Fungsi Invers

Pernahkah ananda mendengar kata kebalikan? Sebagai contoh, senang kebalikannya duka, tinggi kebalikannya pendek & yg lainnya.

Ternyata, dlm matematika pula dikenal perumpamaan kebalikan lho. Kebalikan pada matematika ini terdapat pada fungsi, khusunya pada fungsi invers.

Lantas, apakah yg disebut sebagai fungsi invers? Simak pembahasannya berikut ini.

Fungsi Invers

Fungsi invers atau yg pula diketahui selaku fungsi kebalikan yaitu suatu fungsi yg berkebalikan dr fungsi asalnya.

Sebuah fungsi f memiliki fungsi invers (kebalikan) f^-1 jikalau f yaitu fungsi satu-satu & fungsi pada (bijektif). Hubungan tersebut bisa dinyatakan mirip berikut:

(f^-1)^-1 = f

Simplenya, fungsi bijektif berjalan pada dikala jumlah anggota domain sama dgn jumlah anggota kodomain.

Tidak terdapat dua atau lebih domain berbeda dipetakan ke kodomain yg sama. Serta pada setiap kodomain mempunyai pasangan di domain. Perhatikan gambar yg ada di bawah ini:

Berdasarkan gambar dr pemetaan di atas, pemetaan pertama pertanda fungsi bijektif.

Pemetaan kedua bukan merupakan fungsi bijektif alasannya adalah pemetaan tersebut cuma berjalan fungsi pada.

Domain d & e dipetakan ke anggota kodomain yg sama. Pemetaan ketiga bukan fungsi bijektif alasannya pemetaan tersebut hanya berjalan pada fungsi satu-satu. Kodomain 9 tak memiliki pasangan pada anggota domain.

Sebagai acuan, f fungsi yg memetakan x ke y, sehingga mampu kita tulisakan menjadi y = f(x), maka f-1 merupakan fungsi yg memetakan y ke x, ditulis x = f^-1(y).

Misalnya f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f merupakan fungsi yg mengawankan pada masing-masing elemen B dgn sempurna satu elemen pada A.

Invers fungsi f pula dinyatakan dgn f^-1 seperti di bawah ini:

Terdapat 3 tahapan untuk memilih fungsi invers, antara lain:

1. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).
2. Tuliskan x selaku f^-1(y) sehingga f^-1(y) = f(y).
3. Ubahlah variabel y dgn x sehingga akan ditemukan rumus fungsi invers f^-1(x).

Dalam fungsi invers ada rumus khusus seperti berikut ini:

Fungsi & Komposisi

Aljabar Fungsi

1. Penjumlahan f dan g

(f + g) (x) = f(x) + g(x).

Contoh Soal:

Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x² – 4. Tentukan (f + g)(x).

Jawab:

(f + g)(x) = f(x) + gx)

(f + g)(x)= x + 2 + x² – 4

(f + g)(x)= x² + x – 2

2. Pengurangan f dan g

(f – g)(x) = f(x) – g(x).

Contoh soal

Diketahui f(x) = x² – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).

Jawab:

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f – g)(x)= x² – 3x – (2x + 1)

(f – g)(x)= x² – 3x – 2x – 1

(f – g)(x)= x² – 5x – 1

3. Perkalian f dan g

(f . g)(x) = f(x) . g(x).

Contoh soal

Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x² + x. Tentukan (f × g)(x).

Jawab:

(f × g)(x) = f(x) . g(x)

(f × g)(x)= (x – 5)(x² + x)

(f × g)(x)= x³ + x² – 5x² – 5x

(f × g)(x)= x³ – 4x² – 5x

4. Pembagian f dan g

Contoh soal

Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan

Jawab:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi mampu kita tuliskan seperti berikut ini:

(f ◦ g)(x) = f (g (x))→ komposisi g (fungsi f bundaran g atau fungsi komposisi dgn g dikerjakan apalagi dulu dibandingkan dengan f)

gambar 7

(g ◦ f)(x)= g (f (x))→ komposisi f (fungsi g bundaran f atau fungsi komposisi dgn f dikerjakan apalagi dahulu daripada g)

Sifat Fungsi Komposisi

1. Tidak berlaku sifat komutatif, (f ◦ g)(x) ≠ (g ◦ f)(x).
2. Berlaku sifat asosiatif, (f ◦(g ◦ h))(x) = ((f ◦ g)◦ h)(x).
3. Adanya unsur identitas (l)(x), (f ◦ l)(x) = (l ◦ f)(x) = f(x).

Contoh soal:

Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x² + 2. Maka tentukan:

1. (g ◦ f)(x).
2. (f ◦ g)(x).
3. Apakah berlaku sifat komutatif: g ◦ f = f ◦ g?

Jawab:

1. (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)² + 2 = 4x² – 4x + 1 + 2 = 4x² – 4x + 3
2. (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x² + 2) = 2(x² + 2) – 1 = 4x² + 4 – 1 = 4x² + 3
3. Tidak berlaku sifat komutatif alasannya g ◦ f ¹ f ◦ g.

Fungsi Invers

1. f^-1 (x) yaitu invers dr fungsi f(x)

2. Menentukan fungsi invers : mengubah f (x)= y = …” menjadi “ f ^-1 (y)= x = …”

3. hubungan sifat fungsi invers dgn fungsi komposisi:

1. (f ◦ f^-1)(x)= (f ^-1 ◦ f)(x)= l (x)
2. (f ◦ g)^-1 (x)= (g^-1 ◦ f^-1)(x)
3. (f ◦ g)(x)= h (x)→ f (x)= (h ◦ g ^-1)(x)

Contoh Soal & Pembahasan

Agar kalian mampu mengerti lebih terang mengenai fungsi invers, coba kita kerjakan pola soal berikut ini.

1. Tentukan rumus fungsi invers dr fungsi f(x) = 2x + 6.

Jawab:

2. Tentukan rumus fungsi invers dr fungsi gambar di bawah ini:

3. (SIMAK UI 2013 DASAR)

1. -4
2. -2
3. -1
4. 1
5. 4

Jawab:

f (x) = y ↔ f ^-1 (y) = x

f (5) = y

f ^–1 (4x-5) = 3x-1

sehingga 3x-1 = 5

x = 2 & y = 4x-5 = 3

x = 2

Menentukan nilai p

(f^{– -1} ◦ f)(5) = p² + 2p-10

f ^-1 (f(5)) = p² + 2p – 10

f^—1(3) = p² + 2p – 10

3(2)-1 = p² + 2p – 10

p² + 2p – 1 = 0

(p + 5)(p – 3) = 0

p = -5 & p = 3

Sehingga, rata-rata nilai p yaitu

Jawabannya yakni C

4.  (UN 2004)

1. x² + 2x + 1
2. x² + 2x + 2
3. 2x² + x + 2
4. 2x² + 4x + 2
5. 2x² + 4x + 1

Jawab:

Menentukan f(x)

(g ◦ f)(x) = 2x² + 4x + 5

g(f(x)) = 2x² + 4x + 5

2(f(x)) + 3 = 2x² + 4x + 5

f(x) = x² + 2x + 1

Jawabannya: A

5. (SNMPTN 2010 Dasar)

1. -3
2. 0
3. 3
4. 12
5. 15

Jawab:

g(x – 2) = 2x – 3

(f ◦ g)(x – 2) = 4x² – 8x + 3

f(g(x – 2)) = 4x² – 8x + 3

f(2x – 3) = 4x² – 8x + 3

Menentukan f(-3)

Jika -3 = 2x – 3 maka x = 0

Sehingga:

f(-3) = 4(0)² – 8(0) + 3 = 3

Jawabannya: A

6. (SIMAK UI 2012 DASAR)

Jawab:

Menentukan g(x).

(g ◦ f)(x) = 2x² + 4x – 6

g(f(x)) = 2x² + 4x – 6

g(x+2) = 2x² + 4x -6

g(x) = 2(x – 2)² + 4(x – 2) – 6 = 2x² – 8x + 8 + 4x – 8 – 6 = 2x² – 4x – 6

Menentukan x₁ + 2x₂

g(x) = 0

2x² – 4x – 6 = 0

x² – 2x – 3 = 0

(x-3)(x+1) = 0

x₁=3 →x₂ = -1, jadi 3

x₁ = 2x₂ = 3+2 (-1) = 1

atau

x₁ = -1 → x₂ = 3, jadi

x₁ + 2x₂ = (-1) + 2(3) = 5

Jawabannya: E

Demikianlah ulasan singkat terkait Fungsi Invers yg dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai Fungsi Rasional dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.