Teorema Phytagoras

Teorema Phytagoras merupakan seuah hukum matematika yg bisa dipakai dlm menentukan panjang salah satu sisi dr suatu segitiga siku-siku.

Yang perlu kalian ingat dr teorema ini yakni teorema cuma berlaku untuk segitiga siku-siku. Maka dr itu tak mampu digunakan untuk memilih sisi dr suatu segitiga lain yg tak berbentuk siku-siku.

Teorema pythagoras masuk ke dlm salah satu materi dlm mata pelajaran matematika dasar yg mempunyai ekspansi serta manfaat yg sungguh banyak.

Materi ini pula sungguh banyak dimanfaatkan serta sangat sering keluar dlm soal-soal cobaan nasional.

Pada dasarnya, teorema pythagoras sangatlah sederhana yakni kita hanya diminta untuk mengkalkulasikan panjang sisi dr suatu segitiga siku-siku di mana sisi yang lain telah kita pahami.

Jikalau sisi lain belum dikenali paling tak dapat kita cari dgn menggunakan cara lain sebelumnya.

Pembahsan selengkapnya mengenai teorema pythagoras silahkan simak baik-baik ulasan berikut ini.

Sifat Teorema Pythagoras

Terdapat dua sifat yg ada dlm teorema pythagoras,  diantaranya yaitu:

1. Hanya untuk segitiga siku-siku
2. Minimal 2 sisinya dapat dikenali apalagi dulu

Permasalahan lain yg sering dijumpai yakni dlm mengidentifikasi suatu segitiga siku-siku.

Bagian mana sisi miringnya, serta sisi lainnya. Untuk itu akan kami berikan sebuah segitiga siku-siku serta mengajak kalian untuk mengerti setiap komponen dr segi tiga siku-siku.

Namun sebelum itu, yuk pahami telebih dulu karakteristik dr suatu segitiga, berikut ulasan selengkapnya.

Karakteristik Suatu Segitiga

1. Apabila kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yg lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
2. Apabila kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yg lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.
3. Apabila kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yg lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.

Mengidentifikasi Sebuah Segitiga Siku-siku

memberi nama sisi segitiga untuk diingat

Apabila kalian amati gambar di atas, maka dapat kalian jumpai tiga buah sisi yg telah kami beri nama pada setiap sisinya.

Sisi miring yg disingkat sebagai (SM), sisi ganjal yg disingkat sebagai (SA), serta sisi tegak yg disingkat selaku (ST).

Dalam gambar di atas bisa kita jumpai bila sisi miring berada tepat di depan siku-siku dr suatu segitiga tersebut.

Siku-siku kebanyakan digambarkan dgn suatu kotak kecil di dalamnya, seperti gambar di atas yg ditunjuk dgn panah hitam.

Sisi miring tersebut berhadapan langsung dgn sudut siku-siku dr segi tiga di atas. Untuk sisi ganjal & pula sisi tegaknya bahu-membahu tak terlalu bermasalah jikalau kalian keliru dlm mengidentifikasi nya.

Mengapa kalian butuh untuk mengamati & mengerti bentuk sebuah segitiga siku-siku?

Karena, agar jika kalian menjumpai segitiga siku-siku nya di balik atau diganti namanya kalian tak akan mengalami kesuliatan.

Itulah kenapa kalian butuh untuk memahami sekaligus mengidentifikasi suatu segitiga siku-siku.

Sebagai teladan, amati baik-baik gambar di bawah ini:

Walaupun segitiga siku-siku tersebut sudah kita balik, kalian sudah bisa mengidentifikasi sisi miring, sisi bantalan, & sisi tegaknya.

Pada gambar di atas sisi miring yakni sisi r, sisi alasnya yaitu sisi p, serta sisi tegaknya yakni sisi q.

Selanjutnya yg pula menjadi permasalahan yg paling banyak menyesatkan yaitu kesalahan dlm menghafal rumus teorema pythagoras.

Berikut ulasan selengkapnya.

Rumus Teorema Pythagoras

Rumus Phytagoras merupakan rumus yg diperoleh dr materi Teorema Phytagoras.

Teorema Phytagoras sendiri mirip yg telah dissebutkan di atas merupakan teorema yg menerangkan ihwal korelasi antara sisi-sisi yg ada dlm sebuah segitiga siku-siku.

Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikiawan yg berasal dr Yunani bernama Phytagoras.

Adapun suara atau dalil Teorema Phytagoras yakni sebagai berikut:

Pada suatu segitiga siku-siku, kuadrat dr sisi terpanjang yakni sama dgn hasil jumlah dr kuadrat sisi-sisi penyikunya.

Dari teorema tersebut bisa kita membuatsuatu rumus yg bisa kita gambarkan seperti di bawah ini:

Sebagai pola, dikenali suatu segitiga dgn siku-siku di B. Apabila panjang sisi miring (hipotenusa) yaitu c serta panjang sisi-sisi penyikunya (sisi selain sisi miring) yaitu a & b. Maka teorema Phytagoras di atas bisa kita rumuskan mirip berikut ini:

Rumus Phytagoras

c² = a²  + b²

Keterangan:

c = sisi miring

a = tinggi

b = alas

Rumus Phytagoras pada umumnya dipakai dlm mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku mirip berikut ini:

Kuadrat sisi AC = kuadrat sisi AB + kuadrat sisi BC. atau AC² = AB² + BC²

Rumus untuk mencari panjang sisi bantalan yaitu:

b² = c²  – a²

Rumus untuk mencari sisi samping atau tinggi segitiga yakni:

a² = c²  – b²

Rumus untuk mencari sisi miring segitiga siku-siku yaitu:

c² = a²  + b²

Kegunaan Dalil Teorema Phytagoras

Selain dimanfaatkan dlm memilih panjang salah satu sisi segitiga yg tak dimengerti, dalil atau bungi dr Pythagoras ini pula bisa dipakai dlm beberapa perhitungan, diantaranya yaitu:

1. Menentukan panjang diagonal persegi
2. Menentukan diagonal ruang kubus & pula balok

Berikut akan kami berikan klarifikasi dr masing-masing kegunaanya:

1. Menentukan panjang diagonal persegi

Diberikan suatu persegi panjang ABCD seperti yg terlihat pada gambar di bawah ini:

Garis AC merupakan garis diagonal persegi. Apabila panjang sisi-sisi persegi tersebut dikenali, maka panjang diagonalnya bisa kita hitung dgn memakai dalil Pythagoras seperti berikut:

AC² = AB² + BC²

AC² = AD² + CD² 

Contoh soal: 

Sebuah persegi ABCD mempunyai panjang 8 cm & lebar 6 cm. Tentukanlah panjang diagonal dr persegi tersebut.

Jawab: 

Diketahui:

• panjang = p = 8 cm
• lebar = L = 6 cm

Ditanya:

• diagonal = d = … ?

Berdasarkan dalil Pythagoras, maka:

⇒ d² = p² + L²

⇒ d² = 8² + 6²

⇒ d² = 64 + 36

⇒ d² = 100

⇒ d = √100

⇒ d = 10 cm

Sehingga, panjang diagonal persegi pada soal di atas ialah 10 cm.

2. Menentukan diagonal ruang kubus & pula balok 

Diberikan suatu balok ABCD.EFGH seperti yg tampakpada gambar di bawah ini:

Garis AG merupakan salah satu diagonal ruang dlm balok tersebut. Panjang diagonal ruang AG bbisa kita hitung erdasarkan dalil Pythagoras seperti berikut ini:

AG² = AC² + CG²

Keterangan: 

AG = diagonal ruang

CG = tinggi balok

AC = diagonal bidang ganjal

Kemudian amati bantalan balok yakni persegi ABCD. Berdasarkan dr bunyi Pythagoras, panjang diagonal bidang AC bisa kita hitung dgn menggunakan rumus berikut:

AC² = AB² + BC²

Keterangan:

AB = panjang balok

BC = lebar balok

Sebab, AC² = AB² + BC², maka rumus panjang diagonal ruang AG bisa kita ubah menjadi:

⇒ AG² = AC² + CG²

⇒ AG² = AB² + BC² + CG²

⇒ AG² = p² + L² + t²

Sehingga, rumusnya akan menjadi:

d_r² = p² + L² + t²

Keterangan:

d_r = diagonal ruang

p = panjang balok

L = lebar balok

t = tinggi balok

Contoh soal: 

Suatu balok memiliki panjang, lebar, & tinggi berturut-turut yaitu 12 cm, 9 cm, & 8 cm. Tentukanlah panjang salah satu diagonal ruangnya!

Jawab: 

Diketahui:

• p = 12 cm
• L = 9 cm
• t = 8cm

Ditanya:

• d_r = … ?

Berdasarkan dr suara atau dalil Pythagoras, maka:

⇒ d_r² = p² + L² + t²

⇒ d_r² = 12² + 9sup>2 + 8²

⇒ d_r² = 144 + 81 + 64

⇒ d_r² = 289

⇒ d_r = √289

⇒ d_r = 17 cm

Sehingga, panjang diagonal ruangnya yakni 17 cm.

Menentukan Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku

Secara matematis, rumus dr Phytagoras biasa digunakan untuk memilih panjang sisi dr suatu segitiga siku-siku.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal Pythagoras (Pitagoras) & Penyelesaiannya

Soal 1.

Diketahui segitiga siku-siku ABC dgn siku-siku di B yg digambarkan sebagai berikut:

Tentukan panjang sisi miring AC pada gambar di atas!

Jawab:

Sebab segitiga di atas ialah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras mirip betikut ini:

AC² = AB² + BC²

AC² = 8² + 6²

AC² = 64 + 36

AC² = 100

AC  =  √100

AC  = 10

Sehingga, panjang sisi AC dlm segitiga siku-siku tersebut yakni 10 cm.

Soal 2.

Suatu segitiga siku-siku KLM dgn siku-siku di L digambarkan seperti di bawah ini:

Tentukan panjang sisi KL pada gambar di atas!

Jawab:

Sebab, segitiga di atas ialah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras mirip berikut ini:

KM² = KL² + LM²

KL² = KM² – LM²

KL² = 13² – 12²

KL² = 169 – 144

KL² = 25

KL  =  √25

KL = 5

Sehingga, panjang sisi KL dlm segitiga siku-siku di atas yaitu 5 cm.

Soal 3.

Diketahui segitiga siku-siku DEF dgn siku-siku di E digambarkan seperti di bawah ini:

Tentukan panjang sisi DE pada gambar di atas!

Jawab:

Sebab segitiga DEF di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras seperti di bawah ini:

DF² = DE² + EF²

DE² = DF² – EF²

DE² = 15² – 9²

DE² = 225 – 81

DE² = 144

DE  =  √144

DE = 12

Sehingga, panjang sisi DE pada segitiga siku-siku di atas yaitu 12 cm.

Soal 4.

Diketahui segitiga siku-siku ABC dgn siku-siku berada di B. Apabila panjang sisi AB = 16 cm serta Panjang sisi BC = 12 cm.

Maka hitunglah panjang sisi AC pada segitoga di atas!

Jawab:

Dari soal di atas bisa tips gambarkan suatu segitiga siku-siku mirip berikut ini:

Sebab segitiga di atas adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras mirip di bawah ini:

c² = a²  + b²

c² = 12² + 16²

c² = 144 + 256

c² = 400

c = √400

c = 20

Sehingga, panjang sisi AC pada segitiga siku-siku ABC dlm soal di atas yaitu 20 cm.

Menentukan Jenis Segitiga bila Diketahui Panjang Sisinya

Selain untuk mencari panjang sisi segitiga siku-siku, rumus Phytagoras pula digunakan dlm menentukan jenis dr suatu segitiga.

Apakah suatu segitiga tergolong dlm jenis segitiga siku-siku, segitiga lancip, ataupun segitiga tumpul. Kemudian, bagaimana caranya untuk menentukan jenis segitiga dgn rumus Phytagoras itu?

Untuk menentukan jenis segitiga dgn menggunakan teorema Phytagoras, maka kita harus membandingkan kuadrat dr sisi terpanjang dgn hasil jumlah dr kuadrat sisi-sisi penyikunya.

Sebaai acuan, dimengerti suatu segitiga siku-siku dgn panjang sisi miringnya (sisi terpanjang) yakni c. Serta panjang sisi-siki penyikunya yakni a & b, sehingga:

• Apabila c² < a²  + b², maka segitiga tersebut termasuk segitiga lancip;
• Apabila c² = a²  + b², maka segitiga tersebut termasuk segitiga siku-siku;
• Apabila c² > a²  + b², maka segitiga tersebut tergolong segitiga tumpul.

Untuk lebih jelasnya, amati beberapa teladan soal di bawah ini:

Soal 1.

Suatu segitiga siku-siku ABC dgn siku-siku berada di B. Tentukan jenis segitiga tersebut jikalau telah diketahui panjang sisi AB = 8 cm, BC = 15 cm, & AC = 20 cm!

Jawab:

Misalnya a merupakan sisi terpanjang & b, c merupakan dua sisi lainnya, maka mampu kita ketahui bila:

• c = 20 cm
• b = 8 cm
• a = 15 cm.

c² = 20² = 400

a²  + b² = 8²  + 15² = 64 + 225 = 289

Sebab,

c² > a²  + b²

400 > 289

Sehingga, segitiga ABC tergolong ke dlm segitiga tumpul.

Soal 2.

Tentukan jenis segitiga berikut apabila diketahui panjang sisi-sisinya yakni 10 cm, 12 cm, & 15 cm!

Jawab:

Misalknya c merupakan sisi terpanjang & b, a merupakan dua sisi yang lain, maka mampu kita ketahui:

• c = 15 cm
• b = 10 cm
• a = 12 cm.

c² = 15² = 225

a²  + b² = 12²  + 10² = 144 + 100 = 344

Sebab,

c² < a²  + b² 225 < 344

Sehingga, segitiga tersebut termasuk ke dlm segitiga lancip.

Tripel Phytagoras

Perhatikan beberapa pola bilangan yg ada di bawah ini:

3, 4, & 5

6, 8, & 10

5, 12, & 13

Beberapa bilangan yg disebutkan di atas meripakan bilangan-bilangan yg menyanggupi aturan rumus Phytagoras.

Di mana bilangan tersebut disebut selaku Tripel Phytagoras. Adapun bilangan Tripel Phytagoras bisa didefinisikan sebagai berikut.

Tripel Phytagoras merupakan aneka macam bilangan bulat konkret yg kuadrat bilangan terbesarnya mempunyai nilai yg sama dgn jumlah dr kuadrat bilangan-bilangan yang lain.

Pada lazimnya , Tripel Phytagoras terbagi menjadi dua macam, yakni Tripel Phytagoras Primitif & Tripel Phytagoras Non-Primitif.

Tripel Phytagoras Primitif merupakan Tripel Phytagoras yg di mana seluruh bilangannya mempunyai FPB sama dgn 1.

Seabgai teladan, dr bilangan Tripel Phytagoras Primitif yakni antara lain: 3, 4, & 5 serta 5, 12, 13.

Sementara untuk Tripel Phytagoras Non-Primitif merupakan Tripel Phytagoras di mana bilangannya mempunyai FPB yg tak cuma sama dgn satu.

Sebagai pola yaitu:6, 8, & 10; 9, 12, & 15; 12, 16, & 20; & pula 15, 20, & 25.

Pola angka pythagoras (Triple pythagoras) berfungi guna menuntaskan soal pythagoras dgn gampang, berikut pola angka (triple pythagoras) tersebut yaitu:

a – b – c

3 – 4 – 5

5 – 12 – 13

6 – 8 – 10

7 – 24 – 25

8 – 15 – 17

9 – 12 – 15

10 – 24 – 26

12 – 16 – 20

12 – 35 – 37

13 – 84 – 85

14 – 48 – 50

15 – 20 –  25

15 – 36 – 39

16 – 30 – 34

17 – 144 – 145

19 – 180 – 181

20 – 21 – 29

20 – 99 – 101

Dan masih banyak yg lainnya.

Keterangan:

a = tinggi segitiga

b = ganjal segitiga

c = sisi miring

Cara menentukan bilangan tripel pythagoras:

Apabila a & b bilangan bulat positif & a > b, maka tripel pythagoras bisa kita cari dgn memakai rumus mirip berikut ini:

2ab,a² – b², a² + b²

Untuk lebih jelasnya amati tabel di bawah ini:

Aplikasi Rumus Phytagoras dlm Permasalahan Sehari-Hari

Rumus Phytagoras banyak kita jumpai dlm aneka macam acara sehari-hari. Berikut ini akan kami berikan ulasan mengenai beberapa aplikasi rumus Phytagoras tersebut.

Contoh Soal Menentukan Jarak Kaki Tangga dgn Tembok

Perhatikan baik-baik gambar di bawah ini:

Diketahui suatu tangga disandarkan pada tembok. Apabila panjang tangga yakni 5 m serta tinggi temboknya yakni 4 m. Maka hitunglah jarak antara kaki tangga dgn temboknya!

Jawab:

Misalnya jarak antara kaki tangga dgn tembok yakni x, maka untuk memilih nilai x bisa kita pakai Rumus Phytagoras seperti berikut ini:

Diketahui:

• sisi miring atau c = 5m
• tinggi atau b = 4m

Ditanyakan:

• bantalan atau x?

x² = c²  – b²

c² = 5² – 4²

c² = 25 – 16

c² = 9

c = √9

c = 3

Sehingga, jarak antara kaki tangga dgn tembok yaitu 3 m.

Contoh Soal Menentukan Jarak Titik Awal Keberangkatan ke Titik Akhir

Perhatikan baik-baik gambar di bawah ini:

Suatu kapal berlayar dr pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 15 km menuju arah utara. Seudah tiba pada Pelabuhan B, kapal tersebut berlayar kembali sejauh 36 km menuju arah timur. Tentukan jarak antara pelabuhan A dgn titik tamat!

Jawab:

Dari soal di atas bisa kita membuatsuatu gambar dgn gosip seperti yg terdapat pada penyelesaian di bawah ini:

Ditanyakan:

• sisi miring atau c

Diketahui:

• b = 36km
• a = 15km

Sehingga:

Jarak pelabuhan A ke titik tamat yakni:

c² = 15²  + 36²

c² = 225 + 1296

c² = 1521

c = √1521

c = 39

Maka, jarak pelabuhan A ke titik akhir yaitu sejauh 39 km.

Demikianlah ulasan singkat kali ini mengenai Teorema Phytagoras yg mampu kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai mengenai Teorema Phytagoras dapat kalian jadikan sebagai materi berguru kalian.