Polinomial

Polinomial atau yg biasa disebut pula selaku Suku banyak ialah sebuah bentuk dr suku-suku dgn nilai banyak yg disusun dr perubah variabel serta konstanta. Operasi yg dipakai hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian serta pangkat bilangan bulat tak negatif.

Adapun bentuk biasa dr Polinomial ini, yakni:

Bentuk Umum Polinomial: a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + . . . + a₁ x + a

Keterangan:

Dengan a_n , a_n-1 , …. , a₁ , a₀ € R koefisien atau konstanta

Polinom a_n ≠ 0 , serta n adalah bilangan bulat kasatmata.

Pangkat tertinggi dr x merupakan derajat polinomial. Sementara suku yg tak mengandung variable (a) disebut sebagai suku tetap (konstan).

Suatu polinomial dapat terlihat seperti berikut:

25x² + 19x – 06

Contoh lain dr bentuk polinomial yaitu:

• 3x
• x – 2
• -6y² – (½)x
• 3xyz + 3xy²z – 0.1xz – 200y + 0.5
• 512v⁵+ 99w⁵
• 5     (Konstanta ialah koefisien yg variabelnya memiliki pangkat 0, sehingga angka yaitu polinomial.)

Suatu polinomial dapat mempunyai:

• Variabel (ialah nilai yg mampu berganti, mirip x, y, z dlm suatu persamaan; boleh mempunyai lebih dr 1 variabel)
• Koefisien (yaitu konstanta yg mendampingi variabel)
• Konstanta (suatu nilai tetap serta tak berubah)
• Eksponen atau pangkat ialah pangkat dr variabel; bisa pula disebut sebagai derajat dr suatu polinomial.

Syarat Polinomial

Terdapat pula beberapa syarat sehingga sebuah persamaan mampu disebut selaku ‘polinomial’, diantaranya merupakan sebagai berikut:

• Variabel tak boleh mempunyai pangkat pecahan atau negatif.
• Variabel tak boleh masuk dlm sebuah persamaan trigonometri.

Polinomial & Bukan Polinomial

Berikut yaitu beberapa bentuk yg tidak termasuk ke dlm bentuk polinomial, diantaranya ialah selaku berikut:

• 3xy^-2  alasannya adalah pangkatnya negatif. Eksponen atau pangkat hanya boleh 0,1,2… .
• 2/(x+2) alasannya adalah membagi dgn variabel tak diperkenankan (pangkat penyebut yaitu negatif).
• 1/x alasannya adalah argumentasi yg sama ^.
• √x karena akar merupakan pangkat pecahan, yg tak diperkenankan.
• x cos x alasannya terdapat variabel x dlm fungsi trigonometri

Berikut yaitu hal yg diperbolehkan atau termasuk dlm bentuk polinomial, perhatikan baik-baik:

• x/2 dibolehkan, alasannya adalah boleh membagi dgn konstanta.
• √x²  boleh, alasannya adalah sesudag dijabarkan hasilnya tak terdapat pangkat pecahan.
• √2 boleh sebab yg diakar merupakan konstanta, bukan variabel.
• ½ x⁵ – (cos∏)x³ – (tan 60°)x – 1 boleh alasannya adalah fungsi trigonometri merupakan konstanta, serta tak terdapat variabel di dalamnya
• 

  bentuk di atas boleh, karena setelah dijabarkan akan menjadi:

  

  di mana tak terdapat variabel selaku penyebut atau variabel berpangkat negatif

Nilai Polinomial

Nilai polinomial f(x) untuk x=k atau f(k) mampu kita cari dgn menggunakan metode substitusi atau dgn skema Horner. Berikut rinciannya:

Cara subtitusi:

Dengan mensubtitusikan x = k ke dlm polinomial, sehingga akan menjadi:

f(x) = a_n kⁿ + a_n-1 k^n-1 + . . . + a₁ k + a

Cara denah horner:

Sebagai contoh:

(f(k) = x³ + bx² + cx + d sehingga: f(k) = ak³ + bk² + ck + d

xa³ + bx² + cx + d = (ak² + bk + c)k+d

= ((ak + b)k + c)k+d

Pembagian Polinomial

Secara biasa , pembagian dlm polinomial dapat dituliskan mirip di bawah ini:

Rumus: f(x) = g(x) h(x) + s(x)

Keterangan:

• f(x) merupakan suku banyak yg dibagi.
• g(x) merupakan suku banyak pembagi.
• h(x) merupakan suku banyak hasil bagi.
• s (x) merupakan suku banyak sisa.

Pembagian Polinomial Dengan Cara Horner

Pembagian suku banyak atau polinomial f(x) oleh (x-k) bisa kita kerjakan dgn menggunakan cara atau tata cara horner.

Cara ini mampu kita gunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yg bisa difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.

Caranya merupakan seabgai berikut:

• Tulis koefisiennya saja → harus runtut atau urut mulai dr koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … sampai konstanta (apabila terdapat variabel yg tak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Sebagai pola: untuk 4x³ – 1, koefisien-koefisiennya yakni 4, 0, 0, & -1 (untuk x³, x², x, & konstanta)

• Apabila koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus kita bagi kembali dgn koefisien derajat tertinggi P(x).
• Apabila pembagi bisa kita difaktorkan, maka:

  • Apabila pembagi bisa difaktorkan menjadi P₁ serta P₂, maka S(x) = P₁.S₂ + S₁
  • Apabila pembagi mampu difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁
  • Apabila pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ + P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁
  • dan begitu juga seterusnya.

Contoh soal menggunakan cara horner:

Soal 1.

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dgn P(x) = 2x² – x – 1

Jawab:

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P₁: 2x + 1 = 0 → x = –½

P₂: x – 1 = 0 → x = 1

Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

Koefisien Tak Tentu

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

Untuk pola soal di atas (soal no 1 pada cara horner), alasannya F(x) berderajat 3 serta P(x) berderajat 2, maka dr itu:

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Sehingga, contohnya H(x) = ax + b & S(x) = cx + d

Maka:

2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)

Ruas kanan menjadi:

= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d

= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)

Samakan koefisien ruas kiri & pula ruas kanan, sehingga menjadi:

x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

Sehingga hasil risikonya yakni:

H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

Rumus patokan yg harus kalian pahami ialah:

• Derajat H(x) =  Derajat F(x) – Derajat P(x)
• Derajat S(x) = Derajat P(x) – 1

Penjumlahan, Pengurangan & Perkalian Polinomial

Berikut ini akan kami berikan teladan soal polinomial pada opersai penjumlahan, pengurangan, & pula penghematan. Perhatikan baik-baik ya!!

Contoh soal:

Diketahui suku banyak f(x) serta g(x) ialah sebagai berikut:

• f(x) = 2x³ – x² + 5x – 10
• g(x) = 3x² – 2x + 8

Maka tentukanlah:

a) f(x) + g(x)

b) f(x) – g(x)

c) f(x) x g(x)

Jawab:

a) f(x) + g(x) = (2x³ – x² + 5x – 10) + (3x² – 2x + 8)

= 2x³ – x² + 3x² + 5x – 2x – 10 + 8

= 2x³ + 2x² + 3x – 2

b) f(x) – g(x) = (2x³ – x² + 5x – 10) – (3x² – 2x + 8)

= 2x³ – x² – 3x² + 5x + 2x – 10 – 8

= 2x³ – 4x²  + 7x – 18

c) f(x) x g(x) = (2x³ – x² + 5x – 10) × (3x² – 2x + 8)

= 2x³(3x² – 2x + 8) – x²(3x² – 2x + 8) + 5x(3x² – 2x + 8) – 10(3x² – 2x + 8)

= 2x⁵ – 4x⁴ + 16x³ – 3x⁴ + 2x³ – 8x²  + 15x³ – 10x² + 40x – 30x² + 20x – 80

= 2x⁵ – 7x⁴ + 33x³ – 48x² + 60x – 80

Bagaimana? Mudah bukan?

Teorema

Teorema ini dipakai untuk memilih akar persamaan dr pangkat lebih dr dua. Teorema terbagi menjadi dua macam, yakni teorema sisa & teorema aspek. Berikut penjelasannya.

Teorema Sisa

Misalnya f(x) dibagi dgn p(x) dgn hasil bagi h(x) serta sisa h(x), maka akan kita dapatkan korelasi:

f(x) = P(x) x H(x) x S(x)

Apabila f(x) berderajat n serta P(x) pembagi berderajat m, dgn m ≤ n , maka:

• H(x) berderajat (n – m)
• S(x) berderajat maksimum (m – 1)

Teorema untuk sisa merupakan selaku berikut:

1. 1. Apabila f(x) berderajat n dibagi dgn (x -k) maka sisanya adaah S = f(k). Sisa dr f(k) yaitu nilai suku banyak untuk x = k.
   2. Apabila f(x) berderajat n dibagi dgn (ax + b) maka sisanya yaitu S = f (-b/a). Sisa dr f (-b/a) merupakan nilai untuk x = -b/a.
   3. Pembagi berderajat m ≥ 2 yg mampu difaktorkan maka sisa berderajatnya yakni (m – 1).

Adapun rumus sisa yg biasa dipakai, yaitu:

s(x) = mx + n

Untuk lebih memahami uraian di atas, berikut akan kami berikan teladan soalnya:

Cohtoh soal

Soal 1.

Suatu suku banyak apabila dibagi oleh x + 2 bersisa -13 serta apabila dibagi x – 3 sisanya 7. Tentukan sisanya apabila suku banyak tersebut dibagi x² – x – 6!

Jawab:

Cara 1:

Rumus Sisa yakni: s(x) = mx + n, sehingga:

k(x) = x² – x – 6

k(x) = (x + 2) (x – 3)

Kita pahami jika dibagi oleh x + 2 maka akan bersisa -13 serta apabila dibagi x – 3 sisanya akan menjadi 7

Maka dr itu, k(-2) = -13 & k(3) = 7

Sehingga, kembalikan ke rumus Sisa, menjadi:

s(x) = mx + n

s(-2) = -2m + n = -13

s(3)  = 3m + n = 7

Kemudian kita pakai sistem eliminasi, caranya:

-2m + n = -13

3m + n = 7

-5m = -20

m = 4

Kemudian menggunakan tata cara substitusi, substitusikan ke persamaan:

12 + n = 7

n = -5

Kemudian kembalikan ke rumus s(x) = mx + n

Sehingga dimengerti Sisa Polinomial bila dibagi x² – x – 6 hasil nya 4x – 5.

Uraian singkat dr soal:

Polinominal 8x³ – 2x + 5 dibagi dgn x + 2 mempunyai sisa (S) berikut:

S = f(k) = 8x³ – 2x + 5

S = f(-2) = 8(-2)³ – 2(-2)² + 5

S = -67

Teorema Faktor

Sebuah suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) apabila F(k) = 0 (sisanya apabila dibagi dgn (x – k) hasilnya 0)

Catatan: apabila (x – k) merupakan faktor dr F(x) maka k disebut selaku akar dr F(x)

Tips

1. Untuk mencari akar dr sebuah suku banyak dgn cara Horner, bisa kita gunakan dgn cara mencoba-coba dgn angka dr aspek-aspek konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yg akan nantinya akan menawarkan sisa = 0.

   Sebagai pola:

   Untuk x³ – 2x² – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya ialah: ±1, ±2. Faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yaitu: ±1.

   Sehingga, angka-angka yg perlu untuk dicoba yaitu: ±1 & ±2 untuk 4x³ – 2x² – x + 2 = 0.

   Faktor-aspek konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4.

   Sehingga, angka-angka yg perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

2. Apabila jumlah koefisien suku banyak = 0, maka niscaya salah satu akarnya merupakan x = 1.
3. Apabila jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka niscaya salah satu akarnya merupakan x = –1.

Perhatikan acuan soal di bawah ini:

Tentukan penyelesaian dr x³ – 2x² – x + 2 = 0?

Jawab:

Faktor-aspek dr konstantanya yakni 2,  merupakan ±1 serta ±2 & aspek-aspek koefisien pangkat tertingginya, ialah 1, merupakan  ±1, sehingga angka-angka yg perlu dicoba: ±1 & ±2

Sebab jumlah semua koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 merupakan salah satu faktornya, sehingga:

Sehingga, x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1   x = 2   x = –1

Maka dr itu, mampu kita pahami himpunan penyelesaiannya: –1, 1, 2 .

Sifat Akar Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:

ax³ + bx² + cx + d = 0 akan memiliki akar-akar x₁, x₂, x₃

Dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a
• Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a
• Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃, x₄

Dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a
• Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ = c/a
• Jumlah 3 akar: x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₂.x₃.x₄ = – d/a
• Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

Pada persamaan berderajat 5:

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃, x₄, x₅

Dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = – b/a
• Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ + x₄.x₅ =c/a
• Jumlah 3 akar: x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₂.x₄.x₅ = – d/a
• Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄.x₅ = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita bisa menurunkan rumus yg sama untuk persamaan berderajat 6 & begitu juga seterusnya. (Amati pola:  –b/a, c/a, –d/a , e/a, …).

Pembagian spesial

Perhatikan gambar di bawah ini baik-baik:

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1.

Polinomial f(x) ÷ (x – 2) sisanya 24 serta f(x) ÷ (x + 5) sisanya 10. Maka f(x) tersebut dibagi x² + 3x – 10 sisanya yaitu…

a.    x + 34

b.    x – 34

c.    x + 10

d.    2x + 20

e.    2x – 20

Jawab:

Rumusnya yaitu P(x) = H(x) . Pembagi + (px + q)

Diketahui:

• f(x) ÷ (x – 2) sisa 24, maka:

f(x) = H(x)(x – 2) + 24

Kemudian subtitusikan x = 2, sehingga:

f(2) = H(2)(2 – 2) + (2p + q)

= 2p + q = 24 …. (i)

f(x) ÷(x + 5) sisa 10, sehingga:

f(x) = H(x)(x + 5) + 10

Dengan Subtitusikan x = -5, sehingga:

(f(-5) = H(-5)(-5 + 5) + (-p + q)

= -5p + q = 10 …. (ii)

Eliminasikan persamaan (i) serta (ii):

2p +q =24

-5p +q =10

7p = 14

p =2

Dalam mensubtitusikan p = 2 pada 2p + q = 24

2(2) + q = 24

q = 24 – 4

q = 20

Apabila f(x) dibagi x² + 3x – 10 maka:

f(x) = H(x) (x² + 3x – 10) + (px + q)

f(x) = H(x) (x-2)  (x + 5) + (px + q)

sisa px + q = 2x + 20

Jawaban: D

Soal 2.

Suku banyak x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6 dibagi oleh x² – x -2  sisanya sama dgn …

a.    16x + 8

b.    16x – 8

c.    -8x + 16

d.    -8x – 16

e.    -8x – 24

Jawab:

Diketahi pembaginya yakni: x² – x -2, sehingga:

x² – x -2= 0

(x – 2) (x + 1) = 0

x = 2 & x = -1

Ingat rumus: P(x) = H(x)  + (px + q), sehingga sisanya (px + q), maka:

• x = 2

f(2) = 2p + q

24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = 2p + q

16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q

-32 = 2p + q … (i)

• x = -1

f(-1) = -p + q

(-1) – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = -p + q

1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q

-8 = -p + q …(ii)

Eliminasikan persamaan (i) serta (ii), menjadi:

-32 =2p +q

-8 =-p +q

-24 =3p

p = -8

Jika kita substitusikan p = –p + q = -8

-(-8) + q = -8

q = -16

Maka , sisanya yakni = p + q = -8x – 16

Jawaban: D

Soal 3.

Diketahui g(x) = 2x³ + ax² + bx + 6 & h(x) = x² + x – 6 merupakan aspek dr g(x). Nilai a yg memenuhi yaitu…

a.    -3

b.    -1

c.    1

d.    2

e.    5

Jawab:

x2 + x – 6 = 0

(x + 3)(x – 2) = 0

x = -3 & x = 2

Sebab h(x) merupakan aspek dr g(x), sehingga:

• g(-3) = 0

2x³ + ax² + bx + 6 = 0

2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) + 6 = 0

-54 + 9a – 3b + 6 = 0

9a – 3b = 48 … (i)

• g(2) = 0

2x³ + ax² + bx + 6 = 0

2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 6 = 0

16 + 4a + 2b + 6 = 0

4a + 2b = – 22

2a + b = – 11 … (ii)

Eliminasikan persamaan (i) serta (ii):

• 9a -3b 48
  
    Persamaan kuadrat 2x² – 4x – 1 = 0 memiliki akar-akar x₁ dan x₂.