Tutorial Matematika edisi kali ini akan membahas perihal barisan dan deret geometri, dimana dalam bimbingan ini akan diberikan beberapa pola soal beserta dengan pembahasannya. Tentunya soal-soal tersebut akan diberikan sewaktu kita sudah memahami perihal dasar-dasar barisan dan deret geometri.
Pada pembahasan sebelumnya dengan judul : Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika beserta Jawabannya, kita sudah menjajal memahami barisan dan deret aritmatika dengan beberapa pola soal. Lanjutan bimbingan kita kali mencoba ihwal barisan dan deret geometri.
Daftar Isi
Barisan dan Deret Geometri
Terlebih dulu kita akan mengetahui desain awal atau dasar-dasar dari barisan geometri yang meliputi :
- Apa itu barisan geometri ?
- Apa itu deret geometri ?
Apa itu Barisan Geometri ?
Barisan geometri yaitu barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Jika dalam barisan aritmatika, selisih antara satu suku dengan suku berikutnya disebut dengan nilai beda. Sedangkan dalam barisan geometri selisih antar suku diistilahkan dengan rasio ( dilambangkan dengan r).
Misalkan dikenali barisan mirip dibawah ini :
Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yakni 3 atau r = 3. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Contoh lain dari Barisan Geometri:
| 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, … |
Barisan ini memiliki rasio 2 (r=2)
Setiap suku(kecuali suku pertama) merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan 2.
Secara lazim kita dapat menulis Barisan (Urutan) Geometrik seperti berikut :
a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7…
dimana:
- a yaitu suku pertama
- r ialah rasio
Rumus-Rumus Barisan Geometri
1. Untuk mencari Suku ke-n :
dimana :
- Un adalah suku ke-n
- a menyatakan suku pertama
- r menyatakan rasio
- n menyatakan banyaknya suku
2. Untuk mencari nilai rasio(r) :
dimana :
- r adalah rasio
- Un adalah suku ke-n
- U(n-1) adalah suku ke-n sebelumnya
3. Mencari Suku Tengah
Kita mampu mencari suku tengah untuk suatu barisan geometri yang memilliki n suku ganjil (banyaknya suku harus ganjil) dimana dikenali suku pertama dan rasio, maka dipakai rumus:
dimana:
- Ut yakni suku tengah
- a ialah suku pertama
- n menyatakan banyaknya suku
- r yakni rasio
Namun jikalau untuk mencari suku tengah yang kondisinya cuma dimengerti suku pertama, banyaknya n suku dan suku terakhir, maka rumusnya:
dimana :
- Ut yaitu suku tengah
- a yaitu suku pertama
- Un yaitu suku ke-n (dalam hal ini sebagai suku terakhir)
Apa itu Deret Geometri ?
Contoh:
- 1 + 2 + 4 + 8 +16+32
- 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96
- Rumus Deret Geometri Turun
Rumus deret geometri turun cuma bisa dipakai jikalau 0 < r < 1Sn = a(1 – rn) 1 – r
dimana :- Sn yaitu jumlah deret suku ke-n
- a ialah suku pertama
- r ialah rasio
- n ialah banyaknya suku
- Rumus Deret Geometri Naik
Rumus deret geometri naik hanya bisa digunakan jika r > 1.Sn = a(rn-1) r – 1
dimana :- Sn yaitu jumlah deret suku ke-n
- a yaitu suku pertama
- r yaitu rasio
- n ialah banyaknya suku
Deret Geometri Tak Hingga
Dalam aneka macam soal cobaan sering ditanyakan jumlah suku tak sampai dari suatu deret geometri.
Lalu kira-kira mirip apa deret goemtri tak sampai tersebut ?
Deret Geometri Tak Hingga yaitu penjumlahan suku-suku dalam suatu barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas atau bisa dikatakan tak terhingga suku-suku yang akan kita jumlahkan.
Notasi untuk menyatakan deret geometri tak hingga ialah S∞
Karena Deret Geometri Tak Hingga merupakan penjumlahan suku-suku barisan geometri yang tidak terbatas jumlah sukunya, maka secara matematatis deret geometri tak hingga dirumuskan selaku berikut :
atau mampu juga ditulis dengan rumus berikut :
Latihan Soal
Soal No.1
Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12….maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :
a. 128
b. 192
c. 64
d. 190
Pembahasan
r = 2
Un = ar(n-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 192
Jawab : b
Soal No.2
Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut :
a. 4
b. 3
c. 2
d. 9
Pembahasan
Un = 243
U(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = Un U(n-1) = 243 81= 3
Jawab :b
Soal No.3
Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, …. , 5120. Nilai suku tengahnya ialah :
a. 160
b. 320
c. 510
d. 640
Pembahasan
Un = 5120
Jawab :a
Soal No.4
Terdapat suatu barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya yakni 3 dan rasionya ialah 3. Berapakah suku tengahnya ?
a. 27
b. 81
c. 243
d. 9
Pembahasan
r = 3
n = 5
Jawab : a
Untuk mempertajam pengertian teladan soal di atas, simak ulasan dalam bentuk video berikut ini (dijamin paham):
Soal No.5
Diketahui barisan geometri dengan U5 = 6 dan U9 = 24. Maka suku ke-4 barisan tersebut ialah …
A. 4√3
B. 3√3
C. 3√2
D. 2√3
Pembahasan
U5 = ar(5-1)
6 = ar4
U9 = ar(9-1)
24 = ar8
24 = ar4 . r4
24 = 6 . r4
24/6 = r4
r4 = 4
r = 4√4
r = 4¼
r = 2 2 . ¼
r = 2 ½
r = √2
Masukkan nilai r pada U5:
6 = ar4
6 = a(√24)
6 = a(4)
a =
U4 = ar4-1
U4 = ar3
U4 =
(√2)3
U4 =
2√2)
U4 = 3√2
Jawab : C
Soal No.6
Pertumbuhan basil mengikuti pola barisan geometri. Setiap satu detik basil meningkat biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah kuman sebelumnya. Jika pada ketika permulaan terdapat 5 bakteri, maka jumlah bakteri menjelma 320 bakteri sehabis ….
A. 6 detik
B. 8 detik
C. 9 detik
D. 11 detik
Pembahasan
Pernyataan tersebut dapat kita simpulkan rasio (r) = 2
Jika pada dikala permulaan terdapat 5 kuman
Pernyataan ini bisa simpulkan bahwa suku pertama (a) = 5
Jumlah bakteri berkembang menjadi 320 basil.
Pernyataan di atas memiliki arti : Suku ke-n (Un) = 320
Sekarang kita sudah mampu yang dimengerti yakni :
r = 2
a = 5
Un = 320
Yang ditanyakan adalah : suku ke-n (detik ke berapa) ?
Un = arn-1
320 = 5.2n-1
320 5 = 2n-1
64 = 2n-1
25 = 2n-1
5 = n-1
5 + 1 = n
n = 6
Kaprikornus jumlah bakteri menjelma 320 kuman setelah 6 detik
Jawab : A
Soal No.7
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 =
dan suku ke-7 =
. Dengan demikian suku ke-10 nya ialah ….
A.
B.
C.
D.
Pembahasan
… (i)
ar6 =
ar.r5 =
… (ii)
. r5 =
r5 = (
) . x
r5 =
r =
a = 1
U10 = ar9 = 1. (
)9 =
Jawab : B
Soal No.8
Jika diketahui suatu deret geometri dengan U1 = 2 dan mempunyai rasio 3 serta suku tengahnya ialah 54. Tentukanlah nilai suku terakhir dari deret tersebut ?
Pembahasan
r = 3
Ut = 54
542 = 2 . Un
2916 = 2Un
2Un
= 2916
Un =
Un = 1458
Dengan demikian, suku terakhir (Un) dari deret tersebut yaitu 1458.
Soal No.9
Suku pertama dan rasio antar suku dari suatu barisan geometri berturut-turut ialah 10 dan
. Jumlah tak sampai dari deret tersebut yakni …
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
Pembahasan
r =
S∞ =
S∞ =
S∞ =
S∞ = 10 x 3
S∞ = 30
Jawab : C