Pertidaksamaan irasional – Media Masyarakat

Pengertian Pertidaksamaan irasional

Pertidaksamaan irasionaladalah pertidaksamaan yang variabel atau peubahnya berada dalam tanda akar. Sebagai contoh misalnya √( x-1) – 3 √(x-1) + 2 > 0, untuk memperoleh himpunan penyelesaian tersebut dilakukan dengan cara mengkuadratkan ruas kiri dan ruas kanan.

Teorema

dalam menyelesaikan dan mencari himpunan penyelesaian , simak teorema dibawah ini:

Contoh Soal Dan Penyelesaian

Tentukan himpunan penyelesaian dari,
$\sqrt{4x-1}< \sqrt{5 + 2x}$

[Penyelesaian]

Dari (1),(2) dan (3) :

$\therefore \: Himpunan\, Penyelesaian\: =\left \{ x\, \epsilon \, R\, |\,\frac{1}{4}\leq x< 3 \right \}$

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaia dari ,
$\sqrt{6-2x}\geq \sqrt{3+2x}$

[Penyelesaian]

$\begin{matrix} \Leftrightarrow Syarat:\: 6-2x\geq 0\\x\: \leq \: 3 \\\Leftrightarrow Syarat: 3+2x\geq 0 \\x\: \geq\: \frac{-\: 3}{2} \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow kuadratkan\: kedua\: ruas\, ,\, \sqrt{6-2x}\geq \sqrt{3+2x}\\ \Leftrightarrow \left ( \sqrt{6-2x} \right )^{2}\geq \left ( \sqrt{3+2x} \right )^{2} \\\Leftrightarrow \: 6\, -\, 2x\, \geq \, 3\, \dotplus \, 2x \\ \Leftrightarrow \: x\, \leq \, \frac{3}{4}\, .\, .\, .\, .\, .\, .\, .\, (3) \end{matrix}$

Dari (1)(2) dan (3):

$\therefore \: Himpunan\: Penyelesaian\: =\, \left \{x\, \epsilon\, R\, |\: \frac{-\, 3}{2}\: \leq \: x\: \leq \: \frac{3}{4} \right \}$

Contoh 3:

Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional,
$\sqrt{4-x}\, >\, 3$
[Penyelesaian]

$\begin{matrix} Syarat:\, 4\, -\, x\, \geq \, 0\, \Leftrightarrow \, x\, \leq \, 4\, .......\, (1)\\ \Leftrightarrow \, kuadratkan\: kedua\: ruas\: ,\, \left ( \sqrt{4-x} \right )^{2}\, > \, 3^{2} \\ \Leftrightarrow \, 4\, -\, x\, > \, 9 \\\Leftrightarrow \: x\, < \, -5 . . ...(2) \end{matrix}$
Dari (1) dan (2) :

$\therefore \, Himpunan Penyelesaian=\left \{ x\: \epsilon\, R|x< -5 \right \}$

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari,
$\sqrt[4]{x^{2}+6x}\, <\, 2$

[Penyelesaian]
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \, syarat\: :\, x^{2}+6x\geq 0\\ x\left ( x+6 \right )\geq 0 \\x\leq -6\, x\geq 0\, ......(1)) \end{matrix}$
Dari (1) dan (2) :

$\therefore \, Himpunan\, Penyelesaian\, =\left \{ x\, \epsilon \, R\, |-8< x\leq -6\, atau\, 0\leq x< 2 \right \}$

Bagaimana jika menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan fungsi nilai mutlak? Simak contoh dibawah ini :

Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional,
$\left | x \right |\leq -\sqrt{5x-4x^{2}}$

[Penyelesaian]
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left | x \right |\leq -\sqrt{5x-4x^{2}}\\\Leftrightarrow \left | x \right |+\sqrt{5x-4x^{2}}\leq 0 \end{matrix}$

Pada pertidaksamaan ini hanya dipenuhi oleh :
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left | x \right |+\sqrt{5x-4x^{2}}=0\, ....(1)\\\Leftrightarrow x=0\: \: dan\: 5x-4x^2=0 \\\Leftrightarrow x=0\: atau\: x\: =\: \frac{5}{4} \\\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\: tidak\: memenuhi\: (1) \, ;\, x=0\, memenuhi \\\therefore Himpunan \: Penyelesaian \:= \left \{ 0 \right \} \end{matrix}$

Contoh 6
Tentukan Himpunan penyelesaian dari,
$\sqrt{1+x}\: \geq\: \sqrt[3]{1-x}$

[Penyelesaian]
$\begin{matrix} \Leftrightarrow\, syarat\: \: : 1+x\geq 0\\x\: \geq \: -1\, ....(1) \\\Leftrightarrow\: syarat\: :\, 1\: -\: x\geq 0 \\x\: \leq\: 1 \: ....(2) \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt{1+x}\geq \sqrt[3]{1-x}\\\Leftrightarrow \left [( 1+x \right )^{\frac{1}{2}}]^6 \geq \left [( 1-x \right )^{\frac{1}{3}}]^6 \\\Leftrightarrow \left ( 1+x \right )^{3}\geq \left ( 1-x \right )^{2} \\\Leftrightarrow x^3+2x^2+5x \: \geq\: 0\\\Leftrightarrow x\left ( x^2+2x+5 \right )\geq0 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow x^2+2x+5=\left ( x+1 \right )^{2}+4> 0,\, benar\, \forall \, x\\\Leftrightarrow x\geq\: 0 \: .....(3) \end{matrix}$
Dari (1) ,(2)dan (3) :

$\small \therefore \: Himpunan\: Penyelesaian\: =\left \{ x\, \epsilon \, R|0\leq x\leq 1 \right \}$

Soal-soal diatas sering muncul pada soal-soal Ujian Nasional SMA, soal saringan Masuk perguruan tinggi negeri (SNMPTN). Oleh karena itu sangatlah penting menguasai materi pertidaksamaan irasional.