Soal Induksi Matematika

Soal Induksi Matematika – Ini yakni salah satu hal yang wajib kau tahu dimana admin blog soal kunci balasan menyampaikan Soal Induksi Matematika terhadap sahabat-sahabat semua yang saat ini mencari Soal Induksi Matematika, dengan ini maka kau akan tahu selengkapnya pembahasan Soal Induksi Matematika tersebut. Sehingga para teman mampu mengerti dan memahami Soal Induksi Matematika yang kami posting buat anda semua disini.

Tentunya ini akan menjadi pelajaran yang sungguh berharga sekali untuk anda dan admin juga karena mempelajari Soal Induksi Matematika tersebut. Oya di blog Soal dan Kunci Jawaban memberikan banyak sekali Bank Soal sehingga memudahkan sahabat-sahabat mempelajari Soal-Soal yang keluar di mata pelajaran saat ini.

Dengan itu semua kami berbagi secara langsung Soal Induksi Matematika tersebut dibawah ini, tinggal anda copy paste soal yang kami bagi ini, atau juga anda bisa download untuk Soal Induksi Matematika tersebut.

Sehingga ini akan menjadi mengasyikkan jika kita senantiasa mencar ilmu Soal Induksi Matematika dan kau mampu Soal Induksi Matematika ini sehingga ditentukan juga teman2 akan mampu menerima Nilai Bagus untuk Soal Induksi Matematika ini. Ini akan menjadi Bocoran Soal Induksi Matematika yang mesti kamu pelajari ketika ini.

Selamat berguru dan jangan lupa juga senantiasa berdoa duluh sebelum berguru ya agar otak bisa encer dan bisa menyerap semua Soal Induksi Matematika yang kami bagikan dibawah ini selengkapnya ok.

Prinsip Induksi Matematika
Untuk setiap bilangan lingkaran konkret n, misalkan P(n) yaitu pernyataan yang bergantung pada n. Jika

1. P(1) benar, dan
2. untuk setiap bilangan bulat kasatmata k, kalau P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bundar aktual n.

---

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:
Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan fikiran ini untuk mengambarkan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)
Perlu dikenang bahwa dalam Langkah 2 kita tidak menandakan bahwa P(k) benar. Kita hanya memperlihatkan bahwa jikalau P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut selaku hipotesis induksi.
Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
Soal 1: Pendahuluan
Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

1. P(k): S_k = [k²(k + 1)²]/4
2. P(k): S_k = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
3. P(k): k + 3 < 5k²
4. P(k): 3^k ≥ 2k + 1

Pembahasan

1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
   
2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
   
3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita dapatkan
   
4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
   

Ketika menggunakan induksi matematika untuk mengambarkan rumus penjumlahan (mirip pada Soal 2), akan sangat menolong jika kita berpikir bahwa S_{k + 1} = S_k + a_{k + 1}, di mana a_{k + 1} yaitu suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.
Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika
Gunakan induksi matematika untuk pertanda rumus

untuk semua bilangan bundar n ≥ 1.
Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bab yang berlainan.

1. Pertama, kita harus memperlihatkan bahwa rumus tersebut benar saat n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, alasannya
   
2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama yaitu menilai bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bundar k. Langkah kedua ialah menggunakan pikiran ini untuk menunjukan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bundar berikutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
   
   bernilai benar, kita harus menawarkan bahwa rumus S_{k + 1} = (k + 1)² benar.
   

Dengan memadukan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bundar n ≥ 1.

Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan lingkaran konkret n,

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bundar konkret n.

1. Kita harus menawarkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan
   
   dan pernyataan ini dengan terperinci bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita yaitu
   
   Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk memberikan bahwa P(k + 1) benar, ialah
   
   Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
   
   Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita sudah melakukan langkah induksi.

Setelah menerangkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bundar nyata n.

---

Rangkuman berikut ini memperlihatkan rumus-rumus untuk jumlah pangkat dari n bilangan bundar aktual pertama. Rumus-rumus ini sangat penting dalam kalkulus. Rumus 1 telah kita buktikan dalam Contoh 2. Rumus-rumus yang lain juga mampu dibuktikan dengan mengunakan induksi matematika.

Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bundar aktual n.
Pembahasan Misalkan P(n) ialah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3.

1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan
   
   yang bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita mendapatkan hipotesis induksi selaku berikut.
   
   Hipotesis ini akan kita pakai untuk pertanda bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan
   
   Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
   
   Sehingga kita sudah menawarkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah pertanda langkah induksi.

Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan memakai induksi matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat konkret n.
Soal 5: Menggunakan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat aktual n.
Pembahasan Misalkan P(n) yaitu pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2² + 3 ∙ 2³ + … + n ∙ 2ⁿ = 2[1 + (n – 1)2ⁿ]

1. Pertama kita buktikan bahwa P(1) benar. Pernyataan ini menyatakan
   
   yang dengan jelas bernilai benar.
2. Selanjutnya, kita anggap bahwa P(k) bernilai benar dan menghasilkan hipotesis induksi selaku berikut.
   
   Hipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk mengambarkan kebenaran P(k + 1). Pernyataan P(k + 1) menyampaikan
   
   Kita mulai dari ruas kiri, lalu kita gunakan hipotesis induksi untuk menerima bentuk yang berada di ruas kanan.
   
   Sehingga pada Langkah 2 ini kita telah membuktikan bahwa kalau P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Makara, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bundar nyata n.

Soal 6: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa 4n < 2ⁿ untuk semua bilangan bulat aktual n ≥ 5.
Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2ⁿ.

1. P(5) yakni pernyataan 4 ∙ 5 < 2⁵, atau 20 < 32, yang bernilai benar.
2. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk memperlihatkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan memakai hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita menerima
   
   Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita sudah melaksanakan langkah induksi.

Setelah kita mengambarkan Langkah 1 dan 2, kita mampu menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bundar kasatmata n ≥ 5.
Soal 7: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bundar aktual n ≥ 3.
Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan (n + 1)² < 2n².

1. Pernyataan P(3), yaitu
   
   dengan terang bernilai benar.
2. Anggap P(k): (k + 1)² < 2k² bernilai benar, kita harus memperlihatkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar, adalah [(k+1) + 1]² < 2(k + 1)². Untuk k ≥3, kita memperoleh
   
   Sehingga kita telah memperlihatkan kebenaran pernyataan kalau P(k) benar maka P(k + 1). Oleh sebab itu, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan lingkaran aktual n ≥ 3.

Soal 8: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa n! > 2ⁿ untuk semua bilangan lingkaran faktual n ≥ 4.
Pembahasan Misalkan P(n) ialah notasi untuk pernyataan n! > 2ⁿ.

1. Pertama kita harus memberikan bahwa P(4) benar. Padahal P(4) menyatakan bahwa
   
   Karena 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 2⁴ = 16, maka P(4) benar.
2. Kita anggap bahwa P(k): k! > 2^k benar. Kita akan tunjukkan P(k + 1): (k + 1)! > 2^{k + 1} juga bernilai benar.
   
   Sehingga pada langkah induksi ini kita dapat melihat bahwa kebenaran P(k) menyebabkan P(k + 1). Makara, dari Langkah 1 dan 2, kita mampu menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4.

Soal 9: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat nyata n ≥ 2.
Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi dari pernyataan 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n > √n.

1. Kita tunjukkan bahwa P(2) benar, yakni
   
   Karena 1/√1 + 1/√2 ≈ 1,707 dan √2 ≈ 1,414 maka P(2) bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar maka kita menemukan hipotesis induksi mirip berikut.
   
   Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan menggunakan hipotesis tersebut. P(k + 1) menyatakan bahwa
   
   Dengan memakai hipotesis induksi, kita ubah bentuk ruas kiri di atas menjadi bentuk yang ada di ruas kanan. Untuk k ≥ 2,
   
   Sehingga kita telah memberikan bahwa jikalau P(k) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan memakai Prinsip Induksi Matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan lingkaran n ≥ 2.

Soal 10: Membuktikan Faktor
Buktikan bahwa 3 ialah aspek 4ⁿ – 1 untuk semua bilangan lingkaran faktual n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar alasannya
   
   Sehingga, 3 adalah faktor bentuk di atas.
2. Anggap bahwa 3 yakni aspek dari 4^k – 1, kita mesti memberikan bahwa 3 ialah faktor dari 4^{k + 1} – 1. Untuk melakukan hal ini, kita tulis mirip berikut.
   
   Karena 3 yaitu faktor dari 4^k ∙ 3 dan 3 juga ialah aspek 4^k – 1, maka 3 ialah aspek dari 4^{k + 1} – 1. Dengan memadukan hasil pada Langkah 1 dan 2, kita mampu menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa 3 yakni faktor 4ⁿ – 1 untuk semua bilangan bulat kasatmata n.

 Soal 11: Membuktikan Suatu Faktorisasi
Buktikan bahwa x – y yakni aspek dari xⁿ – yⁿ untuk semua bilangan bulat faktual n. [Petunjuk: x^{k + 1} – y^{k + 1} = x^k(x – y) + (x^k – y^k)y.]
Pembahasan

1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar alasannya
   
   Sehingga x – y adalah aspek dari bentuk di atas.
2. Anggap bahwa x – y merupakan faktor dari x^k – y^k untuk sebarang bilangan bulat konkret k. Kita harus menunjukkan bahwa x – y merupakan faktor dari x^{k + 1} – y^{k + 1}. Perhatikan bahwa
   
   Karena x – y aspek dari x – y dan x^k – y^k (menurut hipotesis induksi), maka kita mampu menyimpulkan bahwa x – y ialah faktor dari x^{k + 1} – y^{k + 1}. Kaprikornus, kita mampu menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa x – y yakni aspek dari xⁿ – yⁿ untuk semua bilangan lingkaran positif n.

Soal 12: Membuktikan Faktor
Buktikan bahwa salah satu aspek dari (n³ + 3n² +2n) ialah 3 untuk semua bilangan lingkaran positif n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1, bentuk di atas menjadi
   
   Sehingga benar bahwa 3 merupakan salah satu aspek dari bentuk tersebut.
2. Anggap bahwa, untuk sebarang bilangan lingkaran positif k, 3 ialah salah satu faktor dari (k³ + 3k² +2k). Kita harus menunjukkan bahwa 3 juga ialah faktor dari (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Pertama kita tulis (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1) seperti berikut.
   
   Karena 3 merupakan aspek dari k³ + 3k² + 2k dan 3(k² + 3k + 2), maka 3 ialah aspek dari (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Makara, dengan menggunakan induksi matematika kita mampu menyimpulkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari (n + 1)³ + 3(n + 1)² + 2(n + 1) untuk semua bilangan bulat faktual n.

Soal 13: Membuktikan Faktor
Buktikan bahwa untuk semua bilangan lingkaran faktual n, salah satu aspek dari 2^{2n + 1} + 1 yakni 3.
Pembahasan

1. Untuk n = 1 bentuk di atas menjadi
   
   Sehingga, benar bahwa 3 merupakan salah satu aspek dari 9.
2. Kita anggap bahwa untuk sebarang bilangan bundar faktual k, Salah satu faktor 2^{2k + 1} + 1 ialah 3. Sekarang kita akan menawarkan bahwa 3 merupakan salah satu aspek 2^{2(k + 1) + 1} + 1.
   
   Karena 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk-bentuk 3 ∙ 2^{2k + 1} dan 2^{2k + 1} + 1 maka 3 yaitu aspek dari 2^{2(k + 1) + 1} + 1. Jadi kita mampu menyimpulkan dengan memakai induksi matematika bahwa salah satu aspek dari 2^{2n + 1} + 1 adalah 3.

 Menemukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan
Untuk memperoleh rumus suku ke-n dari suatu barisan, perhatikan isyarat berikut.

1. Hitung beberapa suku pertama dari barisan yang diberikan. Biasanya sungguh membantu jika kita menulis suku-suku tersebut ke dalam bentuk sederhana dan bentuk faktor.
2. Cobalah untuk memperoleh acuan dari suku-suku yang sudah kita hitung dan tulis rumus suku ke-n barisan tersebut. Rumus ini ialah hipotesis atau konjektur kita. Mungkin kita perlu mencoba untuk menjumlah satu atau dua suku selanjutnya dalam barisan tersebut untuk menguji hipotesis kita.

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan hipotesis yang kita dapatkan.

---

Soal 14: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut lalu buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.

Pembahasan Kita mulai dengan menuliskan beberapa penjumlahan pertama.

Dari barisan ini, tampak bahwa rumus penjumlahan k suku pertama adalah

Untuk menunjukan kebenaran hipotesis ini, kita gunakan induksi matematika. Perhatikan bahwa kita sudah menguji rumus ini untuk n = 1, sehingga kita mulai dengan menilai bahwa rumus tersebut benar untuk n = k dan menjajal untuk menawarkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Jadi, menurut induksi matematika hipotesis tersebut benar.
Soal 15: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut lalu buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.

Pembahasan Kita tulis beberapa penjumlahan pertama sebagai berikut.

Berdasarkan contoh di atas, kita dapat melihat bahwa rumus jumlah k suku pertama adalah

Kita gunakan induksi matematika untuk membuktikan konjektur tersebut. Karena kita sudah menunjukkan kebenaran rumus tersebut untuk n = 1, kita mulai pembuktian ini dengan menganggap bahwa rumus ini benar untuk n = k, dan mencoba untuk memberikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Kaprikornus, menurut induksi matematika konjektur kita tersebut benar.
Soal 16: Membuktikan Keterbagian
Gunakan induksi matematika untuk menawarkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat aktual n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1,
   
   yang sangat terperinci habis dibagi 4.
2. Kita anggap 5^k – 1 habis dibagi 4 untuk sebarang bilangan bulat faktual k. Akan kita tunjukkan 5^{k + 1} – 1 juga habis dibagi 4.
   
   Karena 4 ∙ 5^k dan 5^k – 1 habis dibagi 4 maka 5^{k + 1} – 1 habis dibagi 4. Makara, kita mampu menyimpulkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bundar faktual n.

Soal 17: Bilangan Ganjil
Buktikan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bundar kasatmata n.
Pembahasan

1. Untuk n = 1,
   
   merupakan bilangan ganjil.
2. Kita anggap untuk sebarang bilangan bundar nyata k, k² – k + 41 ialah bilangan ganjil. Selanjutnya kita harus memperlihatkan bahwa (k + 1)² – (k + 1) + 41 yakni bilangan ganjil.
   
   Karena k² – k + 41 yaitu bilangan ganjil dan 2k ialah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut, adalah (k + 1)² – (k + 1) + 41 ialah bilangan ganjil. Kaprikornus, dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat meyimpulkan bahwa n² – n + 41 ialah bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 18: Membuktikan Keterbagian
Buktikan bahwa 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan lingkaran kasatmata n.
Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan “ 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8.”

1. Pertama kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena
   
   yang habis dibagi 8, maka P(1) terbukti benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita menyatakan bahwa 3^2k – 1 habis dibagi 8. Selanjutnya kita akan tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.
   
   Karena 8 ∙ 3^2k dan 3^2k – 1 habis dibagi 8 maka 3^{2(k + 1)} – 1 habis dibagi 8. Jadi dengan memakai induksi matematika kita mampu menyimpulkan bahwa 32n – 1 habis dibagi dengan 8 untuk semua bilangan bulat faktual n.

 Prinsip Induksi Matematika Kuat
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan lingkaran n, dan misalkan a dan b adalah bilangan lingkaran sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

1. P(a), P(a + 1), …, dan P(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar)
2. Untuk sebarang bilangan lingkaran k ≥ b, bila P(i) benar untuk semua bilangan bundar i mulai a sampai k, maka P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, P(n) benar. (Asumsi bahwa P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a hingga k disebut selaku hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa P(a), P(a + 1), …, P(k) seluruhnya bernilai benar.)

---

Pada contoh selanjutnya kita akan mencoba untuk menerangkan suatu teorema keterbagian oleh bilangan prima. Teorema ini menyatakan bahwa semua bilangan lingkaran yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
Soal 19: Keterbagian oleh Bilangan Prima
Buktikan bahwa sebarang bilangan bundar yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan: “Untuk semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.”

1. Pertama, kita tunjukkan bahwa P(2) bernilai benar. Karena 2 habis dibagi 2 dan 2 adalah bilangan prima, maka P(2): “2 habis dibagi oleh sebuah bilangan prima” bernilai benar.
2. Misalkan k yakni sebarang bilangan lingkaran dengan k ≥ 2 dan kita anggap bahwa i habis dibagi oleh sebuah bilangan prima untuk semua bilangan bundar i mulai dari 2 sampai k. Kita harus tunjukkan bahwa k + 1 juga habis dibagi bilangan prima.
   Kasus 1 (k + 1 yakni bilangan prima): Pada perkara ini k + 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima, ialah bilangan itu sendiri.
   Kasus 2 (k + 1 bukan bilangan prima): Pada masalah ini k + 1 = ab di mana a dan b yaitu bilangan lingkaran dengan 1 < a < k + 1 dan 1 < b < k + 1. Sehingga, dengan kata lain, 2 ≤ a ≤ k, dan menurut hipotesis induksi, a habis dibagi oleh sebuah bilangan prima p. Dan alasannya adalah k + 1 = ab, maka k + 1 habis dibagi a. Oleh alasannya itu, sebab k + 1 habis dibagi a dan a habis dibagi p, maka dengan keterbagian transitif, k + 1 habis dibagi oleh bilangan prima p.
   Jadi, dengan memakai induksi matematika berpengaruh kita dapat menyimpulkan bahwa semua bilangan lingkaran n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Soal 20: Membuktikan Sifat Barisan dengan Induksi Matematika Kuat
Suatu barisan s₀, s₁, s₂, … didefinisikan selaku berikut:

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2.
Diduga bahwa untuk setiap bilangan bundar n ≥ 0, suku ke-n barisan ini mempunyai nilai sama dengan 5ⁿ – 1. Dengan kata lain, prasangka ini menyatakan bahwa semua suku barisan tersebut menyanggupi persamaan s_n = 5ⁿ – 1. Buktikan bahwa dugaan ini benar.
Pembahasan Misalkan s₀, s₁, s₂, … adalah barisan yang didefinisikan selaku s₀ = 0, s₁ = 4, dan s_k = 6a_{k – 1} – 5a_{k – 2} untuk semua bilangan lingkaran k ≥ 2, dan misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Kita akan memakai induksi matematika kuat untuk pertanda bahwa untuk semua bilangan bulat n ≥ 0, P(n) bernilai benar.

1. Untuk menunjukan bahwa P(0) dan P(1) benar, kita harus menawarkan bahwa
   
   Akan namun, sesuai definisi barisan s₀, s₁, s₂, …, kita mempunyai s₀ = 0 dan s₁ = 4. Karena 5⁰ – 1 = 1 – 1 = 0 dan 5¹ – 1 = 4, nilai-nilai s₀ dan s₁ sama dengan nilai-nilai yang diberikan oleh rumus yang diberikan.
2. Misalkan k yakni sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 1 dan anggap bahwa s_i = 5ⁱ – 1 untuk semua bilangan bundar i dengan 0 ≤ i ≤ k. Kita mesti menunjukkan bahwa
   
   Akan tetapi karena k ≥ 1, kita dapatkan bahwa k + 1 ≥ 2, sehingga
   
   Sehingga kita telah memperlihatkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(i) dalam langkah induksi. Makara, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita mampu menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 21: Membuktikan Sifat Barisan
Misalkan a₁, a₂, a₃, … adalah barisan yang didefinisikan selaku berikut.

untuk semua bilangan lingkaran k ≥ 3. Buktikan bahwa a_n adalah bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan bahwa a_n adalah bilangan ganjil. Kita akan menerangkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bundar n ≥ 1.

1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) dan P(2) benar. Karena berdasarkan definisi barisan a₁, a₂, a₃, … nilai a₁ = 1 dan a₂ = 3 yang keduanya ialah bilangan ganjil, maka P(1) dan P(2) benar.
2. Untuk sebarang bilangan lingkaran k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) bernilai benar untuk 1 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita ialah bahwa a_i merupakan bilangan ganjil. Kita akan memakai ini untuk menunjukkan bahwa P(k +1) benar, yaitu a_{k + 1} juga ialah bilangan ganjil. Perhatikan bahwa
   
   Menurut hipotesis induksi, a_{k – 1} dan a_k ialah bilangan ganjil. Padahal 2a_k ialah bilangan genap. Hasilnya, penjumlahan bilangan ganjil dan bilangan genap, a_{k – 1} + 2a_k, adalah sebuah bilangan ganjil. Sehingga P(k + 1) bernilai benar. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan lingkaran n ≥ 1.

Soal 22: Membuktikan Sifat Barisan
Misalkan b₀, b₁, b₂, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bundar k ≥ 2. Buktikan bahwa b_n = 3 ∙ 2ⁿ + 2 ∙ 5ⁿ untuk semua bilangan bundar n ≥ 0.
Pembahasan Misalkan P(n) yakni pernyataan yang menyatakan bahwa

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

1. Pertama, akan kita tunjukkan bahwa P(0) dan P(1) benar, adalah
   
   Sesuai definisi, b₀ = 5 dan b₁ = 16. Sedangkan 3 ∙ 2⁰ + 2 ∙ 5⁰ = 3 + 2 = 5 dan 3 ∙ 2¹ + 2 ∙ 5¹ = 6 + 10 = 16. Sehingga nilai-nilai b0 dan b1 sama dengan nilai-nilai yang diperoleh dari rumus yang diberikan. Oleh alasannya adalah itu, P(0) dan P(1) benar.
2. Untuk sebarang bilangan bundar k ≥ 1, misalkan P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita yakni
   
   untuk semua bilangan bundar 0 ≤ i ≤ k. Selanjutnya kita akan memperlihatkan bahwa P(k + 1) benar, yakni
   
   Karena k ≥ 1 maka k + 1 ≥ 2, dan kita mampu menuliskan
   Sehingga kita sudah pertanda bahwa kalau P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan induksi matematika besar lengan berkuasa, kita mampu menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bundar n ≥ 0.

Soal 23: Membuktikan Sifat Barisan
Misalkan c₀, c₁, c₂, … yaitu barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan c_n ≤ 3ⁿ untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Pembahasan Misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan lingkaran n ≥ 0.

1. Pertama kita akan tunjukkan bahwa P(0), P(1), dan P(3) benar. Sesuai definisi barisan tersebut, c₀ = 1, c₁ = 2, dan c₂ = 3, kita mampu melihat bahwa c₀, c₁, dan c₂ secara berturut-turut kurang dari sama dengan 3⁰ = 1, 3¹ = 3, 3² = 9. Sehingga P(0), P(1), dan P(2) bernilai benar.
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita yakni
   
   untuk 0 ≤ i ≤ k. Dengan memakai hipotesis ini kita akan menawarkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Untuk k ≥ 2 yang menyebabkan k + 1 ≥ 3, kita mendapatkan
   
   Sehingga kita sudah memperlihatkan bahwa P(i) benar maka P(k + 1) benar. Kaprikornus, menurut Langkah 1 dan 2 kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan lingkaran n ≥ 0.

 Soal 24: Induksi Matematika Kuat
Suatu permainan memiliki aturan bahwa dua pemain dalam permainan tersebut secara bergiliran mengambil sejumlah batang korek api yang dia mau dari satu dari dua kemasan korek api. Pemain yang sukses mengambil batang korek api terakhir ditetapkan sebagai pemenang permainan ini. Tunjukkan bahwa kalau dua kemasan korek api tersebut menampung batang korek api dengan jumlah yang sama, pemain kedua senantiasa mampu menjadi pemenang dalam permainan ini.

Pembahasan Misalkan n adalah banyaknya batang korek api dalam masing-masing kemasan. Kita akan gunakan induksi matematika untuk membuktikan P(n), yang menyatakan bahwa pemain kedua dapat mengungguli permainan kalau mula-mula terdapat n batang korek api dalam masing-masing bungkus.

1. Ketika n = 1, pemain pertama cuma mempunyai satu pilihan, yakni mengambil satu batang korek api dari salah satu kemasan, dan meninggalkan satu bungkus dengan satu batang korek api, yang dapat diambil oleh pemain kedua untuk mengungguli pertarungan.
2. Hipotesis induksi kita adalah pernyataan P(i) benar untuk semua i dengan 1 ≤ i ≤ k, yaitu fikiran bahwa pemain kedua mampu senantiasa menang bila terdapat i batang korek, di mana 1 ≤ i ≤ k, dalam masing-masing bungkus korek api. Kita mesti menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, adalah bahwa pemain kedua dapat memenangkan permainan saat mula-mula terdapat k + 1 batang korek api dalam masing-masing bungkus, yang menurut pikiran bahwa P(i) benar untuk i = 1, 2, 3, …, k. Sehingga misalkan terdapat k + 1 batang korek api di dalam masing-masing kemasan pada awal permainan dan misalkan pemain pertama mengambil sejumlah r batang korek api (1 ≤ r ≤ k) dari salah satu kemasan, dan menyisakan k + 1 – r batang korek api dalam bungkus tersebut. Dengan mengambil batang korek api dengan jumlah yang serupa dari kemasan yang lain, pemain kedua menciptakan kondisi di mana terdapat dua kemasan yang masing-masing memiliki k + 1 – r batang korek api. Karena 1 ≤ k + 1 – r ≤ k, kini kita dapat menggunakan hipotesis induksi untuk menyimpulkan bahwa pemain kedua selalu mampu mengungguli permainan. Dan kalau pemain pertama mengambil sejumlah k + 1 batang korek api dari satu bungkus, pemain kedua mampu memenangkan permainan dengan mengambil semua sisa batang korek api dalam bungkus lainnya.

Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika berpengaruh bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Soal 25: Induksi Matematika Kuat
Buktikan bahwa bea pos sejumlah Rp 12.000,00 atau lebih mampu dibuat dengan memakai perangko seharga Rp 4.000,00 dan perangko seharga Rp 5.000,00.

Pembahasan Misalkan P(n) yakni pernyataan yang menyatakan bahwa bea pos dengan harga n ribu rupiah dapat dibentuk dengan menggunakan perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00.

1. Kita dapat membentuk bea pos sejumlah Rp 12.000,00, Rp 13.000,00, Rp 14.000,00 dan Rp 15.000,00 secara berturut-turut dengan menggunakan tiga perangko seharga Rp 4.000,00, dua perangko seharga Rp 4.000,00 dan satu perangko seharga Rp 5.000,00, satu perangko seharga Rp 4.000,00 dan dua perangko seharga Rp 5.000,00, dan tiga perangko seharga Rp 5.000,00. Hal ini menawarkan bahwa P(12), P(13), P(14), dan P(15) benar.
2. Hipotesis induksi kita yaitu bahwa pernyataan P(i) benar untuk 12 ≤ i ≤ k, di mana k ialah bilangan bulat dengan k ≥ 15. Dengan kata lain kita dapat membentuk bea pos sejumlah i ribu rupiah, di mana 12 ≤ i ≤ k. Kita mesti memberikan bahwa P(k + 1) benar, ialah bahwa kita dapat membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah. Dengan memakai hipotesis induksi, kita dapat menganggap bahwa P(k – 3) benar karena k – 3 ≥ 12, yakni kita dapat membentuk bea pos sejumlah k – 3 ribu rupiah dengan memakai perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00. Untuk membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah, kita cuma perlu untuk memperbesar perangko seharga Rp 4.000,00 lainnya terhadap bea pos yang berguna k – 3 ribu rupiah tersebut. Sehingga, kita sudah menawarkan bahwa kalau hipotesis induksi kita benar maka P(k + 1) juga benar.

Karena kita sudah melakukan Langkah 1 dan 2 pada induksi matematika berpengaruh, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 12.

sumber: https://yos3prens.wordpress.com