Soal Sifat Akar Persamaan Kuadrat – Dalam bimbingan pembelajaran matematika kali ini, kita akan mempelajari materi ihwal sifat-sifat akar persamaan kuadrat.
Akar-akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan real (sama atau berlainan), bilangan imajiner, bilangan rasional maupun bilangan irasional.
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan positif, bilangan yang bernilai negatif ataupun bilangan-bilangan yang serupa besar dan juga bilangan-bilangan yang berkebalikan.
Daftar Isi
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Suatu persamaan kudarat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar berupa x1 dan x2 dan nilai determinan (D) = b2 – 4.a.c
Nah, dari akar-akar dan nilai determinan suatu persamaan kuadrat, kita mampu mengdeskripsikan jenis-jenis akar persamaan kuadrat yang dihubungkan dengan nilai diskriminan.
| Hubungan Nilai Diskriminan dengan Jenis Akar Persamaan Kuadrat | |
|---|---|
| Nilai Diskriminan | Jenis Akar Persamaan Kuadrat |
| D > 0 | Dua akar real yang berlawanan Jika D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional Jika D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional |
| D = 0 | Dua akar yang serupa (kembar) |
| D < 0 | Tidak mempunyai akar real atau kedua akar tidak real (imajiner) |
Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Berikut ini adalah tabel korelasi antara akar-akar x1 dan x2 pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
| Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat | |||
|---|---|---|---|
| Hubungan | Akar-Akar | Syarat | |
| x1 | x2 | ||
| Kedua akar real posifit | + | + | x1 + x2 > 0 x1 . x2 > 0 D ≥ 0 |
| Kedua akar real negatif | – | – | x1 + x2 < 0 x1 . x2 > 0 D ≥ 0 |
| Kedua akar bertentangan tanda | + – |
– + |
x1 . x2 < 0 D > 0 |
| Kedua akar real berlawanan | x1 = -x2 | x1 + x2 = 0 x1 . x2 < 0 D > 0 |
|
| Akar yang satu kebalikan akar yang lain | x1 = 1 x2
|
x1 . x2 = 1 D > 0 |
|
Contoh Soal
Soal No.1
Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat di bawah ini:
A. 2x2 – 7x + 6 = 0
B. x2 – 6x + 12 = 0
C. x2 – 4x + 1 = 0
Pembahasan
A.2x2 – 7x + 6 = 0
a = 2
b = -7
c = 6
Lalu kita cari nilai determinannya :
⇔ D = b2 – 4.a.c
⇔ D = (–7)2 – 4(2)(6)
⇔ D = 49 – 48
⇔ D = 1
Makara akar-akar persamaan kuadrat di atas ialah real yang berlainan dengan kategori rasional
B. x2 – 6x + 12 = 0
a = 1
b = -6
c = 12
Lalu kita cari nilai determinannya :
⇔ D = b2 – 4.a.c
⇔ D = (–6)2 – 4(1)(12)
⇔ D = 36 – 48
⇔ D = -12
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas ialah tidak nyata (imajiner)
C. x2 – 4x + 1 = 0
a = 1
b = -4
c = 1
Lalu kita cari nilai determinannya :
⇔ D = b2 – 4.a.c
⇔ D = (–4)2 – 4(1)(-1)
⇔ D = 16 + 4
⇔ D = 20
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas yaitu real yang berlawanan dengan kategori irrasional
Soal No.2
Carilah nilai m jikalau persamaan kuadrat (m + 1)x2 − 8x + 2 = 0 mempunyai akar kembar
Pembahasan
a = m + 1
b = −8
c = 2
Agar kedua akar memiliki akar kembar :
⇔ D = 0
⇔ b2 − 4.a.c = 0
⇔ (-8)2 − 4.(m + 1).2 = 0
⇔ 64 − 8m − 8 = 0
⇔ 56 − 8m = 0
⇔ −8m = −56
⇔ m = 7
Jadi nilai m ialah m = 7
Soal No.3
Suatu persamaan kuadrat (2p + 1)x2 + 25x + p2 – 14 = 0 memiliki akar-akar yang saling berkebalikan. Jika nilai p > 0, tentukan nilai p yang memenuhi syarat > 0 ?
Pembahasan
a = 2p + 1
b = 25
c = p2 − 14
Karena kedua akar saling berkebalikan (lihat tabel), maka:
⇔ x1 . x2 = 1
⇔
= 1
⇔ c = a
Masukkan (substitusi) nilai c dan a :
⇔ c = a
⇔ p2 − 14 = 2p + 1
⇔ p2 − 14 – 2p – 1 = 0
⇔ p2 − 15 – 2p = 0
⇔ (p − 5)(p + 3) = 0
⇔ p = 5 atau p = −3
Dalam soal disebutkan nilai p > 0, maka nilai p yang menyanggupi ialah p = 5