Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva Beserta Pembahasannya

Edisi tutorial pelajaran matematika kita kali ini yakni topik perihal menentukan persamaan garis singgung suatu kurva.

Sebelum kita masuk ke latihan soal, apalagi dahulu kita akan mengerti beberapa konsep penting, seperti mencari gradien, sifat-sifat gradien dan rumus dalam mencari persamaan garis singgung. Setelah itu gres akan dilanjutkan dengan kumpulan soal ihwal persamaan garis singgung pada kurva.

Daftar Isi

Mencari Nilai Gradien Garis

Gradien garis disimbolkan dengan “m” mampu dicari nilainya menurut persamaan garisnya, dimana :

Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a
Jika persamaan ax+by=c ⇒ m = –

a/b

Jika melalui dua titik, misal (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) ⇒ m =

(y₂ – y₁)/(x₁ – x₂)

Jika membentuk sudut α kepada sumbu-x positif ⇒ m = tan α
Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh suatu garis di titik (x₁,y₁) ⇒ m = f'((x₁)

Untuk gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

bila saling sejajar maka m₁ = m₂
bila saling tegak lurus maka m₁ . m₂ = -1 atau m₁ =
-1/m₂

Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) yang disinggung oleh sebuah garis di titik (x₁,y₁), maka gradien garis singgung tersebut yaitu m = f'(x₁). Sementara itu x₁ dan y₁ memiliki relasi y₁ = f(x₁). Sehingga persamaan garis singgungnya mampu dinyatakan dengan y – y₁ = m(x – x₁).

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva

Soal No.1

Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan

Titik singgung dititik (2, 8), maka x₁ = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10×1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12

Soal No.2

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x² + 2x di titik (1,3)

Pembahasan

f(x) = x2 + 2x
f'(x) = 2x + 2
m = f ‘(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4

Makara, persamaan garis singgungnya ialah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Soal No.3

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x – 3x² di titik dengan absis 2

Pembahasan

Absis itu yaitu sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x – 3x²
y = 2(2) − 3(2)²
y = −8
Jadi titik singgung : (2, −8)

Langkah Melukis Garis Bagi Segitiga ABC

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x²
f ‘(x) = 2 − 6x
m = f ‘(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10

Jadi, persamaan garis singgungnya yakni :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Soal No.4

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x³ – 4x² di titik berabsis 2

Pembahasan

Absis itu yaitu sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x³ – 4x²
y = 2(2)³ − 4(2)²
y = 16 – 16
y = 0
Makara titik singgung : (2, 0)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x³ – 4x²
f ‘(x) = 6x² – 8x
m = f ‘(2) = 6(2)² − 8(2)
m = 24 – 16
m = 8

Makara, persamaan garis singgungnya yaitu :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 0 = 8(x − 2)
y = 8x – 16

Soal No.5

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x² di titik berabsis -2

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x = -2:

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2
y = x²
y = (-2)²
y = 4
Kaprikornus titik singgung : (-2, 4)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x²
f ‘(x) = 2x
m = f ‘(-2) = 2(-2)
m = -4

Makara, persamaan garis singgungnya ialah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 4 = -4(x − (-2))
y – 4 = -4x – 8
y = -4x – 4

Soal No.6

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x – x² sejajar dengan garis 4x + y = 3

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 + 2x – x²
m₁ = f'(x) = -2x + 2
m₁ = -2x + 2

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4x + y = 3
y = -4x + 3
m₂ = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m₁ = m₂
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x – x²
y = 3 + 2(3) – 3²
y = 3 + 6 – 9
y = 0

Sekarang kita telah mempunyai titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = -4(x – 3)
y = -4x + 12

Soal No.7

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Pembahasan

Ordinat itu yaitu sumbu-y, jadi y = 18

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18
y = x³ + 10
18 = x³ + 10
x³ = 18 – 10
x³ = 8
x = 2
Jadi titik singgung : (2,18)

Rumus dan Contoh Soal Luas Permukaan Balok

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x³ + 10
f'(x) = 3x²
m = f'(2) = 3(2)²
m = 12

Kaprikornus,Persamaan garis singgungnya yakni y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

Soal No.8

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² – x + 3 di titik yang berordinat 5 ?

Pembahasan

Ordinat itu yaitu sumbu-y, jadi y = 5

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5
y = x² – x + 3
5 = x² – x + 3
x² – x + 3 – 5 = 0
x² – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)

Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x² – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(2) = 2(2) – 1
m = 3

Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x² – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(-1) = 2(-1) – 1
m = -3

Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung
Karena kita mempunyai dua titik singgung, pastinya akan ada dua persamaan garis singgung

Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = 3(x – 2)
y = 3x – 6 + 5
y = 3x – 1

Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = -3(x – (-1))
y – 5 = -3x – 3
y = -3x + 2

Makara, ada dua persamaan garis singgung, yakni y = 3x – 1 atau y = -3x + 2

Soal No.9

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² – 5x + 6 jikalau gradien garis singgungnya yakni 3 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya
f(x) = x² – 5x + 6
f'(x) = 2x – 5
m = f'(x)
3 = 2x – 5
2x = 3 + 5
x = 4

y = x² – 5x + 6
y = 4² – 5(4) + 6
y = 16 – 20 + 6
y = 2

Jadi titik singgung : (4,2)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = 3(x – 4)
y – 2 = 3x – 12
y = 3x – 10

Soal No.10

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x³ – 3x² – 5x + 10 jika gradien garis singgungnya yaitu 4 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x³ – 3x² – 5x + 10
f'(x) = 3x² – 6x – 5
m = f'(x)
4 = 3x² – 6x – 5
3x² – 6x – 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2

Untuk x = 3
y = x³ – 3x² – 5x + 10
y = 3³ – 3(3)² – 5(3) + 10
y = 27 -27 – 15 + 10
y = -5
Titik singgung pertama (3,-5)

Contoh Ketidaksamaan Segitiga

Untuk x = -2
y = x³ – 3x² – 5x + 10
y = (-2)³ – 3(-2)² – 5(-2) + 10
y = -8 – 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung kedua (-2,0)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Soal No.11

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 – x² yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ?

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 – x²
m₁ = f'(x) = -2x
m₁ = -2x

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4y = x + 1
y =

1/4

x +

1/4

m₂ =

1/4

(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m₁ . m₂ = -1
m₁ .

1/4

= -1
m₁ = -4

Masukkan nilai m₁ ke dalam persamaan langkah-1 :
m₁ = -2x
-4 = -2x
x = 2

Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 – x²
y = 3 – 2²
y = 3 – 4
y = -1
Makara titik singgungnya : (2,-1)

Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-1) = -4(x – 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7

Makara persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7

Soal No.12

Persamaan garis menyinggung kurva y = x² – 3x – 4 di titik (4,0) yakni …..
a. y = 5x + 20
b. y = 5x – 20
c. y = -5x + 20
d. y = -5x – 20

Pembahasan

y = x² – 3x – 4
y’ = 2x – 3
m = y ‘(4) = 2(4) – 3 = 5
m = 5

Kaprikornus, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 5 (x – 4)
y = 5x – 20

Jawab c:

Soal No.13

Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x – 8
2.) 4x – 2y + 6 = 0
3.) 3y = 6x – 1
4.) 7x – 14y + 2 = 0

Pembahasan

1.) Untuk Persamaan : y = 2x – 8

Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a
y = 2x – 8
m = 2

2.) Untuk Persamaan : 4x – 2y + 6 = 0

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = –

a/b

4x – 2y + 6 = 0
m = –

4/-2

m = -(-2)
m = 2

3.) Untuk Persamaan : 3y = 6x – 1

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = –

a/b

3y = 6x – 1
6x – 3y – 1 = 0
m = –

6/-3

m = -(-2)
m = 2

4.) Untuk Persamaan : 7x – 14y + 2 = 0

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = –

a/b

7x – 14y + 2 = 0
m = –

7/-14

m = –

1/-2

m =

1/2