Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri. Rumus-rumus yang mau dipakai dalam penyelesaian turunan fungsi trigonometri ialah sebagai berikut: 1. Jika f(x) = sin x maka f'(x) = cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = -sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec²x
Tips
Setiap fungsi trigonometri yang hurufnya dimulai dengan abjad c, maka turunannya bernilai negatif
Setiap fungsi trigonometri yang hurufnya dimulai dengan abjad c, maka turunannya bernilai negatif
Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri
Soal 1
Turunan pertama fungsi y = cos (2x³ – x²) merupakan…..
A. y’ = sin (2x³ – x²)
B. y’ = -sin (2x³ – x²)
C. y’ = (6x² – 2x) cos (2x³ – x²)
D. y’ = (6x² – 2x) sin (2x³ – x²)
E. y’ = -(6x² – 2x) sin (2x³ – x²)
Pembahasan:
y = cos (2x³ – x²)
Misalkan:
u(x) = 2x³ – x² maka u'(x) = 6x² – 2x
y = cos u(x)
y’ = -sin u(x) . u'(x)
y’ = -sin (2x³ – x²) . (6x² – 2x)
y’ = -(6x² – 2x).sin(2x³ – x²)
(JAWABAN: E)
Misalkan:
u(x) = 2x³ – x² maka u'(x) = 6x² – 2x
y = cos u(x)
y’ = -sin u(x) . u'(x)
y’ = -sin (2x³ – x²) . (6x² – 2x)
y’ = -(6x² – 2x).sin(2x³ – x²)
(JAWABAN: E)
Soal 2
Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx = …..
A. 2x sin 3x + 2x² cos x
B. 2x sin 3x + 3x² cos 3x
C. 2x sin x + 3x² cos x
D. 3x cos 3x + 2x² sin x
E. 2x² cos x + 3x sin 3x
Pembahasan:
y = x² sin 3x
Misalkan:
u(x) = x² maka u'(x) = 2x
v(x) = sin 3x maka v'(x) = 3 cos 3x
y = u(x) . v(x)
y’ = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
= 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
= 2x sin 3x + 3x²cos 3x
(JAWABAN: B)
Misalkan:
u(x) = x² maka u'(x) = 2x
v(x) = sin 3x maka v'(x) = 3 cos 3x
y = u(x) . v(x)
y’ = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
= 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
= 2x sin 3x + 3x²cos 3x
(JAWABAN: B)
Soal 3
Diketahui fungsi F(x) = sin²(2x + 3) dan turunan pertama dari F adalah F’. Maka F'(x) =…..
A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
B. -2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
C. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
D. -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
E. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
Pembahasan:
F(x) = sin²(2x + 3)
Misalkan:
u(x) = sin (2x + 3), maka:
u'(x) = cos (2x + 3) . 2
= 2cos (2x + 3)
(2 berasal dari turunan (2x + 3))
F(x) = [u(x)]²
F'(x) = 2[u(x)]¹ . u'(x)
= 2sin (2x + 3) . 2cos (2x + 3)
= 4sin (2x + 3) cos (2x + 3)
(JAWABAN: A)
Misalkan:
u(x) = sin (2x + 3), maka:
u'(x) = cos (2x + 3) . 2
= 2cos (2x + 3)
(2 berasal dari turunan (2x + 3))
F(x) = [u(x)]²
F'(x) = 2[u(x)]¹ . u'(x)
= 2sin (2x + 3) . 2cos (2x + 3)
= 4sin (2x + 3) cos (2x + 3)
(JAWABAN: A)
Soal 4
Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f yakni f’ maka f'(x) = …..
A. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
B. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
C. -2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
D. -6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
E. -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
Pembahasan:
f(x) = sin³ (3 – 2x)
Misalkan:
u(x) = sin (3 – 2x), maka:
u'(x) = cos (3 – 2x) . (-2)
u'(x) = -2cos (3 – 2x)
(-2 berasal dari turunan (3-2x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 – 2x) . -2cos (3 – 2x)
= -6 sin²(3 – 2x) . cos (3 – 2x)
= -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 – 2x)
= -3 . sin (3 – 2x). 2 sin (3 – 2x).cos (3 – 2x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
= -3 sin (3 – 2x) sin 2(3 – 2x)
= -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(JAWABAN: E)
Misalkan:
u(x) = sin (3 – 2x), maka:
u'(x) = cos (3 – 2x) . (-2)
u'(x) = -2cos (3 – 2x)
(-2 berasal dari turunan (3-2x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 – 2x) . -2cos (3 – 2x)
= -6 sin²(3 – 2x) . cos (3 – 2x)
= -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 – 2x)
= -3 . sin (3 – 2x). 2 sin (3 – 2x).cos (3 – 2x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
= -3 sin (3 – 2x) sin 2(3 – 2x)
= -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(JAWABAN: E)
Soal 5
Turunan pertama dari F(x) = sin³ (5 – 4x) ialah F'(x) = …..
A. 12 sin² (5 – 4x) cos (5 – 4x)
B. 6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
C. -3 sin² (5 – 4x) cos (5 – 4x)
D. -6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
E. -12 sin² (5 – 4x) cos (10 – 8x)
Pembahasan:
F(x) = sin³ (5 – 4x)
Misalkan:
u(x) = sin (5 – 4x), maka:
u'(x) = cos (5 – 4x) . (-4)
u'(x) = -4cos (5 – 4x)
(-4 berasal dari turunan (5 – 4x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(5 – 4x) . -4cos (5 – 4x)
= -12 sin²(5 – 4x) . cos (5 – 4x)
= -6 . 2 sin (5 – 4x).sin (5 – 4x).cos (5 – 4x)
= -6 . sin (5 – 4x). 2 sin (5 – 4x).cos (5 – 4x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
= -6 sin (5 – 4x)) sin 2(5 – 4x)
= -6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
(JAWABAN: D)
Pembahasan:
F(x) = sin³ (5 – 4x)
Misalkan:
u(x) = sin (5 – 4x), maka:
u'(x) = cos (5 – 4x) . (-4)
u'(x) = -4cos (5 – 4x)
(-4 berasal dari turunan (5 – 4x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(5 – 4x) . -4cos (5 – 4x)
= -12 sin²(5 – 4x) . cos (5 – 4x)
= -6 . 2 sin (5 – 4x).sin (5 – 4x).cos (5 – 4x)
= -6 . sin (5 – 4x). 2 sin (5 – 4x).cos (5 – 4x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
= -6 sin (5 – 4x)) sin 2(5 – 4x)
= -6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
(JAWABAN: D)
Soal 6
Jika f(x) = $\frac sin x + cos x sin x $, sin x ≠ 0 dan f’ yakni turunan f, maka f'($\frac π 2 $) = …..
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
f(x) = $\frac sin x + cos x sin x $
Misalkan:
* u(x) = sin x + cos x , maka:
u'(x) = cos x – sin x
* v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x
f(x) = $\frac u(x) v(x) $
f'(x) = $\frac u'(x).v(x)-u(x).v'(x) [v(x)]^ 2 $
= $\frac (cos x – sin x).(sin x)-(sin x + cos x).(cos x) [sin x]^ 2 $
f'($\frac π 2 $) = $\frac (cos \frac π 2 – sin \frac π 2 ).(sin \frac π 2 )-(sin \frac π 2 + cos \frac π 2 ).(cos \frac π 2 ) [sin \frac π 2 ]^ 2 $
f'($\frac π 2 $) = $\frac (0 – 1).(1)-(1 + 0).(0) (1)^ 2 $
f'($\frac π 2 $) = $\frac -1 – 0 1 $
f'($\frac π 2 $) = -1
(JAWABAN: B)
Misalkan:
* u(x) = sin x + cos x , maka:
u'(x) = cos x – sin x
* v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x
f(x) = $\frac u(x) v(x) $
f'(x) = $\frac u'(x).v(x)-u(x).v'(x) [v(x)]^ 2 $
= $\frac (cos x – sin x).(sin x)-(sin x + cos x).(cos x) [sin x]^ 2 $
f'($\frac π 2 $) = $\frac (cos \frac π 2 – sin \frac π 2 ).(sin \frac π 2 )-(sin \frac π 2 + cos \frac π 2 ).(cos \frac π 2 ) [sin \frac π 2 ]^ 2 $
f'($\frac π 2 $) = $\frac (0 – 1).(1)-(1 + 0).(0) (1)^ 2 $
f'($\frac π 2 $) = $\frac -1 – 0 1 $
f'($\frac π 2 $) = -1
(JAWABAN: B)
Soal 7
Turunan fungsi y = tan x yaitu…..
A. cotan x
B. cos² x
C. sec² x + 1
D. cotan² x + 1
E. tan²x + 1
Pembahasan:
y = tan x
y = $\frac sin x cos x $
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
v(x) = cos x, maka v'(x) = -sin x
y = $\frac u(x) v(x) $
y = $\frac u'(x).v(x)-u(x).v'(x) [v(x)]^ 2 $
= $\frac cos x.cos x-sin x . (-sin x) [cos x]^ 2 $
= $\frac cos^ 2 x+ sin^ 2 x cos^ 2 x $
= $\frac sin^ 2 x+ cos^ 2 x cos^ 2 x $
= $\frac sin^ 2 x cos^ 2 x $ + $\frac cos^ 2 x cos^ 2 x $
y = $\frac sin x cos x $
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
v(x) = cos x, maka v'(x) = -sin x
y = $\frac u(x) v(x) $
y = $\frac u'(x).v(x)-u(x).v'(x) [v(x)]^ 2 $
= $\frac cos x.cos x-sin x . (-sin x) [cos x]^ 2 $
= $\frac cos^ 2 x+ sin^ 2 x cos^ 2 x $
= $\frac sin^ 2 x+ cos^ 2 x cos^ 2 x $
= $\frac sin^ 2 x cos^ 2 x $ + $\frac cos^ 2 x cos^ 2 x $
= $(\frac sin x cos x )^ 2 $ + 1
= (tan x)² + 1
= tan²x + 1
(JAWABAN: E)
Soal 8
Jika f(x) = a tan x + bx dan f'($\frac π 4 $) = 3, f'($\frac π 3 $) = 9, maka (a + b) = …..
A. 0
B. 1
C. $\frac π 2 $
D. 2
E. π
Pembahasan:
f(x) = a tan x + bx
f'(x) = a . $\frac 1 cos^ 2 x $ + b
f'($\frac π 4 $) = a . $\frac 1 cos^ 2 \frac π 4 $ + b
<=> 3 = a . $\frac 1 ((√2)/2)^ 2 $ + b
<=> 3 = 2a + b …………(1)
f'($\frac π 3 $) = a . $\frac 1 cos^ 2 \frac π 3 $ + b
<=> 9 = a . $\frac 1 (½)^ 2 $ + b
<=> 9 = 4a + b…………..(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
2a + b = 3
4a + b = 9 –
<=> -2a = -6
<=> a = -6/-2
<=> a = 3
Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan (1), diperoleh:
2(3) + b = 3
6 + b = 3
b = 3 – 6
b = -3
Kaprikornus, a + b = 3 + (-3) = 0
(JAWABAN: A)
2a + b = 3
4a + b = 9 –
<=> -2a = -6
<=> a = -6/-2
<=> a = 3
Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan (1), diperoleh:
2(3) + b = 3
6 + b = 3
b = 3 – 6
b = -3
Kaprikornus, a + b = 3 + (-3) = 0
(JAWABAN: A)
Soal 9
Jika r = $\sqrt sin θ $, maka dr/dθ = …..
A. $\frac 1 2\sqrt sin θ $
B. $\frac cos θ 2sin θ $
C. $\frac cos θ 2\sqrt sin θ $
D. $\frac -sin θ 2cos θ $
E. $\frac 2cos θ \sqrt sin θ $
Pembahasan:
Misalkan:
u = sin θ, maka u’ = cos θ
r = $\sqrt sin θ $
r = $\sqrt u $
r = $(u)^ ½ $
r’ = $\frac 1 2√u $ . u’
r’ = $\frac 1 2\sqrt sin θ $ . cos θ
r’ = $\frac cos θ 2\sqrt sin θ $
(JAWABAN: C)
C. $\frac cos θ 2\sqrt sin θ $
D. $\frac -sin θ 2cos θ $
E. $\frac 2cos θ \sqrt sin θ $
Pembahasan:
Misalkan:
u = sin θ, maka u’ = cos θ
r = $\sqrt sin θ $
r = $\sqrt u $
r = $(u)^ ½ $
r’ = $\frac 1 2√u $ . u’
r’ = $\frac 1 2\sqrt sin θ $ . cos θ
r’ = $\frac cos θ 2\sqrt sin θ $
(JAWABAN: C)
Soal 10
Jika f(x) = -(cos² x – sin²x), maka f'(x) yaitu…..
A. 2(sin x – cos x)
B. 2(cos x – sin x)
C. sin x. cos x
D. 2sin x cos x
E. 4sin x cos x
Pembahasan:
f(x) = -(cos² x – sin²x)
f(x) = -((1 – sin²x) – sin²x)
f(x) = -(1 – 2sin²x)
f(x) = 2sin²x – 1
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
f(x) = 2[u(x)]² – 1
f'(x) = 4 . u(x)¹. u'(x) – 0
f'(x) = 4 sin x cos x
(JAWABAN: E)
f(x) = -(cos² x – sin²x)
f(x) = -((1 – sin²x) – sin²x)
f(x) = -(1 – 2sin²x)
f(x) = 2sin²x – 1
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
f(x) = 2[u(x)]² – 1
f'(x) = 4 . u(x)¹. u'(x) – 0
f'(x) = 4 sin x cos x
(JAWABAN: E)
Demikian artikel “Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri” kali ini mudah-mudahan dengan beberapa soal dan pembahasan di atas mampu memudahkan anda menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri.