Pada peluang ini kita akan membahas perihal penggunaan turunan dlm memilih nilai maksimum atau minimum dlm interval tertutup. Misalnya pada permasalahan berikut.
Tentukan nilai maksimum dr fungsi-fungsi berikut.
1. y = x2 + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2
2. y = x2 – 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5
3. y = 2x2 – 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8
4. y = x3 + 6x2 – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3
5. y = 2x3 – 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1
Kita tahu bahwa grafik fungsi bentuk kuadrat atau berderajat lebih pada umumnya mempunyai titik puncak maupun titik belok. Pada interval tertentu, grafik fungsi akan mempunyai nilai tertinggi (maksimum) atau nilai paling rendah (minimum).
Ketik diwujudkan dgn gambar, maka kita akan melihat dgn terang nilai-nilai dimana kurva akan maksimum maupun minimum.
Coba amati grafik fungsi kuadrat berikut.
Grafik di atas ialah y = x2 – 2x – 5.
1. Jika tak dibatasi dgn batasan nilai x,
Nilai minimumnya ialah -6(pada titik balik minimum x = 1)
Nilai maksimumnya ialah tak terhingga
2. Pada interval -1 ≤ x ≤ 2,
Nilai minimumnya yaitu -6 pada titik x= 1
Nilai maksimumnya adalah -2 pada titik x = -1
3. Pada interval 0 ≤ x ≤ 2
Nilai minimumnya yakni -6 pada titik x = 1
Nilai maksimumnya adalah -5 pada titik x = 2.
4. Pada interval 2 ≤ x ≤ 4
Nilai minimumnya ialah -5 pada titik x = 2
Nilai maksimumnya ialah 3 pada titik x = 4
Perhatikan lagi gambar kurva berikut.
Grafik di atas adalah y = x3 – 3x + 1.
1. Jika tak dibatasi dgn batasan nilai x,
Nilai minimumnya adalah min tak terhingga
Nilai maksimumnya yakni tak terhingga
2. Pada interval -2 ≤ x ≤ 0,
Nilai minimumnya ialah -1 pada titik x = -2
Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = -1
3. Pada interval -1 ≤ x ≤ 1
Nilai minimumnya yaitu -1 pada titik x = 1
Nilai maksimumnya yakni 3 pada titik x = -1.
4. Pada interval 0 ≤ x ≤ 2
Nilai minimumnya ialah -1 pada titik x = 1
Nilai maksimumnya yaitu 3 pada titik x = 2.
Kadang kala pada suatu titik mampu menjadi maksimum pada interval tertentu. Namun, bisa saja akan menjadi nilai minimum tatkala interval kita ubah. Makanya dlm konteks ini dinamakan nilai maksimum & nilai minimum relatif.
Ketika kita mengamati kurva, maka akan mudah kita menentukan nilai maksimum & minimum. Nah, bagaimana jika kita membaca atau menentukan nilai maksimum/minimum relatif pada interval tertentu (Tertutup) tanpa adanya suguhan gambar?
Untuk menangani permasalahan ihwal maksimum & minimum, maka ada rancangan/bahan turunan fungsi sebagai solusinya.
Bagaimana cara memakai turunan fungsi dlm menyelesaikan permasalahan ini? Mari kita diskusikan di sini.
Materi ini ialah lanjutan dr materi turunan perihal grafik naik & grafik turun. Oleh alasannya adalah pentingnya materi ini, mari kita diskusikan satu persatu permasalahan perihal nilai maksimum/minimum suatu kura pada interval tertutup.
Coba simak lagi permasalahan di atas. KIta selesaikan satu persatu.
Contoh Soal & Penyelesaian
Tentukan nilai maksimum & minimum dr persamaan kurva berikut yg dibatasi pada interval tertentu.
1. y = x2 + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2
Jawaban
y = x2 + 4x – 7, maka y’ = 2x + 4
Ingat, sebuah grafik akan maksimum/minimum tatkala y’ = 0.
Maka:
2x + 4 = 0
2x = -4
x = -2
Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 2.
Untuk menentukan nilai maksimum & minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada ketika y’ = 0 & nilai x pada batas-batas intervalnya.
Jadi, nilai x yg dimasukkan yaitu nilai x = -3, -2, & 2.
Kita hitung satu persatu.
f(x) = y = x2 + 4x – 7
f(-3) = (-3)2 + 4(-3) – 7 = 9 – 12 – 7 = -10
f(-2) = (-2)2 + 4(-2) – 7 = 4 – 8 – 7 = -11 (minimum)
f(2) = 22 + 4(2) – 7 = 4 + 8 – 7 = 5 (maksimum)
Kaprikornus, kurva/grafik y = x2 + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2 mempunyai nilai maksimum 5 & nilai minimum -11.
2. y = x2 – 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5
Jawaban
y = x2 – 6x + 8, maka y’ = 2x – 6
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum tatkala y’ = 0.
Maka:
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3
Perhatikan bahwa x = 3 terletak pada interval -1 ≤ x ≤ 5.
Untuk memilih nilai maksimum & minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 & nilai x pada batas-batas intervalnya.
Kaprikornus, nilai x yg dimasukkan yakni nilai x = -1, 3, & 5.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = x2 – 6x + 8
f(-1) = (-1)2 – 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15
f(3) = (3)2 – 6(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1
f(5) = 52 – 6(5) + 8 = 25 – 30 + 8 = 3
Makara, kurva/grafik y = x2 – 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5 mempunyai nilai maksimum 15 & nilai minimum -1.
3. y = 2x2 – 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8
Jawaban
y = 2x2 – 8x + 1, maka y’ = 4x – 8
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum tatkala y’ = 0.
Maka:
4x – 8 = 0
4x = 8
x = 2
Perhatikan bahwa x = 2 terletak pada interval 1 ≤ x ≤ 8.
Untuk memilih nilai maksimum & minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 & nilai x pada batas-batas intervalnya.
Makara, nilai x yg dimasukkan yakni nilai x = 1, 2, & 8.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = 2x2 – 8x + 1
f(1) = 2(1)2 – 8(1) + 1 = 2 – 8 + 1 = -5
f(2) = 2(2)2 – 8(2) + 1 = 8 – 16 + 1 = -7
f(8) = 2(8)2 – 8(8) + 1 = 128 – 64 + 1 = 65
Jadi, kurva/grafik y = 2x2 – 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 mempunyai nilai maksimum 65 & nilai minimum -7.
4. y = x3 + 6x2 – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3
Jawaban
y = x3 + 6x2 – 15x + 6, maka y’ = 3x2 + 12x – 15
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum tatkala y’ = 0.
Maka:
3x2 + 12x – 15 = 0
x2 + 4x – 5 = 0
(x + 5)(x – 1) = 0
x = -5 atau x = 1
Perhatikan bahwa x = 1 terletak pada interval -2 ≤ x ≤ 3. Sedangkan x = -5 tak masuk dlm interval.
Untuk menentukan nilai maksimum & minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada ketika y’ = 0 (yang masuk dlm interval) & nilai x pada batas-batas intervalnya.
Makara, nilai x yg dimasukkan yaitu nilai x = -2, 1, & 3.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 6
f(-2) = (-2)3 + 6(-2)2 – 15(-2) + 6 = -8 + 24 + 30 + 6 = 52
f(1) = (1)3 + 6(1)2 – 15(1) + 6 = 1 + 6 – 15 + 6 = -2
f(3) = (3)3 + 6(3)2 – 15(3) + 6 = 27 + 54 – 45 + 6 = 42
Kaprikornus, kurva/grafik y = 2x2 – 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 mempunyai nilai maksimum 52 & nilai minimum -2.
5. y = 2x3 – 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1
Jawaban
y = 2x3 – 24x + 15, maka y’ = 6x2 – 24
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum tatkala y’ = 0.
Maka:
6x2 – 24 = 0
x2 – 4 = 0
(x + 2)(x – 2) = 0
x = -2 atau x = 2
Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 1. Sedangkan x = 2 tak masuk dlm interval.
Untuk menentukan nilai maksimum & minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 (yang masuk dlm interval) & nilai x pada batas-batas intervalnya.
Makara, nilai x yg dimasukkan yakni nilai x = -3, -2, & 1.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = 2x3 – 24x + 15
f(-3) = 2(-3)3 – 24(-3) + 15 = -54 + 72 + 15 = 33
f(-2) = 2(-2)3 – 24(-2) + 15 = -16 + 48 + 15 = 47
f(1) = 2(1)3 – 24(1) + 15 = 2 – 24 + 15 = -7
Jadi, kurva/grafik y = 2x3 – 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1 mempunyai nilai maksimum 47 & nilai minimum -7.
Demikianlah sekilas bahan perihal cara memilih nilai maksimum & minimum sebuah kurva pada interval tertutup menggunakan turunan fungsi.
Semoga yg sedikit ini bisa menawarkan manfaat.
Salam Sukses.
Artikel Terkait
Menentukan Interval Nilai x pada Fungsi Naik & Fungsi Turun Menggunakan Turunan
Menentukan Gradien & Garis Singgung Kurva Menggunakan Turunan Fungsi