Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen

Daftar Isi

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dr bilangan eksponen dgn pangkat yg menampung suatu fungsi, atau persamaan perpangkatan yg bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Integral Tentu & Penggunaan Integral

Trigonometri

Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

PE bentuk $a^ f(x) = a^p$

Jika $a>0″ class=”latex” /> & <img decoding=$ , maka f(x) = p.

Contoh:

$2^ 3x = 2^6$

Maka:

$3x = 6$

$x=2$

PE bentuk $a^ f(x) = a^ g(x)$

Jika a>0 & a≠ 1, maka $f(x) = g(x)$

Contoh:

$2^ 3x+1 = 2^ 2x+3$

Maka:

$3x+1 = 2x+3$

$x = 2$

PE bentuk $a^ f(x) = b^ f(x)$

Jika $a>0″ class=”latex” />, <img decoding=$ , $b>0″ class=”latex” />, <img decoding=$ , & $a\ne b$ , maka $f(x)$ = 0

Contoh:

$2^ 3x+1 = 5^ 3x+1$

Maka:

$3x + 1 = 0$

$x = -\frac 1 3$

PE bentuk $a^ f(x) = b^ g(x)$

Penyelesaian didapat dgn melogaritmakan kedua ruas

Contoh:

$2^ 3x+1 = 10^ 3x$

Maka:

$\log 2^ 3x+1 = \log 10^ 3x$

$(3x+1)\log 2 = (3x)$

$3x \log 2 + \log 2 = 3x$

$\log 2 = 3x (1 - \log 2)$

$x = \frac \log 2 3(1 - \log 2)$

PE bentuk $(h(x))^ f(x) = (h(x))^ g(x)$

Kemungkinan yg bisa terjadi yakni:

$f(x) = g(x)$

Contoh:

$(3x+2)^ (3x+1) = (3x+2)^ (2x+3)$

Mungkin:

$(3x+1) = (2x+3)$

$x =2$

$h(x) = 1$

Contoh:

$(3x+2)^ (3x+1) = (3x+2)^ (2x+3)$

Mungkin:

$(3x+2) = 1$

$x = -\frac 1 3$

$h(x) = 0$ asalkan $f(x)$ & $g(x)$ keduanya nyata

Contoh:

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin:

$(3x+2) = 0$

$x = -\frac 2 3$

$h(x) = -1$ asalkan $f(x)$ & $g(x)$ keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh:

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin:

$(3x+ 2) = -1$

$x=-1$

Persamaan Eksponen Dalam Bentuk Aljabar

Jika terdapat suatu persamaan eksponen dlm bentuk aljabar sebagai berikut:

$A(a^ f(x) )^2 + B(a^ f(x) ) + C = 0$

Dengan $a^ f(x)$ ialah persamaan eksponen, $a\ne 1$ , & konstanta A, B, C ialah bilangan real serta $A\ne 0$ dapat dituntaskan dgn menggantinya ke persamaan kuadrat.

Pengubahan dgn cara memisalkan $y = a^ f(x)$ sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat gres:

$A(y)^2 + B(y) + C = 0$

Yuk berguru materi ini juga:

Teori Atom

Keanekaragaman Hayati

Teks Eksposisi

Akar-akar dr persamaan kuadrat tersebut disubstitusikan ke dlm bentuk persamaan eksponen $y = a^ f(x)$ . Dengan cara penyelesaian biasa, nilai-nilai x mampu diperoleh.

Sebagai teladan diketahui sebuah persamaan eksponen: $(2x+7)^2 - 4(2x+7)+3 = 0$ .

Maka penyelesaiannya yakni dgn memisalkan persamaan tersebut menjadi:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

sehingga

$(y - 3)(y - 1) = 0$

$y_1 = 3$ & $y_2 = 1$

diperoleh,

$y_1 =2x+7$

$3 = 2x+7$

$x = -2$

dan

$y_2 = 2x+7$

$1 = 2x+7$

$x = -3$

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen mampu dimengerti sebagai berikut:

Untuk $a>1″ class=”latex” /><span class=$

Jika $a^ f(x) >a^ g(x) ” class=”latex” />, maka <img decoding=$ $2^ 3x >2^6″ class=”latex” /> Maka: 6″ class=”latex” /> <ul> <li>Jika <img decoding=$ , maka $f(x)<g(x)$

Contoh:

$2^ 3x <2^6$

Maka:

$3x<6$

Jika $a^ f(x) \ge a^ g(x)$ , maka $f(x) \ge g(x)$

Contoh:

$2^3 \ge 2^6$

Maka:

$3x \ge 6$

Jika $a^ f(x) \le a^ g(x)$ , maka $f(x)\le g(x)$

Contoh:

$2^ 3x \le 2^6$

Maka:

$3x \le 6$

Untuk $0 < a < 1$

Jika $a^ f(x) > a^ g(x) ” class=”latex” />, maka <img decoding=$

Contoh:

$\frac 1 2 ^ 3x > \frac 1 2 ^6″ class=”latex” /> Maka: <p style=$ $3x < 6$

Jika $a^ f(x) < a^ g(x)$ , maka $f(x) > g(x)” class=”latex” /></li> </ul> Contoh: 6″ class=”latex” /> <ul> <li>Jika <img decoding=$ , maka $f(x)\le g(x)$

Contoh:

$\frac 1 2 ^ 3x \ge \frac 1 2 ^ 6$

Maka:

$3x\le 6$

Jika $a^ f(x) \le a^ g(x)$ , maka $f(x) \ge g(x)$

Contoh:

$\frac 1 2 ^ 3x \le \frac 1 2 ^6$

Maka:

$3x \ge 6$

Yuk mencar ilmu materi ini juga:

Pronoun

Jangka Sorong

Struktur Atom

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, & Pembahasan

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan $5^ 2x+3 - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$ adalah $x_1$ & $x_2$ .

Jika $x_1 < x_2$ , maka tentukan nilai $2x_1 + x_2$ (UN 2008)

Pembahasan

$5^ 2x+3 - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$

$5^ 2(x+1)+1 - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$

$5((5^ x+1 )^2) - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$

Misalkan $5^ x+1 = y$ , maka

$5(y^2) - 6(y) + 1 = 0$

$y_ 1,2 = \frac -b\pm\sqrt b^2 - 4ac 2a$

$y_ 1,2 = \frac -(-6)\pm \sqrt (-6)^2 - 4(5)(1) 2(5)$

$y_ 1,2 = \frac 6 \pm 4 10$

sehingga $y_1 = \frac 1 5$ & y₂ = 1.

Disubstitusi dlm $5^ x+1 = y$ menjadi

$5^ x+1 = \frac 1 5 = 5^ -1$

$x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2$

$5^ x+1 = 1 = 5^0$

$x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1$

Sehingga,

$2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5$

Contoh Soal 2

Jika $x>0″ class=”latex” /> & <img decoding=$ memenuhi $\frac x \sqrt[3] x\sqrt[3] x = x^p$ , serta p bilangan rasional, maka p yakni

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dlm akar:

$\frac x \sqrt[3] x\sqrt[3] x = \frac x \sqrt[3] x(x)^ \frac 1 3 = x^p$

$= \frac x \sqrt[3] (x)^ 1+\frac 1 3 = \frac x \sqrt[3] (x)^ \frac 4 3$

Akar dirubah menjadi pangkat:

$= \frac x ((x)^ \frac 4 3 )^ \frac 1 3 = \frac x ((x)^ \frac 4 9 )$

Bentuk penggalan disederhanakan menjadi:

$x(x)^ -\frac 4 9 = x^p$

$(x)^ 1-\frac 4 9 = x^p$

Maka

$p = 1- \frac 4 9 = \frac 5 9$

Contoh Soal 3

Nilai x yg memenuhi pertidaksamaan eksponen $3^ -x^2+3x \le 1$ adalah:

Pembahasan

$3^ -x^2 + 3x \le 1$

$3^ -x^2 + 3x \le 3^0$

Sehingga,

$-x^2 + 3x \le 0$

$x(-x + 3) \le 0$

Diperoleh,

$x_1 = 0$ & $x_2 = 3$

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang $0<x<3$ lalu disubstitusikan kedalam bentuk $-x^2 + 3x \le 0$ . Misal ambil x = 1.