Apa Itu Konjungsi?
Konjungsi merupakan dua pernyataan atau kalimat terbuka yang dihubungkan dengan kata hubung “dan” serta dilambangkan dengan simbol “∧”. Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q sebagai berikut.
p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan
q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 terhadap adiknya
Maka kalimat konjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.
p ∧ q: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan dan memberi duit Rp5.000,00 kepada adiknya.
Tabel Kebenaran Konjungsi
|
p
|
q
|
p ∧ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Diberikan dua pernyataan berikut ini.
p: Mangga yakni nama buah (benar)
q: Mangga ialah buah berupa balok (salah)
Tentukan kalimat konjungsi dan nilai kebenarannya.
Jawab:
p ∧ q: Mangga ialah nama buah dan berupa balok, bernilai salah.
2. Kalimat “Unila ialah universitas negeri dan terletak di Lampung” bernilai benar. Mengapa demikian?
Jawab:
Kalimat di atas, mampu dipisahkan menjadi dua mirip berikut
p: Unila adalah universitas negeri (benar)
q: Unila terletak di Lampung (benar)
Karena keduanya mempunyai nilai kebenaran benar, kesimpulannya pasti benar.
3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut ini.
a) 4 + 2 = 6 dan ibukota Jawa Timur yaitu Surabaya.
b) -4 ialah bilangan bulat dan 4 yaitu bilangan prima.
Jawab:
a) Misalkan p: 4 + 2 = 6 dan q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya, maka:
● p: 4 + 2 = 6 bernilai benar (B)
● q: ibukota Jawa Timur yaitu Surabaya bernilai benar (B)
sebab p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
b) Misalkan p: -4 ialah bilangan lingkaran dan q: 4 ialah bilangan prima, maka:
● p: -4 ialah bilangan bundar bernilai benar (B)
● q: 4 adalah bilangan prima bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ∧ q salah.
4. Carilah nilai-nilai x biar kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.
1 – x = 2x – 5 dan 10 yakni bilangan komposit.
Jawab:
Kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 yaitu bilangan komposit” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 dan pernyataan q: 10 yaitu bilangan komposit. Pernyataan q bernilai benar. Agar kalimat tersebut menjadi disjungsi yang benar, maka kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 harus diubah menjadi pernyataan yang benar (perhatikan tabel nilai kebenaran konjungsi pada baris pertama).
Nilai x yang menjadikan kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 menjadi pernyataan yang benar adalah penyelesaian dari kalimat itu, yaitu selaku berikut.
⇒ 1 – x = 2x – 5
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2
Makara, kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 yaitu bilangan komposit” menjadi konjungsi yang benar untuk nilai x = 2.
5. Tentukan nilai kebenaran setiap konjungsi berikut ini.
a) 2log 8 = 3 dan 23 = 8
b) setiap bentuk akar yakni bilangan irasional dan √4 = ± 2
c) setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar yakni bilangan irasional dan √9 = 3
d) x2 – 1 = 0 mempunyai akar real dan x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real.
Jawab:
a) Misalkan p: 2log 8 = 3 dan q: 23 = 8, maka
● p: 2log 8 = 3 bernilai benar (B)
● q: 23 = 8 bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
b) Misalkan p: setiap bentuk akar yaitu bilangan irasional dan q: √4 = ± 2, maka:
● p: setiap bentuk akar adalah bilangan irasional bernilai benar (B)
● q: √4 = ± 2 bernilai benar (B)
karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
c) Misalkan p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional dan q: √9 = 3, maka:
● p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar adalah bilangan irasional bernilai salah (S)
● q: √9 = 3 bernilai benar (B)
sebab p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∧ q salah.
d) Misalkan p: x2 – 1 = 0 memiliki akar real dan q: x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real, maka:
● p: x2 – 1 = 0 memiliki akar real bernilai benar (B)
● q: x2 + 1 = 0 tidak memiliki akar real bernilai benar (B)
sebab p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
6. Misalkan p yakni pernyataan yang bernilai salah dan q yakni pernyataan yang bernilai benar, tentukan nilai kebenaran dari tiap pernyataan berikut.
a) p
b) q
c) p ∧ q
d) p ∧ q
e) p ∧ q
f) p ∧ q
Jawab:
Untuk memudahkan memilih nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
|
p
|
q
|
p
|
q
|
p ∧ q
|
p ∧ q
|
p ∧ q
|
p ∧ q
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
7. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.
p: √5 + √20 = 3√5 dan q: √5 yakni bilangan rasional
Tulislah pernyataan dari setiap rumus simbolis berikut ini.
a) p
b) p ∧ q
c) p ∧ q
d) q ∧ p
e) q ∧ p
f) q ∧ p
Jawab:
a) pernyataan dari p adalah selaku berikut.
p: tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5.
b) pernyataan dari p ∧ q yaitu sebagai berikut.
√5 + √20 = 3√5 dan √5 bukan bilangan rasional.
c) pernyataan dari p ∧ q yaitu selaku berikut.
Tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5 dan √5 adalah bilangan rasional.
d) pernyataan dari q ∧ p yaitu selaku berikut.
√5 yaitu bilangan rasional dan tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5.
e) pernyataan q ∧ p yakni selaku berikut.
√5 bukan bilangan rasional dan √5 + √20 = 3√5.
8. Carilah nilai x biar setiap kalimat berikut ini menjadi konjungsi yang benar.
a) 2x – 3 = 5 dan √40 = 2√10
b) 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6
c) 2x = 16 dan 2log 16 = 4
Jawab:
a) Terdapat suatu kalimat terbuka adalah p(x): 2x – 3 = 5 dan pernyataan q: √40 = 2√10. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
⇒ √40 = √4 × √10
⇒ √40 = 2 × √10
⇒ √40 = 2√10
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) mesti bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi yakni selaku berikut.
⇒ 2x – 3 = 5
⇒ 2x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
⇒ x = 4
Kaprikornus, supaya 2x – 3 = 5 dan √40 = 2√10 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x yaitu 4.
b) Terdapat suatu kalimat terbuka yakni p(x): 1 – 3x = 2x – 4 dan pernyataan q: log 2 + log 3 = log 6. Nilai kebenaran pernyataan q kita pastikan sebagai berikut.
⇒ log 2 + log 3 = log (2 × 3)
⇒ log 2 + log 3 = log 6
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai benar sehingga nilai x yang menyanggupi yaitu sebagai berikut.
⇒ 1 – 3x = 2x – 4
⇒ 2x + 3x = 1 + 4
⇒ 5x = 5
⇒ x = 5/5
⇒ x = 1
Jadi, supaya 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x yakni 1.
c) Terdapat sebuah kalimat terbuka adalah p(x): 2x = 16 dan pernyataan q: 2log 16 = 4. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
⇒ 2log 16 = 2log 24 = 4
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi yaitu sebagai berikut.
⇒ 2x = 16
Kaprikornus, agar 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x adalah 1.
9. Diketahui p(x): x2 – 5x + 4 = 0 dan q(x): 3 ≤ x ≤ 5 dengan x peubah pada himpunan bilangan asli A. Pernyataan p dan q dibuat dari p(x) dan q(x) dengan mengganti nilai x ∈ A. Carilah nilai x sehingga (p ∧ q) bernilai benar.
Jawab:
Himpunan solusi p(x): x2 – 5x + 4 = 0 yakni P = 1, 4
Himpunan solusi q(x): 3 ≤ x ≤ 5 adalah Q = 3, 4, 5
Irisan P dan Q ialah P ∩ Q = 4
(p ∧ q) benar, jika x ∈ P ∩ Q, bermakna nilai x = 4.