Soal Matematika Bisnis

3.1 Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua yakni fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Mengingat pangkat dua dalam persamaan kuadrat sebetulnya dapat terletak pada baik variable x maupun variable y, bahkan pada suku xy(jika ada) maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah :
3.1.1 Lingkaran
Bentuk Umum persamaan bulat yakni : ax² + by² + cx + dy + e = 0
Jika i dan j masing-masing yaitu jarak pusat lingkaran kepada sumbu vertikal y dan sumbu horizontal x, sedangkan r yaitu jari-jari bundar, maka persamaan baku lingkaran menjadi : ( x – i )² + ( y – j )² = r² , dengan

3.1.2.Ellips
Bentuk baku rumus ellips


3.1.3.Hiperbola

, jika sumbu lintang sejajar sumbu x


, bila sumbu lintang sejajar sumbu y


3.1.4.Parabola
Bentuk biasa persamaan parabola adalah :
y = ax² + bx + c, kalau sumbu simetri sejajar sumbu vertical
atau
x = ay² +by +c, jika sumbu simetri sejajar sumbu horisontal

3.2.Penerapan Ekonomi
3.2.1.Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran mampu pula berupa fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik mampu berupa cuilan bundar, kepingan elips, belahan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk ajakan dan penawaran yang non linier sama mirip halnya dalam masalah yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Q_d = Q_s, pada perpotongan kurva ajakan dan kurva penawaran.

Keseimbangan Pasar :
Q_d = Q_s
Q_d = jumlah permintaan
Q_s = jumlah penawaran
E    = titik keseimbangan
P_e = harga keseimbangan
Q_e = jumlah keseimbangan
Analisis imbas pajak dan subsidi kepada keseimbangan pasar juga sama seperti pada keadaan linier. Pajak atau subsidi menjadikan harga jual yang ditawarkan oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih minim. Sebaliknya subsidi mengakibatkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.
Contoh Soal:
Fungsi undangan akan sebuah barang ditunjukan oleh persamaan Q_d = 19 – P² , sedangkan fungsi penawarannya  yakni Q_s =  –8 + 2P² . Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?
Jawab  :
Keseimbangan Pasar
Q_d =     Q_s
19 – P² =  –8 + 2P²
P² =     9
P        =      3  ≡  P_e
Q        =  19 – P²
=  19 – 3²
Q        =  10   ≡ Q_e
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 10,3 )
Jika contohnya kepada barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1 (rupiah) per unit, maka persamaan penawaran sehabis pengenaan pajak menjadi :
Q_s‘ = –8 + 2(P–1)² = –8 + 2(P²–2P+1) = –6 –4P+ 2P²
Keseimbangan pasar yang gres :
Q_d = Q_s‘
19 – P² = –6 – 4P + 2P²
3P² – 4P – 25 = 0
Dengan rumus abc diperoleh P₁= 3,63 dan P₂ = –2,30, P₂ tidak digunakan karena harga negative yaitu irrasional.
Dengan memasukkan P = 3,63 ke dalam persamaan Q_d atau Q_s‘ diperoleh Q = 5,82.
Jadi, dengan adanya pajak : P_e^‘ = 3,63 dan Q_e^‘ = 5,82
Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-masing :
t_k = P_e^‘ ­– P_e = 3,63 – 3 = 0,63
t_p = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37
T = Q_e^‘ x t = 5,82 x 1 = 5,82
3.2.2.Fungsi Biaya
Selain pemahaman biaya tetap, ongkos variable  dan ongkos total, dalam konsep ongkos diketahui pula pengertian biaya rata-rata (average cost) dan ongkos marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata yaitu biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total kepada jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun ongkos marjinal yaitu ongkos pemanis yang dikeluarkan untuk menghsilkan satu unit aksesori produk
Biaya tetap                        :     FC = k
Biaya variable                  :     VC = f(Q) = vQ
Biaya total                         :       C = g (Q) = FC + VC = k + vQ
Biaya tetap rata-rata     :

Biaya variable rata-rata     :

Biaya rata-rata                  :

Biaya marjinal                  :

Bentuk non linier dari fungsi ongkos kebanyakan berupa fungsi kuadrat parabolic dan fungsi kubik. Hubungan antara ongkos total dan bagian-bagiannya secara grafik mampu dilihat sebagai berikut :

1. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik

Andaikan C = aQ² – bQ + c  maka  dan
Maka

1. Biaya total ialah fungsi kubik

Andaikan C = aQ³ – bQ² + cQ + d maka dan FC=D
Maka



Contoh Soal :
Biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan
C = 2Q² – 24 Q + 102. Pada tingkat bikinan berapa unit ongkos total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap, ongkos variable, ongkos rata-rata, ongkos tetap rata-rata dan ongkos variable rata-rata pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marjinal?
Jawab :
Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan

Besarnya C minimum = 2Q² – 24 Q + 102
= 2(6)² – 24(6) + 102 = 30
Atau C minimum mampu juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu

Selanjutnya, pada Q = 6





Jika Q = 7, C =  2(7)² – 24(7) + 102 = 32

Berarti untuk memaksimalkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diharapkan ongkos pemanis (biaya marjinal) sebesar 2.
Fungsi Penerimaan
Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka ke bawah.
Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang , juga merupakan hasilkali jumlah barang dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam rancangan ongkos, dalam desain penerimaanpun diketahui pemahaman rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) adalah penerimaan yang diperoleh per unit barang, ialah hasilbagi penerimaan total kepada jumlah barang. Penerimaan marjinal (marginal revenue, MR) adalah penerimaan aksesori yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.
Penerimaan total               R = Q x P = f (Q)
Penerimaan rata-rata
AR = R/Q
Penerimaan marjinal
MR =
Contoh :
Fungsi undangan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5 Q. Bagaimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit, dan berapa harga jual perunit? Hitunglah penerimaan marjinal dari pemasaran sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan maksimum tersebut.
Jawab :
P = 900 – 1,5 Q  R = Q x P = 900 Q – 1,5 Q²
Jika Q = 200 ,  R = 900 (200) – 1,5(200)² = 120.000
P = 900 – 1,5 (200) = 600
Atau

Jika Q = 250 ,  R = 900 (250) – 1,5(250)² = 131.250
R = 900 Q – 1,5 Q²
R maksimum pada

Besarnya R maksimum = 900 (300) – 1,5(300)² = 135.000
3.2.3.Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok
Analisis Pulang Pokok (break-even) yakni suatu konsep yang dipakai untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual supaya perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak mendapatkan keuntungan namun tidak pula menderita kerugian.  Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Tingkat produksi Q₁ dan Q₄ merefleksikan kondisi pulang pokok, alasannya adalah penerimaan total sama dengan pengeluaran (biaya) total, R = C. Area disebelah kiri Q₁ dan sebelah kanan Q₄ merefleksikan keadaan rugi, karena penerimaan total lebih kecil dari pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q₁ dan Q₄ mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih besar dari pengeluaran total, R > C. Tingkat buatan Q₃ mencerminkan tingkat buatan yang menunjukkan penerimaan total maksimum. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih kasatmata antara R dan C. Keuntungan maksimum tidak selalu terjadi dikala R maksimum atau C minimum.
Contoh soal :
Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -0,1Q² + 20Q, sedangkan ongkos total yang dikeluarkan C = 0,25Q³ – 3Q² + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini jikalau dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit ?
Jawab ;
π  =  R – C = -0,1Q² + 20Q – 0,25Q³ + 3Q² – 7Q – 20
π  =  – 0,25Q³ + 2,9Q² + 13Q – 20
Q  =  10  π  =  – 0,25(1000) + 2,9(100) + 13(10) – 20
=   –250 + 290 +130 – 20 = 150 (laba )
Q  =  20  π  =  – 0,25(8000) + 2,9(400) + 13(20) – 20
=   –2000 + 1160 +260 – 20 = – 600 (kerugian )
Contoh Soal :
Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh fungsi R =  – 0,1Q² + 300Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkannya C = 0,3Q² – 720Q + 600.000. Hitunglah :

1. Tingkat buatan yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?
2. Tingkat buatan yang memperlihatkan biaya  total minimum ?
3. Manakah yang lebih baik bagi perusahaan, berproduksi menguntungkan berproduksi pada tingkat buatan yang menghasilkan penerimaan total maksimum atau ongkos total minimum ?

Jawab :
R =  – 0,1Q² + 300Q
C = 0,3Q² – 720Q + 600.000
R maksimum terjadi pada

C minimum terjadi pada

π pada R maksimum

Q = 1500   π = – 0,4Q² + 1020Q – 600.000
= – 0,4(1500)² + 1020(1500) – 600.000
=  30.000

1. π pada C minimum
2. Q = 1200   π = – 0,4Q² + 1020Q – 600.000

= – 0,4(1200)² + 1020(1200) – 600.000
=  30.000

3.3. Soal-Soal Latihan

1. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasar dari suatu barang yang usul dan penawarannya masing-masing ditunjukkan oleh persamaanQd=40 –P² dan Qs = -60+3 P².
2. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasar dari sebuah barang yang usul dan penawarannya masing-masing ditunjukkan oleh persamaan Qd=20– P² dan Qs=-28+ 3 P².
3. Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh fungsi                       R= – 3Q²+ 750Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkannya C = 5Q² – 1000Q + 85.000. Hitunglah :

a. Tingkat bikinan yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?
b.Tingkat bikinan yang memberikan ongkos  total minimum ?
c. Manakah yang lebih menguntungkan berproduksi pada tingkat bikinan yang menciptakan penerimaan total maksimum atau biaya total minimum ?

sumber tumpuan : setyonugroho09.wordpress.com