Statistika

Statistika merupakan suatu cabang dr matematika yg mempelajari bagaimana cara untuk mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, mengolah sekaligus menganalisis data, menawan kesimpulan, & pula menafsirkan parameter.

Selengkapnya mengenai Statistika simak ulasan berikut ini.

Statistika

Sehingga apabila kita tarik kesimpulan ada beberapa aktivitas yg ada dlm statistika ini, antara lain:

1. Mengumpulkan data
2. Menyusun data
3. Menyajikan data
4. Mengolah & Menganalisis data
5. Menarik kesimpulan
6. Menafsirkan

Sebelum mempelajari lebih jauh perihal statistika, yuk kita pahami terlebih dahulu hal-hal yg berkaitan dgn statistika.

Statistika merupakan suatu ilmu yg mempelajari bagaimana menyiapkan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, serta mempresentasikan data. -sc:wikipedia

Selengkapnya, simak baik-baik ulasan berikut ini mengenai Statistika.

Datum & Data

Saat kita berada di bangku kelas IX, maka kita sudah mempelajari apa itu pengertian datum & data.

Untuk mengingatnya kembali, amati klarifikasi di bawah ini.

Sebagai contoh, hasil pengukuran berat tubuh dr 5 murid yakni 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, & 60 kg.

Serta tingkat kesehatan dr kelima murid itu antara lain yakni baik, baik, baik, jelek, & buruk.

Data pengukuran berat tubuh dr uraian di atas yakni 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, & 60 kg & data tersebut disebut selaku fakta dlm bentuk angka.

Sementara untuk hasil pemeriksaan kesehatan yg tertera baik & buruk disebut selaku fakta dlm bentuk klasifikasi.

Kemudian, fakta tunggal dinamakan selaku datum. Adapun kumpulan datum yg disebut selaku data.

Populasi & Sampel

Sebagai contoh ada peneliti yg ingin meneliti tentang tinggi badan rata-rata siswa Sekolah Menengan Atas yg ada di kota Jakarta Barat.

Lalu, sang peneliti tersebut mengumpulkan data perihal tinggi tubuh seluruh siswa SMA yg ada di kota Jakarta Barat.

Data tinggi badan dr semua siswa SMA di kota Jakarta Barat di sebut sebagai populasi.

Tetapi, karena terdapat beberapa kendala yg berupa keterbatasan waktu serta ongkos, maka data tinggi badan dr keseluruhan siswa Sekolah Menengan Atas di kota Jakarta Barat akan susah untuk ditemukan.

Sehingga penyelesaian dr kendala tersebut yakni melakukan pengambilan tinggi badan dr beberapa siswa SMA di kota Jakarta Barat yg mampu mewakili keseluruhan siswa Sekolah Menengan Atas di kota Jakarta Barat.

Data tersebutlah yg disebut selaku data dgn nilai perkiraan, sementara untuk sebagian siswa Sekolah Menengan Atas yg dijadikan objek observasi disebut selaku sampel.

Supaya ditemukan hasil yg berlaku dengan-cara umum maka dlm pengambilan sampel, diusahakan agar sampel yg dipakai bisa untuk mewakili populasi.

Pengumpulan Data

Berdasarkan dr sifatnya, data dibagi menjadi 2 macam golongan, antara laing yakni:

1)  Data kuantitatif merupakan data yg berwujud angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi menjadi dua kepingan, antara lain yaitu data cacahan & data ukuran. Berikut penjelasannya:

1. Data cacahan (data diskrit) merupakan suatu data yg didapatkan dgn cara membilang. Sebagai teladan, data mengenai banyak anak dlm keluarga.
2. Data ukuran (data kontinu) merupakan data yg didapatkan dgn cara mengukur. Sebagai acuan, data mengenai ukuran tinggi badan murid.

2)  Data kualitatif merupakan suatu data yg bukan berupa bilangan.

Data kualitatif mampu berwujud ciri, sifat, atau citra dr mutu objek. Sebagai contohnya, data yg berkaitan dgn mutu pelayanan seperti baik, sedang, & kurang.

Cara untuk menghimpun data, antara lain yakni dgn melakukan wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (pengamatan), atau memakai banyak sekali data yg sudah ada. Contohnya rataan hitung nilai rapor.

Menyajikan Data dlm Bentuk Diagram (Statistika)

1. Diagram Garis

Penyajian data statistik dgn memakai diagram berbentuk garis lurus disebut dgn diagram garis lurus atau diagram garis.

Diagram garis pada umumnya dimanfaatkan guna menghidangkan data statistik yg didapatkan berdasarkan pengamatan dr masa ke masa dengan-cara berurutan.

Sebagai pola: simulasi diagram garis yg biasa kalian ubah dr diagram garis yg ada.

2. Diagram Batang

Diagram batang kebanyakan dipakai untuk menggambarkan perkembangan nilai dr sebuag objek penelitian dlm kurun waktu tertentu.

Diagram batang menggambarkan banyak sekali keterangan dgn berabgai gambar batang tegak atau mendatar & sama lebar dgn batang-batang terpisah.

3. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran merupakan penghidangan data statistik dgn menggunakan gambar yg berupa lingkaran.

Setiap bagian yg berasal dr daerah lingkaran akan menunjukkan belahan-kepingan atau persen dr keseluruhan data.

Untuk menciptakan diagram lingkaran, maka langkah yg mesti kalian apalagi dahulu adalah menentukan besarnya persentase pada masing-masing objek terhadap keseluruhan data.

Serta besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Penyajian Data dlm Bentuk Tabel Distribusi Histogram, Poligon & Ogive

1. Distribusi Frekuensi Tunggal

Data tunggal seringkali disbeut sebagai bentuk daftar bilangan. Tetapi seringkali bisa pula dinyatakan di dlm bentuk tabel distribusi frekuensi.

Tabel distribusi frekuensi tunggal adalah cara untuk menyusun data yg relatif sedikit.

2. Distribusi Frekuensi Kelompok 

Data yg berukuran besar (n > 30) lebih pas untuk dihidangkan dlm bentuk tabel distribusi frekuensi golongan.

Dimana penyajian tabel distribusi frekuensi kelompok yakni suatu cara penyajian data yg dimana akan menyusun datanya dlm kelas-kelas tertentu.

Adapun beberapa tahapan untuk menyusun tabel distribusi frekuensi diantaranya yaitu sebagai berikut:

• Langkah ke-1 adalah memilih Jangkauan (J) = Xmax – Xmin
• Langkah ke-2 yakni menentukan banyak interval (K) dgn memakai rumus “Sturgess”. Yakni: K= 1 + 3,3 log n dgn n merupakan banyak data.

  Banyak kelas mesti merupakan bilangan bulat positif dr hasil pembulatan ke bawah.

• Langkah ke-3 yakni menentukan panjang interval kelas (I) dgn menggunakan rumus:

  J

  I = ––––

  K

• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas dr bawah interval kelas pertama atau data paling besar yg merupakan batas atas interval kelas terakhir.
• Langkah ke-5 yakni memasukkan banyak sekali data ke dlm kelas-kelas yg sesuai. Serta memilih nilai frekuensi pada masing-masing kelas dgn sistem turus.

3. Histogram 

Dari sebuah data yg kita peroleh mampu kita susun ke dlm tabel distribusi frekuensi serta kita sajikan ke dlm bentuk diagram yg disebut selaku histogram.

Apabila dlm diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah, maka lain halnya yg ada pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.

4. Poligon 

Apabila pada titik-titik tengah dr histogram dihubungkan dgn garis serta gamabr batangnya dihapus, maka akan kita peroleh poligon frekuensi.

Berdasarkan dr pola di atas mampu kta buat poligon frekuensinya.

5. Distribusi Frekuensi Kumulatif 

Daftar distribusi kumulatif di bagi menjadi dua macam, diantaranya yaitu sebagai berikut ini:

a. Daftar distribusi kumulatif kurang dr (menggunakan tepi atas).

b. Daftar distribusi kumulatif lebih dr (memakai tepi bawah).

Untuk lebih jelasnya, amati contoh data berikut ini.`

6. Ogive (Ogif)

Grafik yg menggambarkan frekuensi kumulatif kurang dr atau frekuensi kumulatif lebih dr disebut sebagai poligon kumulatif.

Poligon kumulatif cara dibuat semulus, yg jadinya disebut dgn ogif.

Terdapat dua macam ogif, antara lain:

a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dr disebut sebagai ogif positif.

b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dr disebut sebagai ogif negatif.

Median

2. Median

1) Median untuk data tunggal

Median merupakan suatu nilai tengah yg sudah diurutkan. Median dilambangkan sebagai Me.

Untuk memilih nilai  Median dr data tunggal bisa dgn memakai cara di bawah ini:

1. Mengurutkan data lalu kita cari nilai tengah,
2. Apabila banyaknya data besar, sesudah kita mengurutkan datanya, maka selanjutnya kita terapkan rumus di bawah ini:

Untuk ganjil: Me = x_1/2(n-1)

Untuk genap: Me = X_n/2 +  X_n/2+1

––––––––––––

2

Keterangan:

xn/2 = data pada urutan ke-n/2 setelah diurutkan.

Sebagai acuan:

Tentukanlah median dr data di bawah ini:

2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8

Jawab:

Maka kita urutkan data di atas menjadi:

2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

Sehingga kita peroleh median = data ke-(13 + 1)/2 = data ke-7

Sehingga jawaban untuk mediannya = 6

2) Median untuk data kelompok

Apabila data yg tersedia yaitu data kelompok hal itu bermakna data itu dikelompokkan ke dlm berabgai interval kelas yg sama panjang.

Untuk mengenali nilai dr mediannya bisa kita tentukan dgn memakai rumus berikut ini.

Keterangan:

Kelas median merupakan suatu kelas yg ada dlm data X1/2 n

• L = tepi bawah kelas median
• c = lebar kelas
• n = banyaknya data
• F = frekuensi kumulatif kurang dr sebelum kelas median
• f  = frekuensi kelas median

Modus

Modus merupakan suatu nilai yg paling sering atau banyak muncul atau nilai yg mempunyai frekuensi tertinggi.

Apabila sebuah data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal seta jikalau mempunyai dua modus disebut sebagai bimodal.

Sementara apabila mempunyai modus lebih dr dua disebut seabgai multimodal. Modus dilambangkan sebagai Mo.

1) Modus data tunggal

Modus dr data tunggal merupakan data yg sering muncul atau data dgn frekuensi tertinggi.

Perhatikan pola soal yg ada di bawah ini:

Contoh:

Tentukanlah modus dr data yg disajikan di bawah ini:

2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10

Jawab:

Data yg sering timbul yakni 1 & 5. Sehingga modus dr data di atas ialah 1 & 5.

2. Modus data golongan

Modus data golongan biasa dirumuskan dgn rumus seperti berikut ini:

Keterangan:

• L   = tepi bawah kelas modus
• c    = lebar kelas
• d1 = selisih frekuensi dr kelas modus dgn kelas sebelumnya
• d2 = selisih frekuensi dr kelas modus dgn kelas sesudahnya

Kuartil

Kuartil (Q)

Seperti yg telah kita bahas sebelumnya, bahwa median akan membagi data yg sudah diurutkan menjadi dua serpihan yg sama banyak.

Adapula kuartil yg mana berfungsi untuk membagi data yg sudah diurutkan menjadi empat serpihan yg sama banyak.

1) Kuartil data tunggal

Urutkan data dr yg kecil ke yg besar, lalu memilih kuartil dgn menggunakan rumus seperti berikut ini:

Contoh soal:

Tentukanlah nilai dr Q1, Q2, & Q3 dr data berikut: 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.

Jawab:

Langkah 1: urutkan data dr yg terkecil ke paling besar sehingga akan kita dapatkan data menjadi:

3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.

1(15+1)

Langkah 2: Letak data Q1=–––––––– = 4

4

Sehingga nilai dr Q1 berada pada data ke-empat yakni 4

2(15+1)

Langkah 3: Letak data Q2=–––––––– = 8

4

Sehingga nilai dr Q2 berada pada data ke-delapan yakni 7

3(15+1)

Langkah 4: Letak data Q1=–––––––– = 12

4

Sehingga nilai dr Q3 berada pada data ke-duabelas yakni 8

2) Kuartil data kelompok

Nilai kuartil biasa dirumuskan seperti berikut ini:

Keterangan:

• Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
• L  = tepi bawah kelas kuartil ke-i
• n = banyaknya data
• F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
• c = lebar kelas
• f = frekuensi kelas kuartil

Desil & persentil

Desil berfungsi untuk membagi data menjadi sepuluh belahan yg sama besar. Sementara persentil berfungsi untuk membagi data menjadi 100 kepingan yg sama.

Desil & persentil data tunggal

Desil

Keterangan:

D_i = desil ke-i

i = 1, 2, 3, . . ., 9

n = banyaknya data

Persentil

Keterangan:

P_i = persentil ke-i

i = 1, 2, 3, . . ., 99

n = banyaknya data

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran pemusatan atau yg biasa disebut seabgai mean, median & modus, yakni info yg memperlihatkan klarifikasi kecenderungan data selaku wakil dr beberapa data yg ada.

Adapun ukuran dr penyebaran data yg menyajikan citra seberapa besar data yg menyebar dr titik-titik pemusatan.

1. Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yg paling sederhana (bergairah) merupakan jangkauan (range) atau rentangan nilai, yakni selisih antara data terbesar & data terkecil.

1) Range data tunggal

Untuk range data tunggal bisa dirumuskan dgn rumus:

R = X_maks –  X_min

Contoh :

Tentukan range dr data yg disuguhkan di bawah ini.

6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

Jawab:

Dari data di atas maka kita dapatkan xmaks = 20 & xmin = 3

Sehingga, R = xmaks – xmin yakni = 20 – 3 = 17

2) Range data golongan

Untuk data golongan, nilai tertinggi akan diambil dr nilai tengah kelas tertinggi & pula nilai paling rendah yg diambil dr nilai kelas yg terendah.

2. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

Simpangan rata-rata suatu data yg merupakan nilai rata-rata dr selisih pada masing-masing data dgn nilai rataan hitung.

1) Simpangan rata-rata data tunggal

Simpangan rata-rata data tunggal biasa dirumuskan dgn rumus selaku berikut:

2) Simpangan rata-rata data kalangan

Simpangan rata-rata data kelompok biasa dirumuskan dgn rumus selaku berikut:

3. Simpangan Baku (Deviasi Standar) & Ragam

Sebelum membahas simpangan baku atau pula disebut seabgai deviasi kriteria, perhatikan baik-baik pola berikut. ini:

Kalian tentu tahu bahwa masing-masing orang memakai sepatu dgn ukuran yg berlawanan-beda.

Ada yg menggunakan ukuran 30, 32, 33, … , 39, 40, hingga 41. Perbedaan ini kemudian dimanfaatkan oleh para mahir statistika untuk menyaksikan penyebaran data dlm sebuah populasi.

Perbedaan ukuran sepatu kebanyakan berkaitan dekat dgn tinggi tubuh manusia.

Seorang mahir matematika asal Jerman yg berjulukan Karl Ganss mempelajari penyebaran dr berbagai macam data.

Beliau kemudian menemukan perumpamaan deviasi standar untuk menerangkan penyebaran yg terjadi. Sekarang ini, ilmuwan sudah menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran.

Deviasi standar merupakan akar dr jumlah kuadrat deviasi dibagi dgn banyaknya data.

1) Simpangan baku serta ragam data tunggal

Simpangan baku atau pula disebut sebagai deviasi kriteria data tunggal biasa dirumuskan dgn rumus sebagai berikut:

2) Ragam & Simpangan baku data golongan Ragam

Ragam serta Simpangan Baku merupakan salah satu cuilan dr statistik penyebaran data.

Untuk kali ini kita akan melihat bagaimana cara untuk mengkalkulasikan varian serta  kriteria dr deviasi data kelompok.

Harus kalian ketahui bahwa varian atau variansi merupakan sebutan atau nama lain dr ragam. Sedangkan untuk Simpangan Baku merupakan nama lain dr patokan deviasi.

Rumus yg dipakai untuk menghitung ragam serta simpangan baku ini antara lain:

Rumus Menghitung Varian atau Ragam

Rumus Menghitung Simpangan Baku atau Standar Deviasi

Soal & Pembahasan (Statistika)

Soal 1.

Disajikan data sebagai berikut: 6, 7, 7, 8, 9, 8, 6, 7, 8, 5, 9, 4

Kemudian pastikan modus dr data yg sudah disuguhkan di atas!

Jawab:

Terlihat yg paling banyak tampil atau muncul adalah 7 & 8. Di mana masing-masing sama sebanyak 3 kali timbul. Sehingga mampu kita pahami bahwa modusnya adalah 7 & 8.

Soal 2.

Disajikan data dr nilai ujian matematika anak kelas XI IPA-1 mirip berikut ini: 7, 8, 8, 6, 8, 6, 9, 7, 6, 8, 5, 8

Maka tentukan nilai dr modus data yg disajikan di atas!

Jawab:

Modus yg diambil dr data yg paling banyak tampil atau muncul. Dari data di atas maka mampu kita pahami bahwa modusnya adalah 8.

Soal 3.

Perhatikan data yg dihidangkan di bawah ini:

7, 8, 9, 10, 5, 4, 2, 3, 1

Tentukan nilai modus datanya!

Jawab:

Data ini tak mempunyai modus, karena tak ada suatu nilai yg timbul lebih sering dr yg lain. Semuanya memiliki frekuensi sama.

Soal 4.

Perhatikan tabel distribusi frekuensi data tunggal di bawah ini:

Tentukan modus dr data di atas!

Jawab:

Yang paling banyak timbul atau modusnya ialah 7. Karena timbul sebanyak 11 kali. Sehingga mampu kita pahami modusnya adalah 7.

Soal 5. (Statistika – UN Matematika Sekolah Menengan Atas Tahun 2007)

Perhatikan tabel berikut!

Modus data pada tabel tersebut adalah….

A. 49,06 kg

B. 50,20 kg

C. 50,70 kg

D. 51,33 kg

E. 51,83 kg

Jawab:

Rumus untuk memilih modus dr data berkelompok:

Keterangan:

t_b = titik bawah kelas modus

d₁ = selisih frekuensi kelas modus dgn frekuensi kelas sebelumnya

d₂ = selisih frekuensi kelas modus dgn frekuensi kelas sesudahnya

p = panjang kelas

Dari tabel soal maka kita peroleh kelas modusnya yakni interval 49 – 54 (yang frekuensinya paling banyak), data yang lain yakni:

t_b = 49 − 0,5 = 48,5

d₁ = 14 − 9 = 5

d₂ = 14 − 10 = 4

p = 36,5 − 30,5 = 6

Sehingga kita ketahui modusnya yaitu:

Soal 6. (UN Matematika 2012 – Program IPS)

Data di samping ialah data skor hasil ulangan matematika kelas XII IPS suatu SMA.

Modus dr data pada tabel ialah…

A. 36,75

B. 37,25

C. 38,00

D. 38,50

E. 39,25

Jawab:

Menentukan modus data:

Soal 7.

Perhatikan histogram berikut yg menyuguhkan data berat tubuh (dalam kg) 30 orang siswa. Modus data tersebut ialah…

A. 47,5

B. 48,25

C. 48,75

D. 49,25

E. 49,75

Jawab:

Perhatikan perbedaan model ini dgn soal sebelumnya, yaitu pada pengambilan panjang interval kelas & titik bawah kelas modus.

Untuk model soal ini t_b = 45,5 (tidak butuhdikurangi 0,5 lagi, lantaran sudah menyuguhkan titik bawah dengan-cara eksklusif pada datanya) & panjang kelasnya p = 50,5 − 45,5 = 5.

Demikianlah ulasan singkat perihal Statistika yg dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas tentang Statistika mampu kalian jadikan sebagai materi berguru kalian.