Dalam peluang ini akan kita bahas cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk kuadrat. Dalam menuntaskan persamaan ini selaku dasar penyelesaian adalah identitas trigonometri.
Contoh bentuk persamaan trigonometri bentuk kuadrat sebagai berikut.
1. 2 sin2 x + sin x = 0
2. 2 sin2 x + 3sin x + 1 = 0
3. 2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0
4. 12 sin2 x + cos x – 6 = 0
Persamaan-persamaan trigonometri di atas dapat tertuntaskan denga cara yg mudah. Tentunya dgn cara yg sesuai dgn rancangan yg benar pula.
Sebagai dasar dlm menuntaskan persamaan trigonometri, Anda sebelumnya pula mesti menguasai persamaan kuadrat. Terutama cara menentukan akar-akar persamaan tersebut.
Nah, bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri di atas?
Langsung saja simak pembahasan di bawah ini.
Contoh 1
Tentukan nilai x yg memenuhi persamaan 2 sin2 x + sin x = 0, untuk 0 < x < 360o.
Jawaban:
2 sin2 x + sin x = 0
sin x (2sin x + 1) = 0
sin x = 0 atau 2sin x + 1 = 0
Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.
(i) sin x = 0, diperoleh sin x = sin 0, sin 360o
Dengan demikian diperoleh x = 0, 360o
(ii) 2sin x + 1 = 0
2sin x = -1
sin x = -1/2
sin x = sin 120o, sin 240o
Dengan demikian diperoleh x = 120o, 240o
Makara, nilai x yg memenuhi adalah x = 0, 120o, 240o, 360o
Contoh 2
Tentukan nilai x yg menyanggupi persamaan 2 sin2 x + 3sin x + 1 = 0, untuk 0 < x < 360o.
Jawaban:
2 sin2 x + 3sin x + 1 = 0 Ingat bentuk identik dgn 2p2 + 3p + 1
Selanjutnya difaktorkan
Ingat : 2p2 + 3p + 1 = (2p + 1)(p + 1)
Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:
(2sin x + 1)(sin x + 1) = 0
2sin x + 1 = 0 atau sin x + 1 = 0
Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.
(i) sin x + 1 = 0
sin x = -1
sin x = sin 270o
Dengan demikian diperoleh x = 270o
(ii) 2sin x + 1 = 0
2sin x = -1
sin x = -1/2
sin x = sin 120o, sin 240o
Dengan demikian diperoleh x = 120o, 240o
Kaprikornus, nilai x yg memenuhi persamaan 2 sin2 x + 3sin x + 1 = 0 yakni x = 120o, 240o, 270o .
Contoh 3
Tentukan nilai x yg memenuhi persamaan 2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0, untuk 0 < x < 360o.
Jawaban:
2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0 Ingat bentuk identik dgn 2p2 + 7p – 4 = 0
Selanjutnya difaktorkan
Ingat : 2p2 + 7p – 4 = (2p – 1)(p + 4)
Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:
(2cos x – 1)(cos x + 4) = 0
2cos x – 1 = 0 atau cos x + 4 = 0
Selanjutnya kita cari solusi satu persatu.
(i) 2cos x – 1 = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
cos x = cos 60o, cos 300o
Dengan demikian diperoleh x = 60o, 300o
(ii) cos x + 4 = 0
cos x = -4
Tidak ada nilai x yg memenuhi.
Jadi, nilai x yg menyanggupi persamaan 2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0 yaitu x = 60o, 300o.
Contoh 4
Tentukan nilai x yg memenuhi persamaan 12 sin2 x + cos x – 6 = 0, untuk 0 < x < 360o.
Jawaban:
Sebelum menuntaskan, ingat dulu identitas trigonometri: sin 2x + cos 2x = 1.
Maka: sin 2x = 1 – cos 2x
12 sin2 x + cos x – 6 = 0
12 (1 – cos 2x) + cos x – 6 = 0
12 – 12cos 2x + cos x – 6 = 0
-12cos 2x + cos x + 6 = 0
12cos 2x – cos x – 6 = 0
12cos 2x – cos x – 6 = 0 Ingat bentuk identik dgn 12p2 – p – 6 = 0
Selanjutnya difaktorkan
Ingat : 12p2 – p – 6 = (3p + 2)(4p – 3)
Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:
(3cos x + 2)(4cos x – 3) = 0
3cos x + 2 = 0 atau 4cos x – 3 = 0
Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.
(i) 3cos x + 2 = 0
3cos x = -2
cos x = -2/3
cos x = cos 131,81o, cos 228,19o
Dengan demikian diperoleh x = 131,81o ; 228,19o
(ii) 4cos x – 3 = 0
4cos x = 3
cos x = 3/4
cos x = cos 41,4o, cos 318,6o
Dengan demikian diperoleh x = 41,4o ; 318,6o
Makara, nilai x yg menyanggupi persamaan 12cos 2x – cos x – 6 = 0 yaitu x = 41,4o ; 131,81o ; 228,19o ; 318,6o .
Demikianlah sekilas materi perihal cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk kuadrat.
Semoga berfaedah.
Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat yang Diketahui Titik Puncak dan Salah Satu Titik Lainnya