Soal dan Pembahasan Teorema Faktor Suku Banyak
Soal ❶
Suku banyak f(x) = 3x³ – 13x² + 8x + 12 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor-aspek linearnya menjadi…..
A. f(x) = (x + 2)(3x + 2)(x – 3)
B. f(x) = (x – 2)(3x – 2)(x – 3)
C. f(x) = (x – 2)(3x + 2)(x – 3)
D. f(x) = (x + 2)(3x – 2)(x + 3)
E. f(x) = (x + 2)(3x + 2)(x + 3)
Pembahasan:
f(x) = 3x³ – 13x² + 8x + 12, suku tetapnya yakni a₀ = 12
Nilai-nilai k yang mungkin ialah aspek bulat dari a₀ = 12, yaitu ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
* Untuk k = 1, diperoleh:
f(1) = 3(1)³ – 13(1)² + 8(1) + 12
= 3 – 13 + 8 + 12
= 10
Karena f(1) = 10 ≠ 0, maka (x – 1) bukan faktor dari f(x).
* Untuk k = -1,diperoleh:
f(-1) = 3(-1)³ – 13(-1)² + 8(-1) + 12
= -3 – 13 – 8 + 12
= -12
Karena f(-1) ≠ 0, maka (x + 1) bukan faktor dari f(x).
* Untuk k = 2, diperoleh:
f(2) = 3(2)³ – 13(2)² + 8(2) + 12
= 24 – 52 + 16 + 12
= 0
Karena f(2) = 0, maka (x – 2) faktor dari f(x).
Faktor-faktor f(x) yang lain mampu ditentukan dari hasil bagi suku banyak f(x) oleh (x – 2). Dengan memakai metode sintetik, maka:
Hasil baginya ialah 3x² – 7x – 6 dan dapat difaktorkan menjadi (3x + 2)(x -3).
Jadi, suku banyak f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian aspek-faktor linear selaku :
f(x) = (x – 2)(3x + 2)(x – 3)
(JAWABAN: C)
Soal ❷
Salah satu faktor dari (2x³ + px² – 10x – 24) ialah (x + 4). Faktor-faktor lainnya adalah …..
A. (2x + 1) dan (x + 2)
B. (2x + 3) dan (x + 2)
C. (2x – 3) dan (x + 2)
D. (2x – 3) dan (x – 2)
E. (2x + 3) dan (x – 2)
Pembahasan:
Misalkan f(x) = 2x³ + px² – 10x – 24
Karena (x + 4) adalah aspek dari f(x), maka f(-4) = 0.
f(-4) = 0
<=> 2(-4)³ + p(-4)² – 10(-4) – 24 = 0
<=> -128 + 16p + 40 – 24 = 0
<=> -112 + 16p = 0
<=> 16p = 112
<=> p = 112/16
<=> p = 7
Dengan demikian, f(x) = 2x³ + 7x² – 10x – 24
Faktor-aspek f(x) yang lain mampu ditentukan dari hasil bagi suku banyak f(x) oleh (x + 4). Dengan menggunakan metode sintetik, maka:
Hasil baginya yakni 2x² – x – 6 dan mampu difaktorkan menjadi (2x + 3)(x -2).
(JAWABAN: E)
Soal ❸
Salah satu faktor dari (2x³ – 5x² – px + 3) adalah (x + 1). Faktor linear yang lain dari suku banyak tersebut ialah …..
A. (x – 2) dan (x – 3)
B. (x + 2) dan (2x – 1)
C. (x + 3) dan (x + 2)
D. (2x + 1) dan (x – 2)
E. (2x – 1) dan (x – 3)
Pembahasan:
Misalkan f(x) = 2x³ – 5x² – px + 3
Karena (x +1) yaitu faktor dari f(x), maka f(-1) = 0
f(-1) = 0
2(-1)³ – 5(-1)² – p(-1) + 3 = 0
<=> -2 – 5 + p + 3 = 0
<=> -4 + p = 0
<=> p = 4
Dengan demikian f(x) = 2x³ – 5x² – 4x + 3
Faktor-aspek f(x) yang lain dapat diputuskan dari hasil bagi suku banyak f(x) oleh (x + 1). Dengan memakai sistem sintetik, maka:
Hasil baginya yaitu 2x² – 7x + 3 dan dapat difaktorkan menjadi (2x – 1)(x – 3).
(JAWABAN: E)
Soal ❹
Salah satu faktor dari p(x) = x³ + kx² – x – 2 yaitu x + 2. Salah satu aspek linearnya dari p(x) yakni…..
A. x – 1
B. x – 2
C. x – 3
D. x + 3
E. x + 4
Pembahasan:
Karena (x + 2) yakni aspek dari p(x), maka p(-2) = 0.
p(-2) = 0
(-2)³ + k(-2)² – (-2) – 2 = 0
<=> -8 + 4k + 2 – 2 = 0
<=> 4k = 8
<=> k = 8/4
<=> k = 2
Dengan demikian p(x) = x³ + 2x² – x – 2.
Faktor-aspek f(x) yang lain mampu ditentukan dari hasil bagi suku banyak p(x) oleh (x + 2). Dengan menggunakan metode sintetik, maka:
Hasil baginya yakni x² – 1 dan dapat difaktorkan menjadi (x – 1)(x + 1).
Makara, salah satu aspek linear dari p(x) ialah (x – 1)
(JAWABAN: A)
Soal ❺
Suku banyak 6x³ + 13x² + qx + 12 memiliki faktor (3x – 1). Faktor linear lainnya yaitu…..
A. 2x – 1
B. 2x + 3
C. x – 4
D. x + 4
E. x + 2
Pembahasan:
Misalkan f(x) = 6x³ + 13x² + qx + 12
Karena (3x – 1) aspek dari f(x) maka f(⅓) = 0
f(⅓) = 0
6(⅓)³ + 13(⅓)² + q(⅓) + 12 = 0
6($\frac 1 27 $) + 13($\frac 1 9 $) + $\frac q 3 $ + 12 = 0
<=> $\frac 6 27 $ + $\frac 39 27 $ + $\frac 9q 27 $ = -12
<=> $\frac 6+39+9q 27 $ = -12
<=> 6 + 39 + 9q = -12 x 27
<=> 45 + 9q = -324
<=> 9q = -324 – 45
<=> 9q = -369
<=> q = -369/9
<=> q = -41
Dengan demikian f(x) = 6x³ + 13x² – 41x + 12
Faktor-faktor f(x) yang lain mampu diputuskan dari hasil bagi suku banyak p(x) oleh (3x – 1). Dengan menggunakan metode sintetik, maka:
Hasil baginya yaitu 6x² + 15x – 36 dan mampu difaktorkan menjadi 3(2x – 3)(x + 4).
Jadi, aspek linear yang lain yakni (x + 4).
(JAWABAN: D)
Soal ❻
Persamaan 2x³ + px² + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu yakni…..
A. -9
B. 2½
C. 3
D. 4½
E. 9
Pembahasan:
Misalkan f(x) = 2x³ + px² + 7x + 6
Karena x = 2 yaitu akar dari f(x), maka f(2) = 0 .
f(2) = 0
2(2)³ + p(2)² + 7(2) + 6 = 0
16 + 4p + 14 + 6 = 0
36 + 4p = 0
4p = -36
p = -36/4
p = -9
Dengan demikian f(x) = 2x³ – 9x² + 7x + 6.
Akar-akar f(x) yang lain mampu diputuskan dari hasil bagi suku banyak f(x) oleh (x – 2). Dengan menggunakan sistem sintetik, maka:
Hasil baginya ialah 2x² – 5x – 3 dan dapat difaktorkan menjadi (2x + 1)(x – 3).
Makara, suku banyak f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor-faktor linear selaku :
f(x) = (x – 2)(2x + 1)(x – 3) = 0
x₁ = 2, x₂ = -½, x₃ = 3
Jumlah ketiga akar = 2 + (-½) + 3 = 4½
(JAWABAN: D)