Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional ialah pernyataan beragam yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q. Bagian “jika p” dinamakan alasan atau karena dan bab “maka q” dinamakan kesimpulan. Implikasi “bila p maka q” mampu ditulis dengan lambang selaku berikut.
|
p ⇒ q
|
(dibaca: jika p maka q)
Dalam banyak sekali penerapan, implikasi p ⇒ q dapat dibaca:
(i) p hanya kalau q
(ii) q bila p
(iii) p syarat cukup bagi q
(iv) q syarat perlu bagi p
Nilai kebenaran implikasi p ⇒ q mampu ditentukan dengan memakai definisi berikut.
|
p ⇒ q dinyatakan salah, jikalau p benar dan q salah.
Dalam kemungkinan yang lainnya p ⇒ q dinyatakan benar.
|
Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p ⇒ q mampu ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.
Tabel Nilai Kebenaran Implikasi p ⇒ q
|
p
|
q
|
p ⇒ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
Sekarang, agar kalian lebih paham mengenai desain implikasi dalam nalar matematika, silahkan kalian simak beberapa teladan soal dan pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut ini.
a) Jika 3 + 2 = 5, maka 5 yaitu bilangan prima.
b) Jika 9 yakni bilangan genap, maka Surabaya yakni ibukota Jawa Timur.
c) Jika Semarang ibukota Jawa Tengah, maka Medan ibukota Sumatra Barat.
d) Jika log 3 + log 5 = log 8, maka 103 + 105 = 108.
Jawab:
a) Misalkan p: 3 + 2 = 5 dan q: 5 yakni bilangan prima, maka:
● p: 3 + 2 = 5 bernilai benar (B)
● q: 5 adalah bilangan prima bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
b) Misalkan p: 9 yaitu bilangan genap dan q: Surabaya yaitu ibukota Jawa Timur, maka:
● p: 9 adalah bilangan genap bernilai salah (S)
● q: Surabaya adalah ibukota Jawa Timur bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
c) Misalkan p: Semarang ibukota Jawa Tengah dan q: Medan ibukota Sumatra Barat, maka:
● p: Semarang ibukota Jawa Tengah bernilai benar (B)
● q: Medan ibukota Sumatra Barat bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.
d) Misalkan p: log 3 + log 5 = log 8 dan q: 103 + 105 = 108, maka:
p: log 3 + log 5 = log 8 bernilai salah (S)
q: 103 + 105 = 108 bernilai salah (S)
Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.
Sekarang mari kita uraikan kembali solusi dari contoh soal di atas.
Implikasi p ⇒ q dibaca jika p maka q dengan tiap bab mengandung pemahaman sebagai berikut.
■ Jika p: menyatakan argumentasi
■ Maka q: menyatakan kesimpulan
Dari penyelesaian teladan soal 1, kita dapatkan data sebagai berikut.
a) argumentasi benar, kesimpulan benar, maka implikasi bernilai benar.
b) argumentasi salah, kesimpulan benar, maka implikasi bernilai benar.
c) argumentasi benar, kesimpulan salah, maka implikasi bernilai salah.
d) argumentasi salah, kesimpulan salah, maka implikasi bernilai benar.
Dari pola-contoh tersebut, maka tabel nilai kebenaran implikasi mampu juga kita nyatakan dalam bentuk berikut ini.
Tabel Nilai Kebenaran Implikasi p ⇒ q
|
p (argumentasi)
|
q (kesimpulan)
|
p ⇒ q (implikasi)
|
|
Benar
|
Benar
|
Benar
|
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
|
Salah
|
Benar
|
Benar
|
|
Salah
|
Salah
|
Benar
|
Seperti halnya dalam disjungsi dan konjungsi, dalam implikasi juga ditemui kalimat yang berbentuk “p(x) ⇒ q” atau “p ⇒ q(x)”, dengan p(x) dan q(x) ialah kalimat-kalimat terbuka, p dan q merupakan pernyataan-pernyataan.
Kalimat-kalimat “p(x) ⇒ q” atau “p ⇒ q(x)”, dapat diubah menjadi implikasi yang benar/salah dengan cara memilih nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x). Untuk lebih jelasnya, simaklah acuan soal berikut ini.
Contoh Soal 2:
Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi implikasi yang benar.
Jika x – 3 = 4 maka 4 yakni bilangan prima.
Jawab:
Kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 ialah bilangan prima” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇒ q” dengan p(x): x – 3 = 4 merupakan sebuah kalimat terbuka dan q: 4 ialah bilangan prima merupakan suatu pernyataan.
Agar kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 yakni bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 harus diubah menjadi pernyataan yang salah, alasannya adalah pernyataan q sudah terperinci bernilai salah (amati tabel nilai kebenaran implikasi).
Nilai x yang menimbulkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 menjadi pernyataan yang salah ditentukan selaku berikut.
x – 3 = 4
x = 4 + 3
x = 7
Apabila nilai x = 7 maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai benar. Karena kita membutuhkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai salah, maka nilai x yang menyanggupi ialah x ≠ 7.
Kaprikornus, kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 yaitu bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar untuk x ≠ 7.
Contoh Soal 3:
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a) Jika 22 × 23 = 25 maka 2log 32 = 5.
b) Jika 3 aspek dari 6 maka 6 habis dibagi 2.
c) Jika log 10 = 1 maka log 20 = 2
d) Jika 5 yakni bilangan genap maka 5 + 1 adalah bilangan ganjil.
e) Jika x2 < 0 maka x2 + 1 > 0.
Jawab:
a) Misalkan p: 22 × 23 = 25 dan q: 2log 32 = 5, maka:
● p: 22 × 23 = 25 bernilai benar (B)
● q: 2log 32 = 5 bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
b) Misalkan p: 3 aspek dari 6 dan q: 6 habis dibagi 2, maka:
● p: 3 aspek dari 6 bernilai benar (B)
● q: 6 habis dibagi 2 bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
c) Misalkan p: log 10 = 1 dan q: log 20 = 2, maka
● p: log 10 = 1 bernilai benar (B)
● q: log 20 = 2 bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sementara q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.
d) Misalkan p: 5 adalah bilangan genap dan q: 5 + 1 yakni bilangan ganjil, maka:
● p: 5 yaitu bilangan genap bernilai salah (S)
● q: 5 + 1 yakni bilangan ganjil bernilai salah (S)
Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.
e) Misalkan p: x2 < 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:
● p: x2 < 0 bernilai salah (S)
● q: x2 + 1 > 0 bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.
Misalkan p yakni pernyataan yang bernilai benar dan q yakni pernyataan yang bernilai salah, pastikan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut ini.
a) p ⇒ q
b) p ⇒ q
c) p ⇒ q
d) p ⇒ q
e) (p ⇒ q)
f) ( p ⇒ q)
Jawab:
Untuk memudahkan memilih nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
|
p
|
q
|
p
|
q
|
p ⇒ q
|
p ⇒ q
|
p ⇒ q
|
p ⇒ q
|
(p ⇒ q)
|
( p ⇒ q)
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
Contoh Soal 5:
Carilah nilai-nilai x biar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai benar.
a) Jika 1 – 3x = 4 maka 2 ialah bilangan komposit.
b) Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2.
Jawab:
a) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): 1 – 3x = 4 dan suatu pernyataan q: 2 ialah bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q yakni selaku berikut.
q: 2 yaitu bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 2 bukan tergolong bilangan komposit. Bilangan komposit yakni bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) mesti bernilai salah. Sehingga nilai x yang memenuhi yakni selaku berikut.
1 – 3x = 4
-3x = 4 – 1
-3x = 3
x = 3/(-3)
x = -1
alasannya adalah p(x) mesti bernilai salah, maka x mesti bernilai selain bilangan -1. Kaprikornus, agar kalimat “Jika 1 – 3x = 4 maka 2 ialah bilangan komposit” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x ≠ -1.
b) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): x2 ≠ 4 dan sebuah pernyataan q: √4 = ±2. Nilai kebenaran pernyataan q adalah benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah. Sehingga nilai x yang menyanggupi adalah sebagai berikut.
x2 ≠ 4
x ≠ √4
x ≠ ±2
■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai benar, maka nilai x ≠ ±2.
■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai salah, maka nilai x = ±2.
Apabila x ≠ ±2 dan x = ±2 digabungkan maka himpunan penyelesaiannya akan menjadi x ∈ R.
Jadi, supaya kalimat “Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x yang menyanggupi adalah x ∈ R.
Contoh Soal 6:
Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi implikasi yang salah.
a) Jika 5 – 2x = 1, maka √9 yaitu bilangan irasional.
b) Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11.
Jawab:
a) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = 1 dan sebuah pernyataan q: √9 yakni bilangan irasional. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
√9 = ±3 (bilangan rasional)
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang menyanggupi adalah sebagai berikut.
5 – 2x = 1
2x = 5 – 1
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Makara, agar kalimat “Jika 5 – 2x = 1, maka √9 ialah bilangan irasional” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang menyanggupi yakni x = 2.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – 5 = 2x + 1 dan sebuah pernyataan q: log 5 + log 6 = log 11. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
log 5 + log 6 = log (5 × 6)
log 5 + log 6 = log 30
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi yakni selaku berikut.
4x – 5 = 2x + 1
4x – 2x = 1 + 5
2x = 6
x = 6/2
x = 3
Jadi, supaya kalimat “Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang menyanggupi adalah x = 3.