 × 3 × 3 × 3 × 3
|
|
|
|
=
|
35
|
|
b.
|
43 × 44
|
=
|
(4 × 4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4)
|
|
|
|
=
|
4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4
|
|
|
|
=
|
47
|
|
c.
|
54 × 56
|
=
|
(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
|
|
|
|
=
|
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
|
|
|
|
=
|
510
|
Berdasarkan acuan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa hasil kali dua bilangan berpangkat dgn bilangan pokok sama yakni bilangan pokok itu dipangkatkan dgn jumlah pangkat kedua bilangan tersebut. Secara umum dirumuskan selaku berikut.
|
am × an = a(m + n)
|
#2 Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
Untuk bisa mengetahui sifat pembagian pada bilangan berpangkat, coba perhatikan pola berikut ini.
Contoh:
|
a.
|
23 : 22
|
=
|
23
|
=
|
22 × 2
|
=
|
2
|
|
22
|
22
|
||||||
|
b.
|
37 : 34
|
=
|
37
|
=
|
34 × 33
|
=
|
33
|
|
34
|
34
|
||||||
|
c.
|
58 : 53
|
=
|
58
|
=
|
53 × 55
|
=
|
55
|
|
53
|
53
|
Berdasarkan acuan di atas, mampu kita ambil kesimpulan bahwa hasil bagi dua bilangan berpangkat dgn bilangan pokok sama adalah bilangan pokok itu dipangkatkan dgn selisih pangkat kedua bilangan tersebut. Secara umum, sifat pembagian bilangan berpangkat dituliskan selaku berikut.
|
am : an = a(m – n)
|
#3 Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Untuk bisa memahami sifat perpangkatan pada bilangan berpangkat, coba amati contoh berikut ini.
Contoh:
a. (23)2 = 23 × 23 = 2(3 + 3) = 26
b. (35)4 = 35 × 35 × 35 × 35 = 3(5 + 5 + 5 + 5) = 320
c. (43)5 = 43 × 43 × 43 × 43 × 43 = 4(3 + 3 + 3 + 3 + 3) = 415
Berdasarkan tiga acuan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil pemangkatan suatu bilangan berpangkat ialah bilangan pokok itu dipangkatkan dgn hasil kali pangkat-pangkat tersebut. Secara umum, sifat perpangkatan bilangan berpangkat dirumuskan sebagai berikut.
|
(am)n = a(m × n)
|
#4 Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian
Untuk bisa mengetahui sifat perpangkatan suatu perkalian bilangan berpangkat, coba amati contoh berikut ini.
Contoh:
a. (2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2) × (3 × 3) = 22 × 32
c. (5 × 2)3 = (5 × 2) × (5 × 2) × (5 × 2) = (5 × 5 × 5) × (2 × 2 × 2) = 53 × 23
b. (3 × 5)4 = (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) = (3 × 3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5 × 5) = 34 × 54
Dari acuan di atas mampu kita simpulkan bahwa hasil perpangkatan dr perkalian bilangan bulat yakni masing-masing bilangan pokok dipangkatkan lalu dikalikan. Secara umum, sifat perpangkatan pada perkalian sebuah bilangan dituliskan sebagai berikut.
|
(a × b)m = am × bm
|
#5 Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian
Untuk mampu mengerti sifat perpangkatan suatu pembagian bilangan berpangkat, coba perhatikan teladan berikut ini.
Contoh:
|
a.
|
(2 : 3)2
|
=
|
2
|
×
|
2
|
=
|
22
|
=
|
22 : 32
|
|
3
|
3
|
32
|
|
b.
|
(5 : 2)3
|
=
|
5
|
×
|
5
|
×
|
5
|
=
|
53
|
=
|
53 : 23
|
|
2
|
2
|
2
|
23
|
|
c.
|
(3 : 5)4
|
=
|
3
|
×
|
3
|
×
|
3
|
×
|
3
|
=
|
34
|
=
|
34 : 54
|
|
5
|
5
|
5
|
5
|
54
|
Dari contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa hasil perpangkatan dr pembagian bilangan bundar yaitu masing-masing bilangan pokok dipangkatkan kemudian dibagikan. Secara biasa , sifat perpangkatan pada pembagian sebuah bilangan dituliskan sebagai berikut.
|
(a : b)m = am : bm
|
Contoh Soal & Pembahasan
Agar kalian dapat memahami desain & sifat-sifat operasi perpangkatan pada bilangan lingkaran, silahkan pelajari beberapa pola soal & penyelesaiannya berikut ini.
Contoh Soal 1
Tentukanlah hasil dr operasi perpangkatan bilangan lingkaran berikut ini.
a. 92
b. 113
c. –63
d. (–13)2
e. (–4)3
f. 23 × 24
g. (–5)2 × (–5)3
h. ((–3)2)3
i. (–22)2
j. –(3 × (–5))2
Jawab:
a. 92 = 9 × 9 = 81
b. 113 = 11 × 11 × 11 = 1.331
c. –63 = –(6 × 6 × 6) = –216
d. (–13)2 = (–13) × (–13) = 169
e. (–4)3 = (–4) × (–4) × (–4) = –64
f. 23 × 24 = 23 + 4 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
g. (–5)2 × (–5)3 = (–5)2 + 3 = (–5)5 = (–5) × (–5) × (–5) × (–5) × (–5) = –3.125
h. ((–3)2)3 = (–3)2 × 3 = (–3)6 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 729
i. (–22)2 = –22 × 2 = –24 = –(2 × 2 × 2× 2) = –16
j. –(3 × (–5))2 = –(32 × (–5)2) = –(9 × 25) = –225
Contoh Soal 2
Sederhanakan bentuk pangkat berikut ini.
a. 45 × 43
b. –69 : 64
c. 5 × (–5)4 × 58
d. 89 : 83 : 82
e. x7 : x3 × x6
f. y5 × y8 : y
g. ((–3)5)4
h. ((–2)5 × (–23))2
i. (46 : 43)4
j. (–z3)5 × (–z2)4
Jawab:
a. 45 × 43 = 45 + 3 = 48
b. –69 : 64 = –69 – 4 = –65
c. 5 × (–5)4 × 58 = 51 × 54 × 58 = 51 + 4 + 8 = 513
d. 89 : 83 : 82 = 89 – 3 – 2 = 84
e. x7 : x3 × x6 = x7 – 3 + 6 = x10
f. y5 × y8 : y = y5 + 8 – 1 = y12
g. ((–3)5)4 = (–3)5 × 4 = (–3)20
h. ((–2)5 × (–23))2 = (–2)5 × 2 × (–23 × 2) = (–2)10 × (–210) = –210 + 10 = –220
i. (46 : 43)4 = 46 × 4 : 43 × 4 = 424 : 412 = 424 – 12 = 412
j. (–z3)5 × (–z2)4 = –z3 × 5 × (–z2 × 4) = –z15 × (–z8) = –z15 + 8 = –z23
Contoh Soal 3
Dengan menggunakan sifat perpangkatan sebuah pekalian atau pembagian bilangan bundar, sederhanakan bentuk pangkat berikut.
a. (3 × 4)5
b. (6 : 2)4
c. ((–2)2 × 33)2
d. (4 × 2)3 : 34
e. (–4 : 2)2 × 42
Jawab:
a. (3 × 4)5 = (3 × 22)5 = 35 × 210
b. (6 : 2)4 = (2 × 3 : 2)4 = 24 × 34 : 24 = 24 – 4 × 34 = 20 × 34 = 34
c. ((–2)2 × 33)2 = (–2)2 × 2 × 33 × 2 = (–2)4 × 36
d. (4 × 2)3 : 34 = (22 × 2)3 : 34 = 22 × 3 × 23 : 34 = 26 × 23 : 34 = 26 + 3 : 34 = 29 : 34
e. (–4 : 2)2 × 42 = (–22 : 2)2 × (22)2 = (–22)2 : 22 × 24 = (–2)4 : 22 × 24 = 24 : 22 × 24 = 24 – 2 – 4 = 26