Grafik fungsi rasional - Blog Ilmu Pengetahuan

Daftar Isi

Menggambar Grafik fungsi rasional

Grafik fungsi rasional atau fungsi rasional atau fungsi pecahan yaitu suatu fungsi dengan bentuk pecahan, bentuk umum fungsi tersebut adalah:

$y=f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$

Dengan p(x) dan q(x) merupakan suatu polinom (suku banyak) , q(x)≠0 dan penyebutnya bukan fungsi konstan. Grafik fungsi rasional domainnya meliputi semua bilangan real R kecuali pembuat nol q(x) .

Domain grafik fungsi rasional dapat dituliskan , D_f= R – q(x) = 0

Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan contoh fungsi rasional dibawah ini:

Contoh 1:
$\\(1).\, y=f(x)=\frac{1}{(x-5)^2}\\\\(2).\, y=f(x)=\frac{1}{x-1}\\\\(3).\, y=f(x)=\frac{3x-1}{x+1}\\\\(4).\, y=f(x)=\frac{x^2-5x+6}{4}$

Dari contoh 1, No 4 bukanlah merupakan fungsi rasional karena q(x) = 4 merupakan fungsi konstan.

Bentuk-bentuk fungsi rasional

Secara umum fungsi rasional dapat dikelompokkan menjadi empat jenis, yaitu:

$\\(a). \, y=\frac{p(x)}{q(x)},\, dengan\, p(x)\, dan \, q (x)\,fungsi \,linier\\\\(b).\, y=\frac{p(x)}{q(x)},\, dengan\, p (x)\,fungsi \,linier\, dan \, q(x)\,fungsi \,kuadrat\\\\(c).\,y=\frac {p(x)}{q(x)},\, dengan\, p(x)\, dan \, q(x)\,fungsi \,keduanya \, fungsi \,kuadrat \\\\(d).\, y=\frac{p(x)}{q(x)},\, dengan \, p(x)\, dan \, q(x)\,merupakan \,polinom$

Dengan mengenali bentuk-bentuk fungsi rasional akan lebih mudah dalam menggambar grafik fungsi rasionalnya.

Persamaan asimtot grafik fungsi rasional

Sebelum pembahasan lebih jauh, sebaiknya diketahui terlebih dahulu tentang definisi asimtot.

Asimtot adalah suatu garis lurus atau garis lengkung yang didekati oleh grafik fungsi sehingga dapat diambil suatu titik pada lengkungan itu yang jaraknya dapat di buat sekecil-kecilnya.

Jenis-jenis asimtot grafik fungsi rasional, yaitu :

Asimtot datar
Asimtot tegak
Asimtot miring

Ada beberapa Cara dalam menentukan persamaan asimtot grafik fungsi rasional yaitu,

Dengan menggunakan konsep limit fungsi atau merubah bentuk fungsi ke dalam bentuk di bawah ini:

Contoh 2:

Tentukanlah asimtot dari fungsi,

[Cara 1]

menggunakan konsep limit fungsi:
$\\ \ast Menentukan\, asimtot\, datar\,, syarat\, x\rightarrow \infty \\\\y=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2x+1}{x-3} \right )=2\\\\\ast Menentukan\, asimtot\, datar\,, syarat \, penyebut=0\\\\x-3=0\Rightarrow x=3\\\\\therefore {\color{Red} asimtotnya \, ,x=3\, dan\, y=2}$

[Cara2]

Merubah bentuk fungsi menjadi bentuk 1, maka persamaan grafik fungsi rasional diatas menjadi:

Setelah itu tentukan asimtot tegak dan asimtot datar grafik:

Contoh 2:

Tentukan asimtot dari , $y=\frac{1}{x^2-4x+4}$

[penyelesaian]

menggunakan konsep limit fungsi :
$\\\triangleright asimtot\, datar,\,x \rightarrow \infty \\\\y=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{x^-4x+4} \right )=0\\\\\triangleright asimtot\, tegak,\, y\rightarrow \infty \\x^2-4x+4=0\\(x-2)^2=0\\x=2\\\therefore asimtotnya:\, x=2\, dan\, y-0$

Contoh 3:

Tentukan asimtot dari, $y=\frac{2x^2-20x+32}{x^2-16x+60}$

[Penyelesaian 1]

menggunakan konsep limit fungsi :
$\\\triangleright asimtot\, datar,\, x\rightarrow \infty \\\\y=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2x^2-20x+32}{x^2-16x+60} \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{20x}{x^2}+\frac{32}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{16x}{x^2}+\frac{60}{x^2}} \right )\\\\=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2-\frac{20}{x}+\frac{32}{x^2}}{1-\frac{16}{x}+\frac{60}{x^2}} \right )=2$
$\\\triangleright asimtot\, tegak,\, y\rightarrow \infty \\\\x^2-16x+60=0\Leftrightarrow (x-10)(x-6)=0\\\\x=10\, atau\, x=6\\\\\therefore asimtotnya:\, {\color{Red} x=6;\, x=10\, dan\, y=2}$

Persamaan asimtot grafik pecahan rasional yang berbentuk:

$y=ax+\frac{b}{x-p},\, asimtotnya\: x=p\: dan\: y=ax$

Contoh 4:

Tentukanlah persamaan asimtot fungsi rasional dibawah ini:

$a).\, y=2x-\frac{1}{x}$

${\color{DarkRed} \therefore \, persamaan\: asimtotnya\: x=0\: dan\: y=2x}$

$\begin{matrix} b).\, y=x-2+\frac{1}{x-2}\\asimtotnya\: adalah,\, x=2\: dan\: y=x-2 \end{matrix}$

Menggambar grafik fungsi rasional

Dalam menggambar grafik fungsi rasional ada beberapa langkah penting yang harus diperhatikan, yaitu:

Menentukan titik potong dengan sumbu x, jika y = 0

Menentukan titik potong dengan sumbu y, jika x = 0

Menentukan persamaan asimtot: asimtot datar dan asimtot tegak, atau asimtot miring

Menggambar grafik

Untuk lebih jelasnya perhatikanlah soal-soal dan penyelesaiannya dibawah ini, dalam menentukan persamaan asimtotnya akan dipilih salah satu pendekatan yang termudah dari konsep-konsep yang telah dibahas di atas.

Contoh 5:

Gambarlah grafik fungsi, $y=\frac{2x+3}{x+1}$

[Penyelesaian]

Titik potong dengan sumbu x , jika y = 0,

$\begin{matrix} 0=\frac{2x+3}{x+1}\\2x+3=0 \\x=\frac{-3}{2} \\\therefore \, titik\, potong\, sumbu\,\, x\, \left ( \frac{-3}{2},0 \right ) \end{matrix}$

Titik potong dengan sumbu y , jika x = 0,

$\begin{matrix} y=\frac{2x+3}{x+1}=\frac{2\times 0+3}{0+1}=3\\\therefore \, titik\, potong\, dengan\, sumbu\,\, y\, \, \left ( 0,3 \right ) \end{matrix}$

Persamaan asimtot :

$\begin{matrix} y=\frac{2x+3}{x+1}=\frac{1}{x+1}+2\\\therefore \, persamaan\, asimtotnya\, adalah\, x=-1\, dan\, y=2 \end{matrix}$

Gambar grafik fungsi rasional nya:

Contoh 6

Gambarlah grafik fungsi rasional, $y=\frac{1}{x^{2}-4x+4}$

[Penyelesaian]

Titik potong dengan sumbu x , jika y = 0,

Titik potong dengan sumbu y , jika x = 0,

$\begin{matrix} y=\frac{1}{x^{2}-4x+4}=\frac{1}{4}\\\therefore titik\, potong\, \, dengan\, sumbu\, y\, adalah\, \left ( 0,\frac{1}{4} \right ) \end{matrix}$

Persamaan asimtot: $\begin{matrix} \ast \, asimtot\, datar\, :x\rightarrow \infty \\y=\, \lim_{x\rightarrow \infty \left ( \frac{1}{x^{2}-4x+4} \right )=0} \\\ast \, asimtot\, tegak:\, y\rightarrow \infty \\\left (x ^{2}-4x+4 \right )=\left ( x-2 \right )^{2}\Leftrightarrow x=2 \end{matrix}$

Grafik:

Contoh 7:

Gambarlah grafik fungsi rasional, $y=\frac{2x^{2}-20x+32}{x^{2}-16x+60}$

[Penyelesaian]

Titik potong dengan sumbu x , jika y = 0,

$\begin{matrix} 0=\frac{2x^{2}-20x+32}{x^{2}-16x+60}\Leftrightarrow 2x^{2}-20x+32=0\\\left ( x-8 \right )\left ( x-2 \right )=0 \\x=8\: atau\: x=2 \\\therefore \, titik\, potong\, dengan\, sumbu\, x\, \left ( 8,0 \right ),\left ( 2,0 \right ) \end{matrix}$

Titik potong dengan sumbu y , jika x = 0,

$\begin{matrix} \ast \, titik\, potong\, dengan\, sumbu\, y,\, jika\, x=0\\y=\frac{2x^{2}-20x+32}{x^{2}-16x+60}=\frac{8}{15} \\\therefore \, titik\, pot\, dg\, sb\, y:\left ( 0,\frac{8}{15} \right ) \end{matrix}$

Persamaan asimtot:

$\begin{matrix} \ast \, asimtot\, datar,x\rightarrow \infty \\y=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2x^{2}-20x+32}{x^{2}-16x+60} \right )=2 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \ast \, asimtot\, tegak:\, y\rightarrow \infty \\x^{2}-16x+60=0\Leftrightarrow \left ( x-10 \right )\left ( x-6 \right )=0 \\x=10\, atau\, x=6 \\\therefore \, asimtotnya:\, x=10,\, x=6\, dan\, y=2 \end{matrix}$

Titik potong dengan asimtot datar:

$\begin{matrix} 2=\frac{2x^{2}-20x+32}{x^{2}-16x+60}\\2\left (x ^{2}-16x+60 \right )=2x^{2}-20x+32 \\x=7\frac{1}{3} \\\therefore \, titik\, pot\, dengan\, asimtot\, datar:\left ( 7\frac{1}{3},2 \right ) \end{matrix}$

Grafik:

Contoh 8

Gambarkan grafik fungsi rasional,
$y=x+\frac{1}{x}$

[Penyelesaian]

Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0:
$\begin{matrix} 0=x+\frac{1}{x}\\0=x^{2}+1 \\Tidak \, nilai \, x\, yang memenuhi, \\\therefore \, grafik\, tidak\, memotong\, sumbu\, x \end{matrix}$

Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0:
$karena\, x\neq 0\, ,maka\, grafik\, tidak\, memotong\, sumbu\, y$

Persamaan asimtot

$Dari\, contoh\, 4,\\asimtotnya\, adalah\, x=0\, dan\, y=x$

Grafik:

Contoh 9

Gambarkan grafik fungsi rasional ,
$y=x-\frac{1}{x}$

[Penyelesaian]

Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0:
$\begin{matrix} 0=x-\frac{1}{x}\Leftrightarrow x^{2}-1=0\\\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )=0 \\x=-1\, atau\, x=1 \\ \therefore \, titik\, potong\, dg\, sumbu\, x:\left ( -1,0 \right ),\left ( 1,0 \right ) \end{matrix}$

Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0:
$karena\, x\neq 0\, ,maka\, grafik\, tidak\, memotong\, sumbu\, y$

Persamaan asimtot:

Dari contoh 4, asimtotnya
$\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=x \end{matrix}\right.$

Grafik:

Dengan mempelajari contoh-contoh diatas, mudah-mudahan dapat mempermudah dalam mempelajari fungsi rasional pecahan terutama dalam menggambar grafik fungsi rasional.