Kaidah pencacahan atau dlm bahasa inggris disebut sebagai (Counting Rules) merupakan suatu cara atau aturan untuk mengkalkulasikan seluruh kemungkinan yg mampu terjadi dlm suatu percobaan tertentu.
Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan merupakan sebuah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya insiden atau objek-objek tertentu yg muncul. Disebut sebagai pencacahan alasannya adalah kesannya berwujud suatu bilangan cacah.
Adapun beberapa sistem pada kaidah pencacahan antara lain yakni: sistem aturan pengisian daerah (Filling Slots), tata cara permutasi serta metode variasi. Berikut penjelasannya lebih lanjut.
Aturan Pengisian Tempat
Sebagai teladan ada suatu kasus di bawah ini:
Gilang mempunyai 3 kaos dgn warna putih, merah & biru & pula memiliki 2 celana panjang yg berwarna hitam & cokelat.
Tentukan beberapa kemungkinan Gilang akan menggunakan kaos & pula celana panjang!
Penyelesaian:
Ada 3 cara untuk memutuskan aneka macam kemungkinan Gilang memakai kaos & celana panjang.
c. Himpunan pasangan terurut
(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat), (Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)
Dari ketiga metode atau cara di atas, mampu kita simpulkan bahwa banyaknya cara Gilang menggunakan kaos & pula celana panjang ada sebanyak 6 cara = 3 × 2 = banyak cara memakai kaos × banyak cara menggunakan celana
panjang.
Aturan Perkalian
Apabila suatu kejadian mampu berjalan dlm n tahap yg saling berurutan di mana tahap 1 mampu berjalan dlm q1 cara, tahap 2 mampu berjalan dlm q2 cara, tahap 3 mampu terjadi dlm q3 cara demikian seterusnya hingga tahapan ke – n mampu berlangunsg dlm qncara maka peristiwa tersebut bisa terjadi dengan-cara berurutan dlm q1 × q2 × q3 × … × qn dgn cara berlainan.
Sebagai acuan:
Berapa banyaknya cara atau tata cara untuk memilih 3 pengurus OSIS yg terdiri atas ketua, sekretaris serta bendahara dr total 8 orang siswa?
Penyelesaian:
Misal ada 3 kawasan untuk mengisi posisi ketua, sekretaris & bendahara yg kita visualkan seperti di bawah ini:
Ketua Sekretaris Bendahara
Dari ke-8 siswa itu, seluruh berhak dipilih untuk menjadi ketua sehingga terdapat 8 cara untuk mengisi posisi ketua.
Sebab 1 orang sudah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yg berhak untuk diseleksi menjadi sekretaris sehingga terdapat 7 cara untuk mengisi posisi sekretaris.
Sebab 1 orang sudah terpilih menjadi ketua serta 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6 orang yg berhak untuk dipilih menjadi bendahara sehingga terdapat 6 cara untuk mengisi bendahara.
Ilustrasi mirip tabel di bawah ini:
| 8 | 7 | 6 |
Ketua Sekretaris Bendahara
Banyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS tersebut yaitu 8 × 7 × 6 = 336
Aturan Penjumlahan
Sebagai teladan ada sebuah insiden yg mampu terjadi dlm n cara yg berlainan (saling asing) di mana dlm cara pertama ada p1 kemungkinan hasil yg berlainan.
Pada cara kedua ada p2 kemungkinan hasil yg berlawanan. Pada cara ketiga ada p3kemungkinan hasil yg berlainan.
Serta demikian selanjutnya hingga cara yg ke – n ada pn kemungkinan hasil yg berbeda. Sehingga total banyak kemungkinan kejadian dlm kejadian tersebut yaitu p1 + p2 + p3 + … + pn dgn cara berbeda.
Sebagai acuan:
Putra seorang pelajar SMK swasta di Purwokerto. Putra memiliki tiga jenis alat angkutanyg ia kendarai dr rumah ke sekolah. Antara laing: sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) serta mobil (sedan, kijang, pick-up).
Pertanyaannya, berapa banyak cara Putra untuk berangkat dr rumah ke sekolah?
Penyelesaian:
Alat angkutanyg digunakan oleh Putra dr rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yakni sepeda atau sepeda motor atau mobil.
Tidak mungkin Putra mengendarai lebih dr satu kendaraan dlm waktu bersama-sama. Banyaknya cara Putra berangkat dr rumah ke sekolah merupakan banyak cara mengendarai sepeda + banyak cara mengenadari sepeda motor + banyak cara mengendarai kendaraan beroda empat = 2 + 3 + 3 = 8 cara.
Notasi Faktorial
Contohnya n ∈ himpunan bilangan orisinil. Notasi n! (dibaca: n faktorial) diartikan sebagai hasil kali dr bilangan-bilangan orisinil dengan-cara berurutan dr n sampai 1.
Maka kita tulis:
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1.
Diartikan sebagai 1! = 1 & 0! = 1.
Sebagai pola:
1. Tentukan nilai dr 5!.
Jawab:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
2. Tentukan nilai dr 2! + 3!.
Jawab:
2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12
Permutasi
Materi pertama yg akan kita bahas pada artikel ini yakni permutasi. Permutasi mempelajari tentang menyusun k objek dr n objek dgn cara memperhatikan urutan.
Ada tiga acuan permutasi yg sering timbul antara lain: permutasi dr unsur-unsur yg berlainan, permutasi dgn beberapa unsur yg sama, serta permutasi siklis. Selengkapnya simak baik-baik ulasan berikut ini.
Macam & Formula atau Rumus Permutasi
1. Permutasi dr n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas n elemen
Apabila terdapat unsur yg berbeda & diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yg berbeda dr n unsur tersebut merupakan P(n,n) = n! atau nPn = n!
Sebagai acuan:
Untuk menyambut suatu pertemuan utusan negara yg didatangi oleh lima negara. Panitia lalu akan memasang kelima bendera yg merupakan bendera dr lima negara yg hadir.
Banyak cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yakni?
Jawab:
Dari kelima bendera yg ada, memiliki arti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yg mungkin yakni:
5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.
2. Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas r unsur dr n elemen dgn r ≤ n
Untuk semua bilangan faktual n & r, dengan r≤n, banyaknya permutasi dr n objek yg diambil r objek pada satu waktu yaitu:
Catatan:
Syarat: urutan harus diamati.
Sebagai contoh:
Banyak cara untuk menentukan seorang ketua, sekertaris & pula bendahara dr 8 siswa yg tersedia yakni…
Jawab:
Banyak siswa, n = 8
Ketua, sekretaris serta bendahara (banyak opsi objek), r = 3
Sehingga:
3. Permutasi dr n unsur yg mengandung p.q & r unsur yg sama
Keterangan:
n = menandakan banyaknya elemen seluruhnya
k1 = menunjukan banyaknya elemen golongan 1 yg sama
k2 = menerangkan banyaknya elemen kelompok 2 yg sama
…
kt = menandakan banyaknya elemen kelompok kt yg sama
t = 1,2,3,…
Sebagai cottoh:
Banyaknya cara penyusunan untuk kata ”BASSABASSI” yakni…
Jawab:
Dari kata ”BASSABASSI”, banyak abjad adalah (n) = 10
k1 = aksara B = 2
k2 = aksara A = 3
k3 = aksara S = 4
k4 = aksara I = 1
4. Permutasi Siklis
Permutasi siklis merupakan suatu permutasi melingkar (urutan melingkar).
Atau sebuah cara atau metode guna memutuskan susunan unsur yg disusun dengan-cara siklis atau melingkar dgn cara memperhatikan urutannya. Banyaknya permutasi siklis dr n unsur berlainan yakni:
nPsiklis = (n-1)!
Sebagai contoh:
Dari 5 orang anggota keluarga akan secepatnya duduk mengelilingi satu meja bulat, banyaknya cara penyusunan yg bisa dibikin dr 5 orang tersebut yaitu…
Jawab:
Banyak orang (n) = 5, sehingga:
5Psiklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.
5. Permutasi berulang dr n unsur, tipe permutasi terdiri dr k unsur
Pn = nk
Contoh:
Banyak susunan dr 3 bilangan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 & 6 yakni…
Jawab:
- Banyaknya susunan 3 bilangan, yg artinya bilangan ratusan, k = 3
- Banyak angka yg akan disusun adalah n = 6
- Banyak susunan 3 bilangan dr angka 1, 2, 3, 4, 5, serta 6, sehingga:
P6 = 63 = 216 susunan.
Kombinasi
Kombinasi merupakan suatu pengelompokan dr sebagaian atau seluruh elemen dr suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Cara untuk memutuskan banyaknya variasi yakni dgn memakai rumus di bawah ini:
Sebagai teladan:
Kombinasi dr 2 elemen dr 3 huruf a,b,c yakni ab, ac, bc . Sementara ba, ca, cb tak termasuk ke dlm hitungan sebab dlm kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi yakni …
Binom Newton
Binom Newton berhubungan dgn bentuk dr (a + b)2 a. Di mana suku ke-r dr bentuk tersebut yaitu:
Suku ke – r = nCr-1 × an-r+1 × br-1
Sebagai gambaran:
koefisien dr x27 dari (x2 +2x)15 yakni:
nCr-1xan-r+1xbr-1 = 15 Cr-1x(x2)15-r+1x(2x)r-1
=15 Cr-1x(x30-2r+2)x(2x)r-1
Supaya x berpangkat 27 maka dibuat:
27 = (30 – 2r – 2) + (r – 1) → r = 4
Sehingga:
- suku ke – 4 = 15Cr-1x(x30-2r+2)x(2x)r-1 = 15C3x(x30-8+2)x(2x)4-1
.- Koefisiennya: 3640
Peluang Suatu Kejadian
Nilai-nilai kesempatan yg ditemukan berkisar antara 0 hingga dgn 1. Untuk masing-masing kejadian A, batas-batas dr nilai P(A) dengan-cara matematis dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
0 ≤ P (A) ≤ 1 dgn P(A) merupakan kesempatan suatu peristiwa A
Apabila P(A) = 0, maka insiden A merupakan peristiwa yg mustahil, maka harapannya tak lain yakni 0
Sebagai contoh:
Matahari yg terbit di sebelah selatan merupakan suatu peristiwa yg mustahil, sehingga peluangnya tak lain adalah = 0
Apabila P(A) = 1, maka insiden A merupakan peristiwa niscaya
Sebagai acuan:
Makhluk yg bernyawa niscaya nanti akan mati hal itu ialah suatu kejadian niscaya, sehingga peluangnya yaitu = 1
Terdapat pula peluang insiden yg bernilai antara 0 & 1, yg artinya peristiwa tersebut mungkin terjadi.
Sebagai acuan kesempatan seorang murid untuk menjadi juara kelas. Apabila L yaitu insiden pelengkap dr insiden A maka potensi dr kejadian L merpakan 1- potensi kejadian A.
Secara matematis dapat ditulis sebagai:
P (L) = 1 – P(A) atau mampu pula P(L) + P(A) = 1
Sebagai contoh:
Apabila peluang turun hujan pada hari ini ialah = 0,6 maka peluang untuk tak turun hujan pada hari ini ialah = 1 – P (hujan)
= 1 – 0,6
= 0,4
1. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dalah sebuah peristiwa merupakan suatu harapan banyaknya muncul pada suatu insiden dr sejumlah percobaan yg dilaksanakan.
Secara matematis mampu dituliskan mirip di bawah ini:
Frekuensi keinginan = P(A) x banyak percobaan
Sebagai acuan:
Dalam percobaan pengetosan suatu dadu yg dilaksanakan sebanyak 60 kali, maka :
Peluang muncul mata 2 adalah = 1/6
Frekuensi cita-cita timbul mata 2 ialah = P (mata 2) x banyak percoban
= 1/6 x 60
= 10 kali
2. Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk merupakan dua atau lebih insiden yg dioperasikan sehingga akan membentuk suatu peristiwa yg gres.
Sebuah insiden K serta kejadian embel-embel berbentukK’ memenuhi persamaan:
P(K) + P(K’) = 1 atau P(K’) = 1 – P(K)
Penjumlahan Peluang
1. Kejadian Saling Lepas
Terdapat buah kejadian A & B bisa disebut selaku insiden saling lepas kalau tak ada satupun elemen yg terjadi pada kejadian A yg sama dgn elemen yg berjalan pada kejadian B.
Sehingga peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumus untuk insiden saling lepas yakni:
P(A u B) = P(A) + P(B)
2. Kejadian Tidak Saling Lepas
Maksutdnya yakni elemen A yg sama dgn elemen B, rumus matematikanya bisa kita tuliskan seperti di bawah ini:
P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)
3. Kejadian Bersyarat
Kejadian bersyarat mampu berlangsung jikalau insiden A mampu mempengaruhi munculnya peristiwa B maupun sebaliknya. Maka dr itu rumusnya bisa kita tuliskan mirip di bawah ini:
P(A n B) = P(A) x P(B/A)
atau
P(A n B) = P(B) x P(A/B)
Sebab kejadiannya itu saling kuat, maka pula mampu memakai rumus:
P(A n B) = P(A) x P(B)
Contoh Soal & Pembahasan Kaidah Pencacahan
Setelah mengerti materi perihal kaidah pencacahan, kini saatnya kita belajar menyelesaikannya dlm beberapa soal.
Berikut akan kami berikan teladan soal sekaligus pembahasan mengenai kaidah pencacahan, mulai dr peluang, hingga permutasi & yg lainnnya.
Soal 1.
Terdapat 3 orang anak yg akan duduk bareng di satu kursi yg memanjang. Ada berapakah cara mereka untuk duduk bersama pada bangku tersebut?
Jawab:
Ketiga anak akan duduk bersama, maka kita akan memakai rumus permutasi P(3,3)
P(3,3) = 3 = 2x2x1 = 6
Sehingga ketiga anak tersebut mampu duduk bareng dgn memakai 6 cara.
Soal 2.
Ada berapakan cara untuk menyusun dua aksara dr satu kata “HIDUP”?
Jawab:
Cara untuk menyusun 2 karakter dr 5 huruf, maka kita pula akan memakai rumus permutasi P(5,2)
P(5,2) = (5!)/(5-2) =(5x4x3!)/(3)! = 5×4 =20
Sehingga cara menyusun dua abjad dr satu kata HIDUP ada sebanyak 20 cara.
Soal 3.
Suatu abjad dipilih dengan-cara abstrak dr huruf-karakter pada tulisan ” JURAGAN”. Maka tentukanlah kesempatan terpilihnya huruf A!
Jawab:
Banyak kejadian yg dimaksud yakni = 2 alasannya karakter A terdapat 2 di dlm kata “JURAGAN”
Banyak kejadian yg mungkin adalah = 7 alasannya adalah jumlah karakter ada 7
Sehingga P (huruf A) yakni = 2/7
Soal 4.
Terdapat sebuah kotak yg berisi 5 bola merah serta 4 bola hijau di dalamnya. Jika dua buah bola diambil satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah potensi bola yg terambil merupakan bola merah pada pengambilan pertama serta bola hijau pada pengambilan kedua!
Jawab:
Pada pengambilan bola pertama tersedia sebanyak 5 bola yg berwarna merah dr 9 bola yg ada.
Sehingga P(M) = 5/9
Pada pengambilan kedua terdapat 4 bola hijau dr 8 bola yg tersisa (dengan syarat bola merah sudah terambil).
Sehingga P(H/M) = 4/8
Sebab kejadiannya saling berpengaruh, maka memakai rumus:
P(M n H) = P(M) x P(H/M)
P(M n H) = 5/9 x 4/8 = 5/18
Soal 5.
Pada percobaan melemper dua buah dadu, pastikan peluang munculnya angka genap pada dadu pertama serta angka ganjil prima pada dadu kedua!
Jawab:
Misal A = peristiwa munculnya mata dadu genap di dadu pertama = 2,4,6 sehingga P(A) = 3/6
Misal B = kejadian hadirnya mata dadu ganjil prima di dadu kedua = 3,5 maka P(B) = 2/6
Sebab kejadian A tak akan besar lengan berkuasa pada peristiwa B maka menggunakan rumus:
P(A n B) = P(A) x P(B)
P(A n B) = 3/6 x 2/6 = 1/6
Demikianlah ulasan singkat perihal Kaidah Pencacahan yg dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas tentang Kaidah Pencacahan dapat kalian jadikan selaku bahan berguru kalian.