Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel- Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan suatu kalimat terbuka yg hanya mempunyai satu variabel & berderajat satu serta memuat korelasi (<,> >  atau < ).

Sebagai misalnya, lihat beberapa kalimat seperti di bawah ini:

1. X > 9
2. 3x – 3 < 8
3. 3b > b + 6
4. 5n – 3 < 3n + 2

Beberapa kalimat terbuka di atas memakai tanda hubung mirip <, >, > atau <. Yang mengambarkan kalimat tersebut merupakan  pertidaksamaan.

Masing-masing pertidaksamaan itu hanya memiliki satu variabel, yakni x, a & n. Pertidaksamaan tersebut disebut selaku pertidaksamaan satu variabel. Peubah (variabel) pertidaksamaan di atas berpangkat satu atau pula disebut selaku berderajat satu menjadi dinamakan pertidaksamaan linear.

Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan kalimat terbuka yg hanya mempunyai satu variabel & berderajat satu serta terdapat relasi (<, >, ³atau £ ).

Bentuk umum dr PtLSV dlm variabel mampu dinyatakan seperti di bawah ini:

ax + b < 0, ax + b > 0, atau ax + b > 0, atau ax + b < 0,dengan a < 0, a serta b merupakan bilangan faktual (real).

Dibawah ini terdapat beberapa teladan dr PtLSV dgn memakai variabel x, antara laing:

1. 3x – 2 < 0
2. 3x – 2 < 0
3. 5x – 1 > 8
4. 3x + 1 > 2x – 4
5. 10 < 2(x + 1)

Sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Sama halnya dgn yg ada dlm persamaan linear satu variabel, dlm mencari penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel bisa dilaksanakan dgn menggunakan cara subtitusi.

Namun, kalian pula dapat melakukannya dgn cara mengurangkan, menjumlahkan, mengkali, ataupun membagi kedua ruas pertidaksamaan dgn bilangan yg sama.

Pertidaksamaan dalam matematika merupakan kalimat atau pernyataan matematika yg menawarkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih.

Seperti yg ada pada A < B pertidaksamaan linear satu variabel x & C merupakan konstanta tak nol.

Pertidaksamaan A < B ekuivalen dengan:

1. A + C < B + C
2. A – C < B – C
3. A x C < B x C, bila C > 0 untuk seluruh x
4. A x C > B x C, bila C < 0 untuk seluruh x
5. A/C < B/C, bila C > 0 untuk seluruh x
6. A/C > B/C, jika C < 0 untuk seluruh x

Perlu kalian catat, beberapa sifat di atas pula berlaku untuk  lambang “>” atau “<”.

Contoh Soal PtLSV & Cara Penyelesaiannya

Di bawah ini akan kami berikan pola soal sekaligus cara penyeleaiannya & pula balasan dr soal pertidaksamaan linear satu variabel. Berikut ulasan selengkapnya.

1. Penjumlahan & Pengurangan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

Silakan amati pertidaksamaan yg ada di bawah ini:

x + 3 < 8, dgn x variabel dr bilangan bulat.

Untuk:

x = 1, jadi 1 + 3 < 8, bernilai benar x = 2, jadi 2 + 3 < 8, bernilai benar x = 3, jadi 3 + 3 < 8, bernilai benar x = 4, jadi 4 + 3 < 8, bernilai salah

Pengganti x merupakan 1,2, & 3 sehingga pertidaksamaan x + 3 < 8 merupakan benar dinamakan penyelesaian dr pertidaksamaan tersebut.

2. Perkalian atau pembagian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

Perhatikan pertidaksamaan dibawah ini:

Untuk bilangan x asli kurang dr 10 maka penyelesaiannya yakni x = 7, x = 8, atau x = 9

Berdasarkan uraian di atas, bisa kita tarik kesimpulan bahwa:

 “Setiap pertidaksamaan tetap ekuivalen, dgn tanda ketidaksamaan tak berganti, meskipun kedua ruas dikalikan dgn bilangan positif yg sama”

Contoh Soal:

Saat ini perhatikan pertidaksamaan berikut ini:

a. –x > – 5, dgn x yakni bilangan asli kurang dr 8. Pengganti x yg menyanggupi yaitu x = 1, x = 2, x = 3 atau x = 4.

Cara lain untuk menuntaskan soal pertidaksamaan di atas yakni dgn cara mengalikan kedua ruasnya dgn bilangan negatif yg sama.

* –x > –5

–1(–x) > – 1(–5), (kedua ruas dikalikan dgn –1 & tanda pertidaksamaan tetap)

x > 5

Penyelesaiannya yaitu dgn x = 6 atau x = 7.

* –x > –5

–1(–x) < –1(–5), (kedua ruas dikalikan dgn –1 serta tanda pertidaksamaan berubah dr > menjadi <)

x < 5

Penyelesaiannya yakni x = 1, x = 2, x = 3, atau x = 4.

Berdasarkan solusi tersebut ternyata, pertidaksamaan yg mempunyai penyelesaian sama adalah:

–x > –5 & –1(–x) < –1(–5)

sehingga, –x > –5 <=> –1(–x) < –1(–5)

b. –4x <–8, dgn x bilangan orisinil kurang dr 4. Pengganti x yg menyanggupi yakni x = 2, atau x = 3. sehingga, penyelesaiannya yakni x = 2 atau x = 3.

Berdasarkan klarifikasi di atas maka dapat kita tarik kesimpulan bahwa:

“Suatu pertidaksamaan apabila kedua ruasnya dikalikan dgn bilangan negatif yg sama maka tanda pertidaksamaan berubah”

Contoh:

3. Soal dongeng 

Soal certa 1.

Jumlah dua bilangan tak lebih dr 120. Apabila bilangan kedua merupakan 10 lebihnya dr bilangan pertama, maka tentukan batas nilai untuk bilangan pertama.

Jawab:

Dari soal di atas, dapat kita ketahui bahwa terdapat dua besaran yg tak dimengerti. Yakni bilangan pertama & pula bilangan kedua.

Maka selanjutnya kita akan jadikan kedua besaran tersebut sebagai suatu variabel.

Sebagai acuan:

Dari soal tersebut pula kita ketahui bahwasannya bilangan kedua “10 lebihnya dr bilangan pertama”, maka akan berlaku relasi mirip berikut:

y = x + 10

Dalam soal pula dikenali bahwa jumlah kedua bilangan “tidak lebih” dr 120.

Kalimat “tidak lebih” ialah tanda indikasi pertidaksamaan kurang dr sama dangan (≤). Sehingga, bentuk pertidaksamaan yg sesuai dgn soal yaitu pertidaksamaan kurang dr sama dengan.

Kemudian kita susun pertidaksamaannya seperti:

Sehinga, batas nilai untuk bilangan pertama tak lebih dr 55.

Soal cerita 2.

• Tentukan model matematikan dr persamaan panjang kawat yg dibutuhkan dlm x.
• Apabila panjang kawat yg diapakai semuanya tak lebih dr 132 cm, maka pastikan ukuran dr nilai maksimum dr balok tersebut.

Jawab:

Supaya kita lebih gampang untuk memahami soal di atas, maka perhatikan gambaran balok di bawah ini:

• Menentukan model matematika dr soal di atas.

Contohnya K menyatakan total dr panjang kawat yg diperlukan untuk membuat kerangka balok, maka total panjang kawat yg dibutuhkan merupakan jumlah dr keseluruhan rusuknya.

Maka, panjang K ialah sebagai berikut.

K = 4p (panjang) + 4l (lebar) + 4t (tinggi)

K = 4(x + 5) + 4(x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Sehingga, kita dapatkan model matematika dr soal cerita nomor dua untuk panjang kawat total yakni K = 12x + 12.

• Menentukan ukuran maksimum balok dr soal di atas.

Panjang kawat tak boleh melebihi panjang dr 132 cm maka model pertidaksamaannya bisa kita tulis sebagai berikut:

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Kemudian kita selesaikan pertidaksamaan linear satu variabel tersebut dgn menggunakan solusi seperti berikuti ini:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

Dari solusi x ≤ 10, maka nilai maksimum dr x yakni 10. Dengan demikian, ukuran balok yakni untuk panjang, lebar & pula tingginya ialah selaku berikut:

Panjang = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Lebar = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Tinggi = x ⇔ 10 cm

Sehinaa kita dapatkan maksimum untuk balok tersebut yaitu (15 × 8 × 10) cm.

Soal cerita 3.

Terdapat jumlah dr dua bilangan kurang dr 80. Bilangan kedua sama dgn tiga kali dr bilangan pertama.

Tentukan batas-batas dr kedua bilangan tersebut.

Jawab:

Andaikan bilangan pertama kita sebut selaku x, maka bilangan kedua sama dgn 3x.

Jumlah kedua bilangan tersebut kurang dr 80. Oleh alasannya itu, model matematikanya ialah mirip berikut ini:

x + 3x < 80 ⇔ 4x < 80

Penyelesaian model matematika ini yakni 4x < 80 ⇔ x < 20.

Oleh alasannya itu, batas bilangan pertama tak lebih dr 20, sementara bilangan kedua tak lebih dr 60.

Soal kisah 4.

Permukaan suatu meja yg berupa persegi panjang memiliki ukuran panjang 16x cm & lebar 10x cm.

Apabila luasnya tak kurang dr 40 dm2, maka tentukan ukuran minimum dr permukaan meja tersebut.

Jawab:

Diketahui panjang permukaan meja yaitu:

• (p) = 16x
• lebar (l) = 10 x
• luas = L.

Model matematika dr luas persegi panjang tersebut ialah sebagai berikut:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

Dari soal tersebut disebutkan bahwa luas tak kurang dr 40 dm2 = 4.000 cm2 sehingga pertidaksamaannya bisa kita tulis mirip berikut ini:

L = 160x2 ≥ 4.000

160x2 ≥ 4.000

Kemudian kita selesaikan pertidaksamaan tersebut, dgn solusi sebagai berikut:

160x2 ≥ 4.000

⇒ x2 ≥ 25

⇒ x ≥ ±5

Sebab ukuran besaran tak boleh negatif, maka nilai minimum untuk x = 5 cm, sehingga kita dapatkan:

p = 16x cm = 16(5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10(5) cm = 50 cm

Sehingga, ukuran minimum dr permukaan meja tersebut yaitu (80 × 50) cm.

Soal kisah 5.

Suatu sepeda melaju di jalan raya dgn persamaan lintasan s(t) = t2 – 10t + 39.

Apabila x dlm meter & t dlm detik, maka tentukan interval waktu agar sepeda tersebut telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter.

Jawab:

Sepeda tersebut bisa menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter, yg bermakna s(t) ≥ 15.

Sehingga, model matematikanya yakni t2 – 10t + 39 ≥ 15. Model ini bisa kita tuntaskan dgn cara seperti berikut ini:

t2 – 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2 – 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2 – 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6)(t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 atau t ≥ 6

Dengan demikian, interval waktu agar sepeda tersebut telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter yakni t ≤ 4 detik atau t ≥ 6 detik.

Soal cerita 6.

Pak Irvan mempunyau suatu mobil box pengangkut barang dgn daya angkut tak lebih dr 500 kg.

Berat pak Irvan yaitu 60 kg serta ia akan memuat kotak barang yg setiap kotak beratnya 20 kg. Maka:

• Tentukan banyak kotak maksimum yg bisa diangkut oleh pak Irvan dlm sekali pengangkutan!
• Apabila pak Irvan akan memuat 115 kota, paling sedikit berapa kali kotak itu akan mampu terangkut semua?

Jawab:

Dari soal kita dapatkan beberapa model matematika mirip berikut:

1. Contohnya x menyatakan banyak kota yg bisa dimuat oleh kendaraan beroda empat untuk sekali jalan.
2. Setiap kotak beratnya 20 kg, maka x kotak beratnya 20x kg.
3. Total berat sekali jalan yakni berat kotak ditambah dgn berat pak Irvan yakni 20x + 60.
4. Daya angkut mobil tak lebih dari, maka kita menggunakan tanda “≤”.
5. Daya angkut tak lebih dr 500 kg sehingga dr ketentuan (3) kita peroleh model pertidaksamaan berikut=

   20x + 60 ≤ 500

• Menentukan banyak kotak maksimum yg bisa dimuat dlm sekali jalan.

Menentukan banyak kotak mempunyai arti sama saja dgn menentukan nilai x, yakni dgn menuntaskan pertidaksamaan di bawah ini:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Dari solusi tersebut, kita dapatkan nilai maksimum dr x yaitu 22. Dengan demikian, dlm setiap kali jalan mobil box mampu mengangkut paling banyak 22 kotak.