Persamaan Garis Lurus & Singgung: Pemahaman, Rumus, Dan Contoh Soal

Materi yang hendak kita diskusikan yaitu perihal persamaan garis.

Terdapat aneka macam macam bentuk garis. Terdapat garis lurus, garis lengkung, kurva, dan lain-lain. Garis-garis tersebut dapat dilukis pada koordinat kartesius.

Masing-masing garis yang sudah dilukis pada koordinat kartesius memiliki persamaan garis.

Oleh sebab itu, pada bab di bawah ini akan dibahas perihal persamaan garis.

Definisi Persamaan Garis

Seperti yang telah disebutkan pada bab sebelumnya, garis mempunyai berbagai macam bentuk.

Garis-garis dengan bentuk berlainan yang dilukis pada koordinat kartesius memiliki persamaan garis yang berlawanan pula.

Lalu apa itu persamaan garis?

Secara sederhana, persamaan garis merupakan representasi simbolik suatu garis yang dilukis pada koordinat kartesius. Persamaa garis ditandai dengan tanda “ = “.

Contoh persamaan garis antara lain 2x + 3y – 4 = 0, x² + 2x + 3 = 0,  x² + y² = 25.

Masing-masing persamaan garis tersebut mewakili persamaan garis lurus, persamaan kurva/parabola, dan persamaan bulat.

Bagian selanjutnya akan dibahas tentang penerapan persamaan garis.

Persamaan Garis dalam Kehidupan Sehari-hari

Apakah kalian mampu menemukan contoh-pola penerapan persamaan garis dalam kehidupan sehari-hari?

Beberapa pola penerapan persamaan garis misalnya seperti penghitungan metode persamaan linear dua variable dengan menggunakan grafik (menggunakan konsep persamaan garis lurus), percobaan pelemparan bola yang membentuk kurva (persamaan kuadrat), dan mobil yang melewati lintasan berupa lingkaran (persamaan bulat).

Pada bab berikutnya akan dijelaskan tentang rumus persamaan garis.

Rumus Persamaan Garis

Beberapa rumus persamaan garis dalam pembahasan berikut antara lain persamaan garis lurus dan persamaan garis singgung.

Persamaan garis singgung yang akan dibahas mengenai persamaan garis singgung kurva dan persamaan garis singgung bulat.

Persamaan Garis Lurus

Bentuk biasa persamaan garis lurus yakni ax + by + c = 0. Persamaan garis lurus dapat dilukis dalam koordinat kartesius.

Bagaimana cara menentukan persamaan garis dari sebuah grafik pada koordinat kartesius?

Coba amati gambar berikut.

Pada grafik di atas terdapat garis lurus yang lewat koordinat (0, 4) dan (2, 0). Persamaan garis lewat dua titik dirumuskan dengan

Misalkan (x₁, y₁) = (0, 4) dan (x₂, y₂) = (2, 0)

(y – y₁)/(y₂ – y₁) = (x – x₁)/(x₂ – x₁)

(y – 4)/(0 – 4) = (x – 0)/(2 – 0)

(y – 4)/(-4) = x/2

2(y – 4) = – 4x

2y – 8 = -4x

4x + 2y – 8 = 0

Persamaan garis tersebut dapat disederhanakan menjadi 2x + y – 4 = 0.

Keterangan:

• x, y : variabel
• (x₁, y₁); (x₂, y₂) : titik-titik yang dilalui oleh garis

Selanjutnya akan dibahas mengenai persamaan garis singg
ung.

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada pembahasan kali ini akan dibagi menjadi dua adalah persamaan garis singgung kurva dan persamaan garis singgung bundar.

Walaupun bundar merupakan salah satu kurva tertutup, tetapi kali ini yang akan dipelajari yakni garis singgung kurva (persamaan kuadrat) dan bundar.

Persamaan Garis Singgung Kurva

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas terdapat kurva dan garis singgungnya.

Secara umum, kurva kuadrat mempunyai persamaan garis ialah ax² + bx + c = 0.

Persamaan garis singgung kurva yang menyinggung kurva di titik (x₁, y₁) dengan gradien m ialah

y – y₁ = m (x – x₁)

Contohnya pada gambar di atas. Pada kurva tersebut, persamaan garisnya ialah x² + x + 1 = 0. Persamaan garis singgung yang lewat (0, 1) dan gradient 1 adalah

Pertama kita cek apakah titik (0, 1) berada pada kurva atau tidak.

(0, 1) à (0)² + 0 + 1 = 1 (benar) sehingga titik (0, 1) terdapat pada kurva. Sehingga:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 0 = 1 (x – 1)

y = x – 1

x – y – 1 = 0.

Jadi persamaan garis singgungnya yaitu x – y – 1  = 0.

Keterangan:

• x, y : variabel
• (x₁, y₁): titik yang dilalui oleh garis singgung
• m  : gradien garis singgung

Selanjutnya akan dibahas tentang persamaan gari singgung lingkaran.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Secara lazim persamaan bulat yaitu x² + y² + Ax + By + C = 0. Jika sentra bulat yakni (0, 0), maka persamaan lingkarannya ialah x² + y² = r².

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas terdapat garis singgung yang menyinggung bundar di satu titik.

Terdapat bulat dengan persamaan x² + y² = 2 dan titik singgung pada koordinat (1, 1). Bisa kita pahami bahwa gradient garis tersebut yaitu -1.

Persamaan garis singgungnya yakni

y = mx ± r √(1 + m²)

y = -1(x) ± (√2) √(1 + (-1)²)

y = -x ± 2

sehingga persamaan garis singgungnya

y = -x + 2  atau y = -x – 2

x + y – 2 = 0  atau  x + y + 2 = 0

Ternyata x + y + 2 = tidak memenuhi sebab kalau kita substitusikan (1, 1) ke dalam persamaan garis singgung 1 + 1 + 2 ≠ 0, sehingga persamaan garis singgung lingkaran yang menyanggupi adalah x + y – 2 = 0.

Keterangan :

• x, y : variabel
• m : gradient garis singgung
• r  : jari-jari lingkaran

Kerjakan soal berikut untuk mengenali pemahamanmu. Baca juga Persamaan Linear.

Contoh Soal Persamaan Garis

1. Persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan (2, 0) yakni . . .  .

2. Persamaan garis singgung bulat x² + y² = 5 pada titik (4, 1)  dan gradien -2 yakni … .

Mari kita simpulkan bersama.

Kesimpulan

• Persamaan garis ialah representasi simbolik suatu garis yang dilukis pada koordinat kartesius.
• Rumus persamaan garis lurus lewat dua titik yaitu y – y₁ = m (x – x₁)
• Rumus persamaan garis singgung kurva lewat titik (x₁, y₁) dan gradien m yakni

y – y₁ = m (x – x₁)

• Rumus persamaan garis singgung bundar x² + y² = r²  dengan gradien m yaitu

y = mx ± r √(1 + m²)

Demikian klarifikasi perihal persamaan garis. Semoga berfaedah. Baca juga Vektor.