Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi (Bagian 2)

2. Permutasi & Kombinasi

Dalam potensi ini akan kita pelajari wacana permutasi & variasi. Yaitu materi sehabis kita mempelajari tentang hukum perkalian/pencacahan.
Sebelum membahas pemahaman permutasi & kombinasi, coba simak permasalahan berikut.

Di dlm kelas ada 3 kandidat (misal Adi, Boni,dan Ciko) untuk menjadi ketua & wakil ketua. Ada berapa kemungkinan susunan ketua & wakil ketua yg mungkin? Dalam permasalahan ini ada 3 orang & akan dipilih 2 orang menjadi pengelola (ketua, wakil ketua).
Kita mampu menyusun ketiga orang kandidat tersebut menjadi pasangan ketua & wakil ketua selaku berikut.
(Adi, Boni)       (Adi, Ciko)      (Boni, Adi)      (Boni, Ciko)      (Ciko, Adi)     (Ciko, Boni)
Ternyata ada 6 kemungkinan yg mampu diperoleh.
Ingat:
(Adi, Boni) beda dgn (Boni, Adi). 
Sebab Adi jadi ketua & Boni wakilnya berbeda dgn tatkala Boni jadi ketua & Adi wakilnya.
Inilah gambaran permutasi.

Sekarang coba simak permasalahan berikut.
Sekolah mempunyai tiga anak yg yang mempunyai keahlian khusus di bidang olimpiade Matematika, yakni Andi, Budi, & Caca. Pihak sekolah akan memilih dua anak untuk diikutkan ke olimpiade tingkat nasional. Ada berapa cara sekolah mengirimkan perserta olimpiade Matematika?
Dari permasalahan tersebut maka dapat dibuat beberapa kemungkinan peserta.
 (Andi, Budi)       (Andi, Caca)      (Budi, Caca)
Ternyata ada 3 kemungkinan yg mampu diperoleh.
Ingat:
(Andi, Budi) sama saja dengan  (Budi, Andi), karena ini sebuah tim sebagai wakil sekolah. Dibolak-balik urutan tetep sama pesertanya.
Jadi,dalam hal ini urutan akseptor tak diamati.
Inilah contoh permasalahan variasi

Mari membahas satu persatu.

A. Permutasi

Permutasi Siklis
Permutasi siklis merupakan penyusunan objek yg disusun dengan-cara melingkar.
Jika terdapat n objek berbeda, maka banyaknya penyusunan dengan-cara melingkar dirumuskan dengan:

Permutasi dengan n objek sama
Permutasi dgn objek sama dapat digambarkan sebagai berikut. Misalnya ada kata NUSANTARA. Kata ini terdiri atas 9 digit huruf, dengan rincian 2 aksara N, 3 karakter A, & 1 abjad untuk S, T, R, U.
Berapa banyak kata yg berbeda denga abjad-hurut tersebut?
Nah, permasalahan di atas mampu dislesaikan dgn rumus permutasi berikut.

Jika terdapat n objek, dengan ada n1, n2, n3 yg sama, maka banyaknya penyusunan yakni:

   
  Untuk memahami permasalahan permutasi, amati pola soal & pembahasan berikut.

Contoh 1
Huruf A, B, C, D, & E akan disusun  dgn ketentuan berikut. Tentukan banyakknya susunan huruf-karakter tersebut apabila menyanggupi kondisi berikut
a. Terdiri atas 2 abjad
b. terdiri atas 3 abjad
Jawaban :
a. Permutasi 2 huruf dr 5 abjad (n = 5 & r = 2)

Ada 20 susunan aksara berbeda. Apabila ditulis mirip berkut.
AB  AC  AD  AE  BA  BC  BD  BE  CA  CB
CD  CE  DA  DB  DC  DE  EA  EB  EC  ED  

b.   Permutasi 3 huruf dr 5 huruf (n = 5 & r = 3)
 

Ada 60 susunan abjad berbeda. Apabila ditulis mirip berikut.
ABC  ACB  BCA  BAC  CAB  CBA
ABD  ADB  BDA  BAD  DAB  DBA
ABE  AEB   BAE  BEA  EBA  EAB
ACD  ADC  DAC  DCA  CAD  CDA
ACE  AEC  CAE  CEA  ECA  EAC
ADE  AED  DAE  DEA  EAD  EDA
BCD  BDC  CBD  CDB  DBC  DCB
BCE  BEC  CBE  CEB  ECB  EBC
BDE  BED  DEB  DBE  EBD  EDB
CDE  CED  DEC  DCE  EDC  ECD

Contoh 2
Dalam suatu rapat di sekolah, ketua OSIS mempunyai 7 nama yg akan dijadikan panitia yg terdiri atas seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, & bendahara. Ada berapa cara memilih susunan panitia tersebut.

Jawaban :
Permasalahan ihwal permutasi 4 dr 7 siswa.
Banyak cara susunan panitia :

Kaprikornus, banyak susunan panitia yg mampu dibentuk ada 840 cara

 
Contoh 3
Sebuah keluarga yg terdiri ayah, ibu & 4 anaknya akan berfoto keluarga. Di dlm ruangan tersedia 2 kursi untuk tempat berfoto & lainnya bangun di belakangnya. Tentukan banyaknya posisi berlainan apabila:
a. Semua anggota keluarga boleh  duduk di bangku (2 orang)
b. Ayah & ibu senantiasa duduk di dingklik

Jawaban :
Permasalahan permutasi. Banyak objek ada 6 orang. (n = 6)
Banyak dingklik ada 2 ( r = 2)
a. Banyak posisi berfoto dgn semua anggota keluarga boleh duduk di kursi.
 Banyak cara posisi selaku berikut.
Untuk yg duduk dikursi:

Banyaknya posisi berlawanan apabila semua anggota keluarga boleh  duduk di kursi

Makara banyak posisi berfoto ada 720.

b. Banyak cara berfoto dengan syarat ayah & ibu senantiasa duduk di kursi
Banyak cara posisi selaku berikut.
Untuk yg duduk dikursi:

Banyak posisi berfoto

 

 

Jadi, banyak posisi berfoto adalah 48 cara

Contoh 4
Dalam Rapat negara-negara ASEAN terdiri atas 4 wakil Indonesia, 3 wakil Malaysia, 3 Wakil Singapura, & 2 Wakil Brunei darussalam. Tentukan banyak posisi nereka duduk dengan-cara melingkar apabila dlm keaadaan berikut.
a. Semua wakil tersebut bebas untuk duduk
b. Wakil setiap negara senantiasa berkelompok dlm negaranya.

Jawaban :
Banyak wakil negara = 4 + 3 + 3 + 2 = 12
Banyak negara ada 4
 a. Banyak posisi duduk ( bebas sesuai dingklik yg tersedia).
Setiap wakil negara boleh berdmpingan dgn yg lain tanpa pandang bulu.
Banyaknya posisi duduk seerti berikut (menggunakan permutasi siklis)

Jadi, banyak posisi duduk adalah 39.916.800 cara.


b. Banyak posisi duduk.
Siklis menurut negara = (4 – 1)! = 3!
Banyak cara duduk wakli dr Indonesia = 4!
Banyak cara duduk wakli dr Malaysia = 3!
Banyak cara duduk wakli dr Singapura = 3!
Banyak cara duduk wakli dr Brunei Darussalam = 2!  
Dengan demikian, banyak cara posisi duduk adalah :
 

Kaprikornus, banyak posisi duduk ialah 10.368 cara.

Contoh 5
Ada berapa kata berbeda yg dapat dibuat dari abjad-abjad penyusun kata ” KHATULISTIWA.
Jawaban :
Banyak digit huruf = 12
Banyak aksara A = 2
Banyak abjad T = 2
Banyak karakter I = 2
Banyak karakter  K, H, U, L,  S, W masing-masing 1.
Sehingga banyak susunan kata berlawanan yg mampu dibentuk ialah :

Kaprikornus, banyak susunan kata ada 5.040.

Untuk Mempelajari Kombinasi Klik Tautan di bawah ini.
 KOMBINASI