Dasar-dasar Teori Peluang
1. PENDAHULUAN
Ada tiga lingkungan dalam proses pengambilan keputusan yang telah dijadikan dalil ialah pasti, ketidakpastian dan risiko. Risiko adalah suatu kondisi dimana nilai-nilai potensi mampu diberikan terhadap setiap hasil atau peristiwa. Sampai seberapa jauh keputusan diambil dalam suatu risiko tergantung pada siapa yang akan mengambil keputusan tersebut apakah para pengusaha, industriawan atau tingkatan menajerial dalam suatu organisasi. Akan namun, walaupun keputusan seperti ini boleh dikatakan langka namun tetap perlu menjadi bahan pertimbangan. Sebagai pola industri asuransi tetap mempercayai nilai-nilai kesempatan yang diambil dari data aktuaria. Kesalahan yang dijalankan perusahaan ini dalam menggunakan nilai-nilai kesempatan untuk membuat keputusan mampu berakibat fatal bagi perusahaan tersebut. Dalam kasus lain, problem yang dihadapi oleh para manajer dalam mengambil keputusan ialah bagaimana menggunakan nilai-nilai kesempatan dalam situasi yang sebenarnya dan bagaimana menawan kesimpulan dari hasil yang didasarkan pada teori potensi .
Kapan tepatnya teori kesempatan masuk ke dalam dunia statistika belum diketahui secara niscaya. Meskipun teori kesempatan sudah dikenal semenjak periode 17 oleh para matematikawan, namun masih diragukan kapan teori ini berafiliasi dengan statistika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, perkawinan antara matematika kesempatan dengan data yang dikumpulkan oleh negara-negara di aneka macam penjuru dunia jadinya melahirkan ilmu gres adalah statistika.
Tidak mampu dipungkiri lagi berkembangnya teori potensi diawali oleh kesenangan orang untuk mengadu untung di meja judi. Lahirnya aneka macam teori potensi yang dilandasi dari kesenangan ini telah banyak menghipnotis perkembangan ilmu statistika itu sendiri. Seseorang tidaklah mungkin untuk memahami statistika secara sempurna tanpa mengetahui apa arti peluang itu sendiri. Olehkarena itu dapatlah dibilang bahwa teori peluang ialah fondasi dari statistika.
Penggunaan teori kesempatan dalam bidang bisnis telah cukup lama dikenal oleh para pengusaha. Meski banyak diantara mereka tidak mempunyai latarbelakang matematika namun ungkapan peluang, disadari atau tidak, banyak berperan saat mereka mengerjakan acara organisasi khususnya dalam proses pengambilan keputusan. Olehkarena itu untuk menunjukkan citra wacana kesempatan yang dimaksud, bagian ini cuma membahas dasar-dasar teori kesempatan sebagai dasar wawasan untuk mengerti analisis statistika berikutnya. Bagi yang ingin mendalami teori potensi dapat menyaksikan pada buku-buku yang tercantum dalam daftar pustaka.
2. Pengertian Peluang
Peluang semata-mata ialah suatu cara untuk menyatakan potensi terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif kesempatan dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya sebuah keadaan seperti “baik”, “lemah”, “berpengaruh”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, kesempatan dinyatakan selaku nilai-nilai numeris baik dalam bentuk belahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti suatu kejadian tidak mampu terjadi sedangkan potensi sama dengan 1 bermakna kejadian tersebut pasti terjadi.
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar asumsi terjadinya hujan dalam bentuk peluang baik secara kualitatif mirip “kemungkinannya kecil akan terjadi hujan esok hari”, atau dalam bentuk kuantitatif seperti “kemungkinan hujan esok hari sekitar 30%”. Jelas di sini bahwa berbicara tentang kesempatan kita dihadapkan dalam sebuah keadaan yang tidak niscaya, akan namun kita hanya diberikan suatu petunjuk atau citra seberapa besar akidah kita bahwa suatu insiden bisa terjadi. Semakin besar nilai peluang yang dihasilkan dari suatu perhitungan maka kian besar iman kita bahwa peristiwa itu akan terjadi. Dewasa ini, asumsi wacana akan terjadinya suatu gejala alam bukanlah sesuatu pekerjaan sederhana akan tetapi telah melalui suatu proses perhitungan yang sangat kompleks. Gejala sebuah kejadian tidak cuma dikaji dari satu segi saja, contohnya pengaruh waktu, akan tetapi juga melibatkan banyak variabel yang terkait dengan insiden tersebut. Olehkarena itu kesempatan yang didasarkan pada latar belakang ilmiah bisa menunjukkan tingkat iktikad yang lebih tinggi bagi orang yang memerlukannya.
Salah satu cara untuk menyatakan kesempatan dari suatu kejadian ialah penggunaan diagram Venn mirip yang dilukiskan dalam gambar 1. Meski konvensional, namun cara ini ternyata lebih gampang dimengerti oleh penduduk luas terutama bagi orang-orang yang bukan berlatar belakang matematika. Diagram Venn berupa persegi panjang untuk menyatakan semua peristiwa yang mampu terjadi dan bulat untuk menggambarkan kesempatan terjadinya kejadian tertentu. Pengambaran diagram biasanya tidak menggunakan skala yang bergotong-royong, artinya kalau potensi terjadi insiden hujan 30% bukan bermakna bahwa bundar yang dimaksud luasnya mesti 30% dari luas persegi panjang.
3. Peristiwa
Istilah kejadian yang kita kenal sehari-hari sering kali agak berlainan makna jika kita berbicara tentang teori potensi . Biasanya orang berpikir bahwa kejadian ialah sebuah insiden layaknya kejadian sejarah, gejala-tanda-tanda fisik, pesta dan lain sebagainya. Dalam statistika, pengertian ini diperluas dengan memasukkan komponen-bagian peluang atau peluang atas terjadinya suatu insiden yang didasarkan pada hasil sebuah percobaan atau eksperimen yang dilaksanakan secara berulang-ulang. Sebagai teladan kejadian terambilnya kartu As dari setumpuk kartu bridge, jumlah cairan yang disaring dari mesin pengisi, jumlah kendaraan niaga yang melalui jalan protokol, jumlah barang yang cacat dalam satu lot, dan karakteristik lainnya yang secara lazim tidak dapat disebutkan selaku kejadian.
Untuk keperluan penentuan peluang ada gunanya untuk membagi peristiwa ke dalam dua jenis insiden yakni kejadian sederhana dan kejadian beragam. Peristiwa sederhana tidak mampu dibagi lebih lanjut lagi ke dalam bagian-komponen kejadian, sedangkan peritiwa majemuk selalu memiliki dua atau lebih komponen peristiwa sederhana. Peristiwa “Kartu Sekop” secara definisi yaitu kejadian sederhana alasannya adalah cuma ada satu jenis kartu sekop dalam setumpuk kartu bridge. Akan tetapi insiden “As Sekop” mampu dianggap selaku insiden beragam karena kartunya haruslah terdiri dari keduanya yakni kartu As dan kartu Sekop. Namun definisi ini tergantung dari pandangan si pelaku percobaan. Bisa saja seseorang menyampaikan bahwa As Sekop selaku suatu peristiwa sederhana jika ia mengganggap hal ini selaku suatu kesatuan. Pembagian jenis peristiwa ini dimaksudkan untuk akomodasi dalam mempelajari teori potensi selanjutnya.
4. Peluang Logis, Empiris dan Subjektif
Untuk kejadian sederhana, peluang dapat diturunkan baik secara logis, lewat pengamatan empiris maupun secara subjektif. Ketiga bentuk peluang ini memiliki implikasi yang penting bagi para manajer khususnya dalam proses pengambilan keputusan.
Peluang Logis
Semua proses yang bisa diprediksi dan didefinisikan secara lengkap memungkinkan kita secara deduktif memilih kesempatan dari hasil yang terjadi. Sayangnya banyak para pengusaha yang tidak masuk dalam kategori ini. Sebenarnya penurunan kesempatan logis yakni sesuatu yang berharga untuk dikaji, alasannya kemampuan memprediksi proses sederhana kerapkali bisa memperlihatkan isyarat bagi para manajer untuk memperbaiki tindakan-tindakan dalam menghadapi situasi yang kompleks atau tidak dapat diprediksi.
Peluang logis sebenarnya didasarnya pada pertimbangan nalar semata, bukan berdasarkan hasil percobaan. Tetapi hasil ini bisa diuji lewat sebuah percobaan. Pelemparan dua buah dadu yang ialah salah satu upaya keras tertua dalam pengembangan teori potensi , bisa diambil sebagai acuan dari penurunan kesempatan logis ini. Pada pelemparan dua buah dadu kita tahu bahwa jumlah angka dari kedua dadu yang mampu timbul yakni 2, 3, 4, 5, …, 12 atau ada 11 peristiwa yang berbeda. Berapa peluang hadirnya jumlah 5? Meski peristiwa jumlah 5 ada 1 dari 11 peristiwa, tidak mempunyai arti bahwa harapannya yakni 1/11. Mengapa demikian, sebab kita tidak mempertimbangkan bagaimana berbagai peristiwa mampu dihasilkan. Perhatikan Tabel 1 yang merupakan matriks dari semua variasi kejadian yang mungkin terjadi dalam pelemparan dua buah dadu. Dari sini tampak bahwa ada 36 variasi yang mungkin. Peristiwa “jumlah 5” yakni hasil dari variasi 4 insiden. Berarti kesempatan munculnya jumlah 5 pada pelemparan dua buah dadu yaitu 4/36 atau sekitar 0,11.
Definisi : Peluang logis dari suatu peristiwa adalah rasio antara jumlah kejadian yang bisa terjadi dengan jumlah semua hasil yang mampu terjadi, dimana hasil ini mampu diturunkan dari sebuah eksperimen.
Peluang Empiris
Banyak perkara dimana para manajer kurang mengikuti contoh-teladan kesempatan seperti yang diterangkan di atas. Kemungkinan besar hal ini disebabkan tidak dipahaminya apa bahu-membahu peluang itu. Untuk kasus mirip ini, yang lebih cocok untuk diacu yaitu peluang yang didasarkan pada data observasi atau data empiris. Ambil teladan selaku berikut.
Dalam memproduksi sebanyak 10.000 unit integrated circuit (IC) merek tertentu, diperoleh 25 unit diantaranya cacat (bengkok). Berdasarkan hasil ini maka dapat dibilang bahwa kesempatan IC yang cacat yakni 25/10.000 = 0,0025. Nilai ini juga merupakan kesempatan terambilnya secara acak 1 unit IC yang cacat. Demikian pula rata-rata persentase barang cacat dalam suatu batch diperkirakan sebesar 0,0025. Jika ada pesanan sebanyak 2.000 unit IC dari perusahaan ini kita berharap 0,0025(2000) = 5 unit IC yang cacat.
Peluang empiris atau ada pula yang menyebutnya sebagai potensi objektif, hanya bisa diperoleh lewat percobaan atau eksperimen yang dilaksanakan secara berulang-ulang, dalam kondisi yang sama dan dibutuhkan dalam jumlah yang besar. Dari eksperimen ini akan dihasilkan info berupa frekuensi relatif yang sungguh memiliki kegunaan khususnya untuk keperluan perbaikan suatu metode. Misalnya saja dalam proses pengemasan susu ingin diketahui berapa persen kemasan yang berisikan lebih dari 150 ml. Dari proses pengisian yang cukup usang, maka mampu dibuat distribusi frekuensi volume susu yang terisi kedalam kotak atau susu yang tercecer pada setiap pengisian. Dari sini maka akan akan diperoleh gosip yang sungguh memiliki kegunaan untuk melaksanakan pembiasaan terhadap metode kerja mesin pengisi susu tersebut.
Peluang Subjektif
Masalah yang umum dihadapi oleh seorang manajer ialah saat beliau tidak bisa memprediksi proses suatu peristiwa ditambah lagi dengan tidak tersedianya data yang mencukupi. Untuk memecahkan persoalan mirip ini umumnya seorang manajer akan memperlihatkan nilai potensi tertentu terhadap peristiwa tersebut yang didasarkan pada faktor-faktor kualitatif, pengalaman dengan situasi yang serupa atau bahkan intuisi.
Peluang subjektif timbul saat seorang pengambil keputusan dihadapkan oleh pertanyaan-pertanyaan yang tidak mampu dijawab berdasarkan peluang empiris atau frekuensi empiris. Sebagai teladan “Berapa peluang penjualan barang X bulan depan akan melebihi 50.000 unit jika dikerjakan pergeseran bungkus?”. Sudah barang pasti eksperimen perihal dampak pergantian bungkus terhadap volume penjualan dengan pengulangan yang sungguh besar jarang dikerjakan bahkan tidak pernah dikerjakan. Meski memakai data penjualan bulanan bukan sesuatu yang musthail, akan tetapi tidaklah efisien jikalau perusahaan senantiasa merubah bungkus setiap bulannya cuma untuk meningkatkan volume penjualan. Olehkarena itu, lazimnya seorang manajer menggunakan intuisi atau perasaannya dalam memilih nilai kesempatan ini. Makara tidaklah heran jikalau seorang manajer menyatakan “kesempatan terjualnya barang X melebihi 50.000 unit pada bulan depan ialah 0,40”. Apa artinya pernyataan ini? Secara potensi mampu didefinisikan selaku berikut.
Definisi : Peluang subjektif yaitu suatu bilangan antara 0 dan 1 yang digunakan seseorang untuk menyatakan perasaan ketidakpastian perihal terjadinya insiden tertentu. Peluang 0 bermakna seseorang merasa bahwa insiden tersebut mustahil terjadi, sedangkan peluang 1 bermakna bahwa seseorang percaya bahwa insiden tersebut niscaya terjadi.
Definisi ini terang merupakan pandangan subjektif atau eksklusif ihwal peluang.
Meski kesempatan subjektif tidak didasarkan pada sebuah eksperimen ilmiah, namun penggunaannya tetap bisa dipertanggungjawabkan. Dalam memilih nilai potensi ini, seorang pengambil keputusan tetap menggunakan prinsip-prinsip logis yang didasarkan pada pengalaman yang diperolehnya. Seorang pengambil keputusan sudah mengetahui secara kasatmata apa faktor-aspek yang menghipnotis keputusannya sehingga dia mampu memprediksi apa kira-kira yang bakal terjadi dari keputusan yang diambilnya. Yang masih menjadi pertanyaan ialah apakah kesempatan subjektif mampu dipakai untuk keperluan analisis statistika selanjutnya. Kelompok statistika objektif atau klasik menolak penggunaan peluang subjektif ini, sebaliknya kelompok Bayes menerimanya. Bukan tujuan kita untuk membicarakan perdebatan ini, kecuali bahwa penggunaan kesempatan subjektif tampak sesuai dalam pengambilan keputusan bisnis. Berbeda halnya dengan penelitian kimia, pertanian, farmasi, kedokteran atau ilmu eksakta lainnya yang memang harus menggunakan kesempatan objektif selaku dasar analisisnya. Sampai ketika ini pengambilan keputusan menurut peluang subjektif masih dibilang selaku salah satu tehnik manajerial yang terbaik.
5. Ruang Sampel
Dalam tabel 1. dapat kita lihat bahwa jumlah peristiwa yang bisa terjadi dalam pelemparan dua buah dadu paling banyak ialah 36 titik (lebih dikenal selaku titik sampel). Jika dilaksanakan pelemparan 1 buah dadu, angka-angka yang mungkin muncul yaitu 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 atau ada 6 titik sampel. Sebuah keluarga yang gres menikah menyiapkan kelahiran 3 orang anak Anggaplah kesempatan lahirnya anak laki-laki (L) dan anak wanita (P) yakni sama. Maka susunan anak (Laki-laki=L atau Perempuan=P) yang mungkin adalah LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL atau PPP, ada 8 titik sampel.
Semua hasil yang mungkin dari sebuah eksperimen, mirip yang gres dicontohkan, dalam teori kesempatan disebut selaku ruang sampel atau ruang hasil. Jumlah titik yang dianggap sebagai representasi setiap peristiwa dalam ruang sampel ini dinotasikan dengan N, sedangkan jumlah peristiwa yang sedang diamati dinotasikan dengan karakter n. Secara formal ruang sampel ini dinyatakan dengan huruf S. Untuk akomodasi bentuk penulisan ruang sampel ini mengunakan teori himpunan mirip pola berikut.
2. Peristiwa Saling Inklusif
Jika dua insiden mempunyai titik yang sama atau terdapat irisan antara kedua insiden, maka korelasi kedua peristiwa ini disebut saling inklusif. Hubungan inklusif bantu-membantu yaitu ekspansi dari kekerabatan eksklusif.
3. Peristiwa Bersyarat
Dalam kehidupan sehari-hari kerap kali kita bekerjasama dengan potensi dari sebagian ruang sampel. Dengan lain perkataan bahwa kita jarang bekerja dalam ruang lingkup populasi. Peluang seorang konsumen yang diseleksi secara acak dari populasi penduduk berpenghasilan tinggi tidak sama dengan peluang seorang berpenghasilan tinggi yang dipilih secara acak dari populasi pelanggan. Peluang seorang konsumen yang menggemari produk A yang dipilih secara acak dari sebuah komunitas akan berlawanan dengan kesempatan terpilihnya seorang pemakai produk A dari komunitas yang lain. Ini yaitu beberapa contoh bagaimana kita harus menyeleksi suatu kejadian yang ada dalam suatu populasi ke dalam subpopulasi. Dalam teori kesempatan hal semacam ini penting untuk dikenali karena peluang dalam sebagian ruang sampel bisa berlawanan dengan peluang pada ruang sampel secara keseluruhan. Subpopulasi didefinisikan secara khusus dalam populasi ini dan peluang-kesempatan yang berafiliasi dengan setiap peristiwa dalam subpopulasi diketahui dengan nama peluang bersyarat.
Peluang bersyarat banyak digunakan dalam dunia bisnis dan ekonomi. Salah satu misalnya adalah penggunaan teorema Bayes yang banyak digunakan dalam teori pengambilam keputusan. Dalam bab terakhir bagian ini akan diberikan sebuah contoh aplikasi peluang bersyarat dalam pengambilan keputusan,
4. Peristiwa Bebas
Pengertian bebas di sini bahu-membahu bukanlah bebas dalam pengertian lazim akan namun bebas secara statistis. Meski pemahaman bebas secara biasa hampir sama dengan bebas secara statistis akan tetapi pada dasarnya keduanya tidak identik. Peristiwa A dikatakan bebas dari insiden B jika salah satu insiden tidak dipengaruhi oleh insiden lainnya. Sebagai teladan jikalau kita mengambil kartu dari setumpuk kartu bridge secara berurutan dimana setiap pengambilan kartu selalu dikembalikan lagi, maka semua hasil dari insiden ini dibilang bebas antara yang satu dengan yang lain. Peluang terambilnya kartu As pada setiap pengambilan akan senantiasa 4/52. Jika pengambilan kartu tidak dengan pengembalian maka hasil yang diperoleh akan bersifat tidak bebas atau saling tergantung. Peluang terambilnya kartu As pada pengambilan pertama yaitu 4/52, pengambilan kedua 3/51, pengambilan ketiga 2/50 dan seterusnya.
LATIHAN;
1. Sebuah percobaan pelemparan sebuah dadu dilakukan bersama-sama dengan pengambilan satu karakter secara acak dari alphabet. Ada berapa titik sample dalam ruang sampelnya.
2. Sebuah perusahaan Real estate memberikan terhadap kandidat pembeli 3 tipe rumah, 3 macam metode pemanasan dan 2 bentuk garasi. Berapa desain rumah yang tersedia bagi kandidat pembeli.
3. Peluang suami dan istri akan hidup 20 tahun lagi dari sekarang masing-masing adalah 0,8 dan 0,9. Hitunglah peluang dalam 20 tahun :
- keduanya masih hidup
- keduanya meninggal
- paling sedikit satu di antaranya masih hidup
4. Sebuah kotak berisikan 5 kelereng berwarna Merah dan 4 kelereng berwarna Putih. Dua kelereng diambil secara berurutan tanpa pengembalian dan ternyata kelereng kedua berwarna putih. Berapakah peluang bahwa kelereng yang pertama juga berwarna putih.
- 5. Berapa macam susunan antrian yang mampu dibentuk jika 6 orang mengantri untuk naik bis
- Bila tiga orang tertentu bersikeras untuk saling berdekatan, berapa banyak antrian yang mungkin terjadi
- Bila dua orang tertentu tidak inginsaling berdekatan, berapa banyak susunan antrian yang mungkin
- Dalam pengerjaan sepatu, bagian atas, telapak dan hak sepatu dibentuk secara terpisah dan lalu dirakit secara acak untuk menjadi 1 suatu sepatu (bukan sepasang). Dalam pengerjaan bab-bab tersebut, 5% bab atas, 4% bab telapak dan 1% hak sepatu umumnya cacat, berapa persen pasang sepatu yang dibentuk dalam kondisi baik dari pemasangan bab-bab tersebut?
7. Statistik menawarkan bahwa 47.773 dari 100.000 orang yang berusia 20 tahun, diantaranya hidup hingga usia 70. Berapakah kesempatan seseorang yang berusia 20 akan hidup sampai usia 70. Berapa pula potensi bahwa beliau akan meninggal sebelum usia 70.
8. Dalam pelemparan dua buah dadu, hitunglah kesempatan munculnya angka 1 pada dadu pertama dan angka ganjil pada dadu kedua.
9. Seseorang melaksanakan pelemparan sebuah mata duit dan suatu dadu. Hitunglah peluang yang keluar yakni Ekor (pada mata uang) atau angka ganjil pada dadu.
10. Peluang seorang dokter mendiagnosa suatu penyakit secara benar yakni 0,7. Bila dikenali dokter dokter tersebut salah mendiagnosa, kesempatan pasien menuntut ke pengadilan yaitu 0,9. Berapa kesempatan dokter tersebut salah mendiagnosa dan pasien menuntutnya.