Integral Trigonometri - Blog Ilmu Pengetahuan

Daftar Isi

Pengertian Integral fungsi trigonometri

Integral trigonometriatau lebih dikenal dengan Integral fungsi trigonometri adalah integral yang memuat fungsi trigonometri. Dimana integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan fungsi. Dalam proses menentukan integral trigonometri tentu tidak jauh berbeda dengan integral tak tentu dan integral tertentu yang sudah saya bahas pada postingan sebelumnya.

Rumus – rumus Dasar Integral Trigonometri

Dibawah ini rumus-rumus dasar yang sering digunakan dalam mencari solusi integral trigonometri,

□ Rumus-rumus Dasar Integral Trigonometri I

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/02/integral-trigonometri.html

□ Rumus-rumus Dasar Integral Trigonometri II

Rumus-rumus dasar integral trigonometri diatas harus selalu di ingat ya! Tentu tidak ada metode khusus tentang cara menghapalnya, tergantung cara masing-masing individu, tapi kalau saya sendiri cara nya banyak mengerjakan latihan soal!

Contoh Soal dan Pembahasan Integral tak tentu Fungsi Trigonometri

Tentukanlah solusi integral trigonometri dibawah ini !

1. $\int(8\, sin\, x+2\, cos\, x)dx$

[Penyelesaian]
$\\=\int(8\, sin\, x+2\, cos\, x)dx \\ \\=-8\, cos\, x+2\, sin\, +c$

2. $\int sin^3x\, cosx\, dx$

[Penyelesaian]

Soal ini merupakan contoh penerapan rumus dasar integral trigonometri II No.5,
$\\=\int sin^3x\, cosx\, dx \\\\=\frac{1} {3+1}\, sin^{3+1}x+c \\\\=\frac{1} {4}\, sin^4x+c$

3. $\int sin^3x\, dx$

[Penyelesaian]

Soal ini merupakan contoh penerapan rumus dasar integral trigonometri II No.6,
$\\=\int sin^3x\, dx \\\\= \int sin\, x.sin^2x\, dx \\\\=\int sin\, x(1-cos^2x)\, dx$
$\\=\int(sin\, x-cos^2\, sin\, x) \, dx \\\\=-cos\, x+\frac{1}{2+1}\, cos^{2+1}\, x+c \\\\=-cos\, x+\frac{1}{3}\, cos^3\, x+c$

4. $\int \frac{cos\, x}{\sqrt{sin\, x}}\, dx$

[Penyelesaian]

Soal ini merupakan contoh penerapan rumus dasar integral trigonometri II No.5,
$\\=\int \frac{cos\, x}{\sqrt{sin \, x}}\, dx \\\\=\int sin^{-\frac{1}{2}}\, x \, cos\, x\, dx \\\\=\frac{1}{\frac{-1}{2} +1}\, sin^{\frac{-1}{2}+1}\, x+c$
$\\=2\, sin^{\frac{1}{2}}\, x+c \\\\=2\sqrt{sinx} +c$

5. $\int 6\, sin\, 13x\, cos\, 5x\, dx$

[Penyelesaian]

Gunakan rumus perkalian trigonomteri sinus dan cosinus, sehingga:
$\\=\int 6\, sin\, 13x\, cos\, 5x\, dx \\\\=6.\frac{1}{2}\int\left \{ sin(13x+5x)+sin(13x-5x) \right \}dx \\\\=3\, \int\(sin\, 18x+sin\, 8x ) \, dx$
$\\=3\, (-\frac{1}{18}\, cos\, 18x-\frac{1}{8}\, cos\, 8x)\, +c \\\\=-\frac{1}{6}\, cos\, 18x-\frac{3}{8}\, cos\, 8x+c$

6. $\int cos\, 2x\, cos\, 3x\, dx$

[Penyelesaian]

Gunakan rumus perkalian trigonomteri sinus dan cosinus, sehingga:
$\\= \int cos\, 2x\, cos\, 3x\, dx \\\\=\frac{1}{2}\int \left \{ cos(2x+3x)+cos(2x-3x) \right \}dx \\\\=\frac{1} {2}\int(cos\, 5x+cos\, x)\, dx \\\\=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{5}sin\, 5x+sin\, x \right )+c$
$=\frac{1} {10}sin\, 5x+\frac{1}{2}sin\, x+c$

7. $\int (sin\, x+cos\, x)^2 \, dx$

[Penyelesaian]

Gunakan rumus jumlah kuadrat suku dua,
$\\= \int (sin\, x+cos\, x)^2 \, dx \\\\=\int (sin^2x+2sin x\, cosx+cos^2x)dx \\\\=\int(1+2sinx \, cosx)\, dx$
$\\=\int (1+sin\, 2x)\, dx \\\\=x-\frac{1}{2}\, cos\, 2x+c$

8. $\int(tan \, x+cot\, x)^2 \, dx$

[Penyelesaian]

Seperti soal no 7 gunakan rumus jumlah kuadrat suku dua,
$\\=\int(tan \, x+cot\, x)^2 \, dx \\\\=\int(tan^2x+2\, tanx \, cotx+cot^2x)\, dx \\\\=\int\left \{ (sec^2x-1)+(2. \, tanx.\, \frac{1}{tanx})+(cosec^2x-1) \right \}dx$
$\\= \int (sec^2x-1+2+cosec^x-1)\, dx \\\\=\int (sec^2x+cosec^2x)\, dx \\\\= tan\, x-cot\, x+c$

9. $\int\frac {cos\, 2x}{sin\, x-cos\, x}\, dx$

[Penyelesaian]

Pada soal no 9 ini rumus-rumus pendukung yang dipakai adalah sudut rangkap dua cosinus dan rumus selisih kuadrat,

$\\=\int \frac{cos\, 2x}{sin\, x-cos\, x}\, dx \\\\=\int \frac{(cos^2x- sin^2x)}{(sin\, x-cos\, x)}\, dx \\\\=\int \frac{(cos\, x+ \, sin\, x)(cos\, x-sin\, x)}{(sin\, x-cos\, x)}\, \, dx$
$\\=- \int \frac{(cos\, x+\, sin\, x)(sin\, x-cos\, x)}{(sin \, x-cos\, x)}\, \, dx \\\\=-\int(cos\, x+sin \, x)\, dx \\\\=-(sin\, x-cos\, x)+c$

Integral Trigonometri Tertentu

Seperti halnya integral tertentu aljabar metode penyelesaian soal integral trigonometri tertentu juga tidak jauh berbeda, banyak rumus-rumus trigonometri yang harus anda ingat! Agar lebih jelas perhatikan contoh soal dibawah ini.

Soal-soal dan Pembahasan Integral Trigonometri Tertentu

Hitunglah integral trigonometri dibawah ini!

1. $\int_{0}^ {\frac{\pi}{4}}4\, cos(2x-\pi)\, dx$

[Penyelesaian]
$\\=\int_{0} ^{\frac{\pi}{4}}4\, cos(2x-\pi)\, dx \\\\=\left [ 4.\frac{1}{2}.sin (2x-\pi) \right ]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\\\=2\left [ sin(2x-\pi) \right ]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$\ \=2\left [ sin(\frac{\pi}{2}-\pi)-sin(-\pi) \right ] \\\\=2(-1-0) \\\\=-2$

2. $\int_{\frac {\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}16\, cos^22x\, dx$

[Penyelesaian]
$\\=\int_ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}16\, cos^22x\, dx \\\\=16\int_{\frac{\pi}{4}}^ {\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos\, 4x}{2}\, \, dx \\\\=8\int_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}}(1+cos\, 4x)\, dx$
$\ \=8\left [ x+\frac{1}{4}sin\, 4x \right ]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \\\\=8\left [ (\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}.sin\, 2\pi)-(\frac {\pi}{4}+\frac{1}{4}.sin\, \pi) \right ] \\\\=8(\frac{\pi}{2}-\frac {\pi}{4})=2\pi$

3. $\int_{0}^ {\frac{\pi}{6}}sin^43x\,\, cos^2 3x\,\, dx$

[Penyelesaian]
$\\=\int_{0} ^{\frac{\pi}{6}}sin^43x\,\, cos^2 3x\,\, dx \\\\=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (sin\, 3x\, cos3x)^2.\, sin^23x\, dx \\\\=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\frac{1}{2}sin\, 6x)^2.\, sin^23x\, dx$
$\\=\frac{1} {4}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}sin^26x.\, \frac{1}{2}.\, (1-cos \, 6x)\, dx \\\\=\frac{1}{8}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(sin^26x-sin^26x\, cos \, 6x)\, dx \\\\=\frac{1}{8}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}sin^26x\, dx-\frac{1} {8}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(sin^26x\, cos\, 6x)\, dx$
$\\=\frac{1} {16}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(1-cos\, 12x)\,dx-\frac{1}{24}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}sin^36x \, dx \\\\=\frac{1}{16}\left [ x-\frac{1}{12}.sin\, 12x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{6}}-\frac{1}{24}\left [ sin^36x \right ]_{0} ^{\frac{\pi}{6}} \\\\=\frac{\pi}{96}$

4. $\int_{0}^ {\frac{\pi}{4}}tan^2x\, dx$

[penyelesaian]
$\\=\int_{0} ^{\frac{\pi}{4}}tan^2x\, dx \\\\=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(sec^2x-1)\, dx \\ \\=\left [ tanx-x \right ]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$\\= \left ( tan\, \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4} \right )-\left ( tan\, 0-0 \right ) \\\\=1-\frac{\pi}{4}$

Terima kasih sudah berkunjung, ada yang kurang atau materi yang salah mohon kritik dan saran di bagian komentar, semoga bermanfaat materi integral trigonometri ini.

Materi Terkait :

□ Integral Tak Tentu

□ Integral parsial

□ Integral Kalkulus

□ Integral substitusi

□ Integral tertentu