Penerapan deret aritmetika dlm kehidupan keseharian sangat banyak. Selain itu dlm hal bilangan penggunaan deret aritmetika pula dibutuhkan. Perlu diketahui bahwa barisan aritmetika yaitu barisan bilangan yg memiliki beda antarsuku senantiasa sama.
Jika acuan barisan bilangan mempunyai suku permulaan a & beda (Selisih) = b, maka contoh bilangan dapat dituliskan selaku berikut.
a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, …….
Adapun deret aritmetika yaitu jumlah bilangan-bilangan yg membentuk barisan aritmetika. Deret aritmetik dituliskan sebagai berikut.
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + …….+ a + (n – 1)b
Untuk mempelajari penerapan wacana barisan & deret aritmetika, mari menuntaskan permasalahan di bawah ini.
Permasalahan 1
Diketahui jumlah 3 bilangan ganjil berurutan yakni 5.001. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,…. Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau dimisalkan dgn 2n + 1.
Jika terdapat tiga bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5.
Jumlah 3 bilangan ganjil berurutan yakni 5.001.
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 5.001
6n + 9 = 5.001
6n = 5.001 – 9
6n = 4.992
n = 4.992 : 6
n = 832
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu selaku berikut.
2n + 1 = 2(832) + 1 = 1.664 + 1 = 1.665
2n + 3 = 2(832) + 3 = 1.664 + 3 = 1.667
2n + 5 = 2(832) + 5 = 1.664 + 5 = 1.669
Makara, ketiga bilangan itu yakni 1.665, 1.667, & 1.669.
Permasalahan 2
Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan yaitu 12.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,…. Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dgn 2n, atau 2n + 2.
Jika terdapat tiga bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4.
Jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000.
2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 12.000
6n + 6 = 12.000
6n = 12.000 – 6
6n = 11.994
n = 11.994 : 6
n = 1.999
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n = 2(1.999) = 3.998
2n + 2 = 2(1.999) + 2 = 3.998 + 2 = 4.000
2n + 4 = 2(1.999) + 4 = 3.998 + 4 = 4.002
Kaprikornus, ketiga bilangan itu ialah 3.998, 4.000, & 4.002.
Permasalahan 3
Diketahui jumlah 5 bilangan ganjil berurutan yaitu 9.005. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,…. Bilangan ganjil mampu disimbolkan atau dimisalkan dgn 2n + 1.
Jika terdapat lima bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9.
Jumlah 5 bilangan ganjil berurutan ialah 9.005.
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 9.005
10n + 15 = 9.005
10n = 9.005 – 15
10n = 8.990
n = 8.990 : 10
n = 899
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n + 1 = 2(899) + 1 = 1.798 + 1 = 1.799
2n + 3 = 2(899) + 3 = 1.798 + 3 = 1.801
2n + 5 = 2(899) + 5 = 1.798 + 5 = 1.803
2n + 7 = 2(899) + 7 = 1.798 + 7 = 1.805
2n + 9 = 2(899) + 9 = 1.798 + 9 = 1.807
Kaprikornus, kelima bilangan itu yakni 1.799, 1.801, 1.803, 1.805, & 1.807.
Permasalahan 4
Diketahui jumlah 5 bilangan genap berurutan yakni 100.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,…. Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dgn 2n atau 2n + 2.
Jika terdapat lima bilangan genap berurutan maka mampu dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8.
Jumlah 5 bilangan genap berurutan ialah 100.000.
(2n) + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 100.000
10n + 20 = 100.000
10n = 100.000 – 20
10n = 99.980
n = 99.980 : 10
n = 9.998
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n = 2(9.998) = 19.996
2n + 2 = 2(9.998) + 2 = 19.996 + 2 = 19.998
2n + 4 = 2(9.998) + 4 = 19.996 + 4 = 20.000
2n + 6 = 2(9.998) + 6 = 19.996 + 6 = 20.002
2n + 8 = 2(9.998) + 8 = 19.996 + 8 = 20.004
Makara, kelima bilangan itu ialah 19.996, 19.998, 20.000, 20.002, & 20.004.
Permasalahan 5
Diketahui panjang tali mula-mula adalah 950 cm. Tali itu akan diiris menjadi 5 tali & panjang tali membentuk barisan aritmetika. Tentukan panjang setiap tali bila selisih antartali adalah 5 cm.
Penyelesaian
Permasalahan ihwal deret aritmetika dgn jumlah 5 bilangan.
Diketahui Jumlah lima tali (Sn) = 950 & beda (b) = 5.
Sehingga dapat ditulis:
a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = S5
a + (a + 5) + (a + 2(5)) + (a + 3(5)) + (a + 4(5)) = 950
a + (a + 5) + (a + 10) + (a + 15) + (a + 20) = 950
5a + 50 = 950
5a = 950 – 50
5a = 900
a = 900 : 5
a = 180
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
a ; (a + 5) ; (a + 10) ; (a + 15) dan (a + 20)
180 ; (180 + 5) ; (180 + 10) ; (180 + 15) & (180 + 20)
180, 185, 190, 195, & 200.
Kaprikornus, kelima bilangan itu adalah 180, 185, 190, 195, & 200.
Demikianlah sekilas bahan tentang penerapan barisan & deret aritmetika dlm menyelesaikan masalah.
Semoga berfaedah.