Soal Matematika Bunga Majemuk – Buat sahabat-sahabat semua kami akan menyebarkan bagaimana untuk mampu menjawab perihal soal Bunga Majemuk tersebut, kami akan berikan Soal Matematika Bunga Majemuk dengan Penjelasannya sehingga anda mampu parktek sendiri dengan menyaksikan pola Soal yang kami berikan disini. Untuk itu eksklusif saja anda mampu mendapatkan dibawah ini selengkapnya ya. Untuk Soal Matematika Bunga Majemuk tersebut.
Sinta meminjam duit di koperasi untuk membeli mobil sebesar Rp75.000.000,00 dengan bunga majemuk 3% selama 3 tahun. Sinta menerima detail pinjamannya yang mesti dibayarkan di akhir tahun ketiga sebagai berikut.
Dari tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga terus berubah setiap periodenya yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ($i = 3\%$) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya. Perhitungannya :
Modal sebelumnya = 75.000.000
bunga masa I = $ 3\% \times 75.000.000 = 2.250.000 \, $
Modal kala I = 75.000.000 + 2.250.000 = 77.250.000
bunga abad II = $ 3\% \times 77.250.000 = 2.317.500 \, $ ,
begitu seterusnya.
Contoh soal :
1). Dani menyimpan duit di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank menawarkan bunga 10%/tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan dianggap tidak ada biaya manajemen bank. Tentukan besarnya bunga pada final tahun pertama, selesai tahun kedua, dan selesai tahun ketiga ?
Penyelesaian :
*). Diketahui :
Suku bunga beragam : $ i = 10\% = \frac10100= 0,1 $
Modal permulaan : M = 1.000.000
*). Bunga final tahun pertama/abad pertama ($B_1$) :
$ B_1 = i \times M = 0,1 \times 1.000.000 = 100.000 $.
*). Besar modal selesai tahun pertama ($M_1$) :
$ M_1 = M + B_1 = 1.000.000 + 100.000 = 1.100.000 $.
*). Bunga tamat tahun kedua/masa kedua ($B_2$) :
$ B_2 = i \times M_1 = 0,1 \times 1.100.000 = 110.000 $.
*). Besar modal selesai tahun kedua ($M_2$) :
$ M_2 = M_1 + B_2 = 1.100.000 + 110.000 = 1.210.000 $.
*). Bunga simpulan tahun ketiga/kurun ketiga ($B_3$) :
$ B_3 = i \times M_2 = 0,1 \times 1.210.000 = 121.000 $.
*). Besar modal akhir tahun ketiga ($M_3$) :
$ M_3 = M_2 + B_3 = 1.210.000 + 121.000 = 1.331.000 $.
Kaprikornus, besarnya bunga dari kurun pertama hingga ketiga berturut-turut Rp100.000, Rp110.000, dan Rp121.000.
$ \beginalign B_n = i \times (1+i)^n-1 \times M \endalign $
Keterangan :
$ B_n = \, $ bunga abad ke-$n$ (final kala ke-$n$)
$ i = \, $ suku bunga per kala
$ M = \, $ modal awal yang ditabung atau yang dipinjam
Contoh :
2). Kita akan coba menjumlah kembali besarnya bunga pada pola soal nomor (1) di atas dengan rumus bunga.
Pada soal nomor (1) dikenali $ i = 10\% = 0,1 \, $ dan modal awal M = 1.000.000.
*). Menentukan besarnya bunga masa pertama, kedua dan ketiga dengan rumus
$ \beginalign B_n = i \times (1+i)^n-1 \times M \endalign $
Besar bunga simpulan tahun pertama/kala pertama ($n=1$) :
$ \beginalign B_n & = i \times (1+i)^n-1 \times M \\ B_1 & = i \times (1+i)^1-1 \times M \\ & = i \times (1+i)^0 \times M \\ & = i \times 1 \times M \\ & = i \times M \\ & = 0,1 \times 1.000.000 \\ & = 100.000 \endalign $
Besar bunga tamat tahun kedua/era kedua ($n=2$) :
$ \beginalign B_n & = i \times (1+i)^n-1 \times M \\ B_2 & = i \times (1+i)^2-1 \times M \\ & = i \times (1+i)^1 \times M \\ & = i \times (1 + i) \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1) \times 1.000.000 \\ & = 110.000 \endalign $
Besar bunga tamat tahun ketiga/kala ketiga ($n=3$) :
$ \beginalign B_n & = i \times (1+i)^n-1 \times M \\ B_3 & = i \times (1+i)^3-1 \times M \\ & = i \times (1+i)^2 \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1)^2 \times 1.000.000 \\ & = 121.000 \endalign $
Kita dapatkan hasil yang sama dengan perhitungan pada pola soal nomor (1) di atas.
$ \beginalign M_n = M(1+i)^n \endalign $
Keterangan :
$ M_n = \, $ modal tamat stelah masa ke-$n$ (final periode ke-$n$)
Catatan :
*). $i \, $ dan $ n \, $ mesti dalam satuan/era yang serupa.
*). Jika satuan $ i \, $ dan $ n \, $ tidak sama, maka satuan $ n \, $ yang diubah menjadi bentuk satuan $i $ .
Contoh soal :
3). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal simpulan dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun!
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ , dan $ n = 6 $
*). Menentukan modal final ($M_n$) :
$ \beginalign M_n & = M(1+i)^n \\ & = 5.000.000 \times (1+0,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times (1 ,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \\ & = 8.857.805 \endalign $
Jadi, besar modal tamat setelah dibungakan selama 6 tahun yakni Rp8.857.805,00.
*). Menentukan jumlah semua bunga yang diperoleh selama 6 tahun :
Total bunga = 8.857.805 – 5.000.000 = 3.857.805
Makara, jumlah semua bunga selama 6 tahun ialah Rp3.857.805,00.
4). Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama 5 tahun. Tentukan modal tamat!
Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 2.000.000 , $ i = 5\% = 0,05 \, $/semester (6 bulan).
Satuan $i \, $ dan $ n \, $ harus sama dengan tanpa mengganti satuan dari $ i \, $ , sehingga kita ubah $ n \, $ menjadi satu masa = 1 semester = 6 bulan. Sementara 1 tahun = 2 semester, sehingga kita peroleh :
$ n = \, $ 5 tahun = 5 $ \times \, $ 2 semester = 10 semester.
*). Menentukan modal final ($M_n$) :
$ \beginalign M_n & = M(1+i)^n \\ & = 2.000.000 \times (1+0,05)^10 \\ & = 2.000.000 \times (1 ,05)^10 \\ & = 2.000.000 \times 1,628894627 \\ & = 3.257.789,25 \endalign $
Jadi, besar modal final setelah dibungakan selama 5 tahun adalah Rp3.257.789,25.
5). Radit menyimpang uangnya di bank sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan. Tentukan besar tabungan kesudahannya sesudah tabungannya berjalan selama 3 tahun 9 bulan.?
Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 1.500.000 dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /triwulan (3 bulan).
Kita samakan satuan $ i $ dan $ n $ ialah sama-sama dalam triwulan.
1 triwulan = 3 bulan,
dan 3 tahun 9 bulan = $ 3 \times 12 + 9 = 45 \, $ bulan.
Sehingga $ n = \frac453 = 15 \, $ triwulan.
*). Menentukan modal selesai ($M_n$) :
$ \beginalign M_n & = M(1+i)^n \\ & = 1.500.000 \times (1+0,04)^15 \\ & = 1.500.000 \times (1 ,04)^15 \\ & = 1.500.000 \times 1,800943506 \\ & = 2.701.415,26 \endalign $
Makara, besar tabungan final Radit sesudah dibungakan selama 3 tahun 9 bulan ialah Rp2.701.415,26.
6). Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4%/semester, sehabis berapa tahun modal selesai menjadi = Rp4.440.732,87?
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.000.000, $ M_n = 4.440.732,87 \, $ dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /semester.
*). Sifat logaritma yang dipakai : $ \log a^n = n \times \log a $.
*). Menentukan usang menabung ($n$) :
$ \beginalign M_n & = M(1+i)^n \\ 4.440.732,87 & = 3.000.000(1+0,04)^n \\ (1+0,04)^n & = \frac4.440.732,873.000.000 \\ (1,04)^n & = 1.48024429 \, \, \, \, \, \text(gunakan sifat logaritma) \\ \log (1,04)^n & = \log (1.48024429) \\ n \times \log (1,04) & = \log (1.48024429) \\ n & = \frac\log (1.48024429)\log (1,04) \, \, \, \, \, \text(gunakan kalkulator) \\ n & = 10 \endalign $
Karena $ i $ dan $ n $ satuannya sama, maka $ n = \, $ 10 semester = 5 tahun.
Kaprikornus, modal tersebut dibungakan selama 5 tahun.
7). Rita meminjam uang di koperasi sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga beragam tiap bulan. Setelah 2 tahun modal menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya!
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 2.500.000, $ M_n = 4.021.093,12 \, $ dan
$ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan ( satuan $i $ dan $ n $ sama-sama dalam bulan).
*). Sifat eksponen yang digunakan : $ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]b $
*). Menentukan suku bunga ($i$) :
$ \beginalign M_n & = M(1+i)^n \\ 4.021.093,12 & = 2.500.000 \times (1+i)^24 \\ (1+i)^24 & = \frac4.021.093,122.500.000 \\ (1+i)^24 & = 1,608437249 \, \, \, \, \, \, \text(gunakan sifat eksponen) \\ (1+i) & = \sqrt[24]1,608437249 \, \, \, \, \, \, \text(gunakan kalkulator) \\ (1+i) & = 1.02 \\ i & = 1.02 – 1 \\ i & = 0,02 \\ i & = 0,02 \times 100\% \\ i & = 2 \% \endalign $
Kaprikornus, suku bunganya yakni sebesar 2%/bulan.
i). Dengan mengkalkulasikan pribadi bentuk $ (1 + i)^n \, $ menggunakan kalkulator,
ii). Sisa kurun bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menjumlah bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir periode bunga yang bundar. Jika disederhanakan dalam rumus yakni sebagai berikut:
$ \beginalign M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) \endalign $
Dengan $ p \, $ masa bunga cuilan
Catatan :
Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas.
Cotoh soal :
8). Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan. Tentukanlah modal final sesudah berbunga selama 5,75 bulan!
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 4.500.000, $ i = 3\% = 0,03 \, $ /bulan, dan $ n = 5,75 \, $ bulan.
Cara I, pribadi menggunakan rumus : $ M_n = M(1+i)^n $
$ \beginalign M_n & = M(1+i)^n \\ & = 4.500.000 \times (1+0,03)^5,75 \\ & = 4.500.000 \times (1 ,03)^5,75 \\ & = 4.500.000 \times 1,18526113 \\ & = 5.333.675,08 \endalign $
Kaprikornus, besar modal akhir sehabis dibungakan 5,75 bulan yaitu Rp5.333.675,08.
Cara II, menggunakan rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $ :
usang menabung 5,75 bulan, artinya $ n = 5 \, $ (bagian lingkaran) dan $ p = 0,75 \, $ (bagian potongan).
$ \beginalign M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 4.500.000 (1 + 0,03)^5 (1 + 0,75 \times 0,03) \\ & = 4.500.000 (1 ,03)^5 \times (1 + 0,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,159274074 \times (1,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,185357741 \\ & = 5.334.109,84 \endalign $
Makara, besar modal akhir sehabis dibungakan 5,75 bulan yaitu Rp5.334.109,84.
Catatan :
Terjadi perbedaan hasil antara cara I dan cara II yakni sebesar Rp434,76 dimana perbedaannya cuma kecil saja. Artinya kita boleh menggunakan salah satu dari cara yang ada, dan disarankan memakai cara kedua adalah memakai rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $.
9). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga beragam 10%/tahun. Tentukanlah modal final sehabis berbunga selama 6 tahun 3 bulan.
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ /tahun.
Karena satuan $ i $ dalam tahun, maka 6 tahun 3 bulan kita ubah menjadi dalam tahun.
6 tahun 3 bulan = $ 6 + \frac312 = 6 + 0,25 = 6,25 \, $ tahun.
artinya $ n = 6 \, $ dan $ p = 0,25 $.
*). Menentukan modal simpulan ($M_n$) :
$ \beginalign M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 5.000.000 (1 + 0,1)^6 (1 + 0,25 \times 0,1) \\ & = 5.000.000 (1 ,1)^6 \times (1 + 0,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \times (1,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,815850025 \\ & = 9.079.250,125 \endalign $
Kaprikornus, besar modal simpulan setelah dibungakan 6,25 tahun yakni Rp9.079.250,125.