Logaritma: Pemahaman, Sifat, Rumus, Tabel, Teladan Soal

Berikut akan dijelaskan mengenai logaritma.

Kalian tentu sudah mempelajari mengenai eksponensial atau perpangkatan. Apa saja yang sudah kalian pelajari dalam bahan eksponensial atau perpangkatan?

Konsep bahan perpangkatan atau eksponensial akan digunakan dalam mempelajari materi logaritma berikut.

Daftar Isi

Pengertian Logaritma

Secara sederhana, logaritma mampu disebut selaku kebalikan dari perpangkatan atau eksponensial. Misalkan terdapat suatu perpangkatan atau eksponensial berupa a^c = b, kebalikan dari perpangkatan tersebut dapat disajikan dalam bentuk logaritma ^alog b = c dengan syarat a ≠ 0 dan a > 1.

Beberapa bentuk penulisan logaritma adalah ^alog b = c atau log_a b = c. Kedua bentuk penulisan logaritma tersebut yakni sama.

Berikut akan diterangkan tentang contoh penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari.

Logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari

Logaritma banyak dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Dahulu sebelum adanya kalkulator, logaritma dimanfaatkan dalam perkiraan eksponensial.

Selain itu terdapat faedah lain dari konsep logaritma. Konsep logaritma digunakan dalam perhitungan seismograf atau alat pengukur kekuatan gempa.

Satuan skala richter menggunakan konsep logaritma dalam perhitungannya. Dalam bidang astronomi juga dipakai dalam perhitungan untuk mengukur tingkat keterangan sebuah bintang.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai rumus logaritma.

Rumus Logaritma

Pada bab sebelumnya kalian sudah mengenali bentuk logaritma.

Bentuk logaritma dinyatakan dengan ^alog b = c.

Simbol a menyatakan bilangan pokok logaritma atau basis, b menyatakan range atau hasil dari logaritma, dan c ialah domain logaritma.

Selanjutnya akan dibahas tentang sifat logaritma.

Sifat Logaritma

Berikut ialah beberapa sifat logaritma.

^alog a = 1
^alog 1 = 0
^{a^n}log b^m = (m/n) x ^alog b
^{a^m}log b^m = ^alog b
^alog b = 1/^blog a
^alog b = (^klog b)/(^klog a)
a^(^alog b) = b
^alog b + ^alog c = ^alog (bc)
^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)
^alog b . ^blog c = ^alog c
^alog (b/c) = – ^alog (c/b)

Selanjutnya akan dijelaskan perihal persamaan logaritma. Baca juga Pythagoras.

Persamaan Logaritma

Bagian ini akan dibahas tentang persamaan logaritma.

Misalkan terdapat ^alog f(x) dan ^alog g(x).

Kedua bentuk tersebut dikatakan sama atau ^alog f(x) = ^alog g(x) jika f(x) = g(x) dengan syarat a ≠ 1, a > 0, f(x) > 0, dan g(x) > 0.

Selanjutnya akan dibahas perihal pertidaksamaan logaritma.

Pertidaksamaan Logaritma

Bagian ini akan dibahas perihal pertidaksamaan logaritma.

Misalkan terdapat ^alog f(x) dan ^alog g(x). Dari kedua bentuk tersebut ^alog f(x) > ^alog g(x) jika a > 0 maka f(x) > g(x). Jika 0 < a< 1 maka f(x) < g(x).

Selanjutnya akan diterangkan tentang tabel logaritma.

Tabel Logaritma

Tabel logaritma digunakan untuk membuat lebih mudah dalam perkiraan nilai logaritma.

Dengan menerapkan sifat-sifat logaritma yang sudah dipelajari pada bagian sebelumnya, maka akan dengan musah menyelesaikan perrhitungan logaritma.

Cara menggunakan tabel logaritma adalah dengan menentukan angka yang sesuai pada bab kolom paling kiri dan pada baris teratas.

Setelah kalian mendapatkan angka yang cocok pada baris dan kolomnya, carilah nilai logaritmanya sesuai dengan baris dan kolom tersebut.

Untuk mengenali kemampuanmu terkait logaritma, kerjakan latihan soal berikut. Baca juga Matriks.

Contoh Soal Logaritma

Pembahasan

Untuk melakukan soal di atas, kita harus mengetahui 3 sifat logaritma berikut ini:

Setelah mengerti ketiga sifat tersebut, kita mampu memakai ketiga sifat tersebut untuk menyelesaikan soal logaritma di atas. Pertama, kita dapat menggunakan sifat pertama dan sifat kedua untuk menyederhanakan pembilang dan penyebut pada soal logaritma di atas.

Setelah mendapatkan bentuk seperti di atas, kita mampu menggunakan sifat ketiga untuk menyederhanakannya kembali menjadi bentuk seperti di bawah ini.

Kita dapat memakai mempersempit bentuk log 10000, menjadi log 10⁴.

Hasil dari penyelesaian dari soal logaritma di atas adalah 1/4.

2. Tentukan hasil dari ³log81 – ³log8 + ³log72

Pembahasan

Untuk menuntaskan soal ini, kita mesti menggunakan sifat logaritma log a x b = log a + log b dan ^alog a = 1. Pertama, pecah soal logaritma tersebut menjadi lebih kecil seperti solusi di bawah ini.

=³log 81 – ³log 8 + ³log 72

=³log 3⁴ – ³log 8 + ³log (9×8)

=³log 3⁴ – ³log 8 + ³log 3² + ³log 8

=³log 3⁴ + ³log 3²

=4+2 = 6

Setelah melalui penyederhanaan memakai sifat logaritma, hasil dari soal logaritma di atas yakni 6.

3. Diketahui kalau ²log 5 = a dan ⁵log 3 = b. Maka nilai ¹⁵log 40

Pembahasan

Untuk menuntaskan problem di atas, terdapat beberapa sifat logaritma yang perlu diamati. Terdapat 4 sifat logaritma yang mesti diterapkan dalam soal ini.

^alog b = log b / log a
^alog an = n
log a x b = log a + log b
^alog b x ^blog c = ^alog c

Dalam melaksanakan soal tersebut, kita dapat menggunakan sifat logaritma keempat untuk mendapatkan hasil gres. Selanjutnya, menggunakan persamaan pertama, ketiga, dan kedua. Untuk lebih jelasnya, mari simak pembahasan soal logaritma berikut ini.

Penyelesaian soal logaritma di atas yakni

4. Jika ⁸log 5 = 2a, maka ⁵log 64 yakni

Pembahasan

Terdapat dua sifat logaritma yang bisa kamu gunakan untuk menyelesaikan soal tersebut yakni ^alog bⁿ = n ^alog b dan ^alog b = 1/ ^blog a . Langkah pertama yang dapat dijalankan yaitu menggunakan sifat kedua logaritma di atas untuk menuntaskan problem ini seperti pembahasan di bawah ini.

Kita masukkan ²log 5 = 6a dengan memakai sifat kedua. Sehingga didapatkan persamaan logaritma seperti di bawah ini.

Sehingga hasil selesai dari ⁵log 64 adalah 5/6a

5. Diketahui 3^2+x=90, maka nilai 3^2x yaitu

Pembahasan

3^2+x=90

3².3^x=3².10, kita dapat mencoret 3² pada kedua ruas sehingga menjadi bentuk seperti ini.

3^x = 10, bentuk ini mampu diubah menjadi bentuk loga
ritma ³log 10 = x

Karena yang hasil yang dicari yakni 3^2x, maka kita mampu mengalikan kedua ruas dengan 2 sehingga didapatkan 2x seperti bentuk persamaan logaritma di bawah.

2 ³log 10 = 2x,

³log 10² = 2x

3^2x = 100

Maka hasil dari 3^2x yakni 100.

6. Sederhanakan dan tuntaskan bentuk logaritma di bawah ini.

²log 16 = . . .
³log 9 + ³log 27 = . . .
²log 3 . ³log 32 = . . .
5^(⁵log 13) = . . .
²log 3 . ³log 4 . ⁴log 5 . ⁵log 6 . ⁶log 7 . ⁷log 8 = . . .

Pembahasan

²log 16 = ²log 2⁴ = 4 . ²log 2 = 4 x 1 = 4
³log 9 + ³log 27 = ³log 3² + ³log 3³ = 2 x (³log 3) + 3 (³log 3)

= 2 x 1 + 3 x 1 = 2 + 3 = 5

²log 3 . ³log 32 = ²log 32 = ²log 2⁵ = 5 . ²log 3 . ²log 2 = 5 x 1 = 5
5^(⁵log 13) = 13
²log 3 . ³log 4 . ⁴log 5 . ⁵log 6 . ⁶log 7 . ⁷log 8

= ²log 8 = ²log 2³ = 3 x ²log 2 = 3 x 1 = 3.

Kesimpulan

Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan atau eksponensial.
Logaritma disimbolkan dengan ^alog b = c.
Beberapa sifat logaritma yaitu

^alog a = 1

^alog b + ^alog c = ^alog (bc)

^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)

^alog b . ^blog c = ^alog c

Tabel logaritma dipakai untuk memudahkan perhitungan matematika. Dengan menerapkan sifat-sifat logaritma akan memudahkan dalam perhitungannya.

Demikian penjelasan tentang logaritma. Semoga menunjukkan faedah bagi kalian. Terima kasih. Baca juga Integral.

Persamaan kuadrat x² + (k - 1)x + 4 = 0 mempunyai satu akar real.