Bilangan Berpangkat – Eksponen

Mungkin dr sebagian kalian telah mempelajari tentang materi bilangan berpangkat. Atau mungkin belum pernah mendengar sama sekali apa itu bilangan berpangkat. Berikut informasi selengkapnya.

Materi bilangan berpangkat ini ternyata mempunyai banyak faedah ataupun kegunaan yg sungguh penting khususnya bagi para ilmuan-ilmuan.

Informasi selengkapnya perihal bilangan berpangkat, simak pembahasan berikut ini.

Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat merupakan suatu bilangan yg berkhasiat untuk mempersempit penulisan serta penyebutan suatu bilangan yg mempunyai aspek-faktor perkalian yg sama.

Sebagai teladan: 3x3x3x3x3=… atau 7x7x7x7x=… , & lain sebagainya.

Perkalian banyak sekali bilangan dgn aspek-aspek yg sama mirip di atas kebanyakan disebuat dgn perkalian berulang.

Bayangkan apabila yg dikalikan angkanya sangat banyak, maka kita pula akan mengelami kesulitan di dlm dalam penulisannya.

Hal tersebut tak lain alasannya adalah sangking banyaknya angka untuk satu kali bilangan pada perkalian tersebut.

Masing-masing perkalian berulang bisa kita tuliskan dengan-cara ringkas dgn memakai notasi angka bilangan berpangkat.

Sebagai teladan:

3 x 3 x 3 x 3 x 3 bilangan tersebut bisa kita ringkas kembali dgn memakai bilangan berpangkat menjadi 3⁵

8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 & angka tersebut mampu kita ringkas kembali hingga menjadi bilangan berpangkat 8¹⁰

Cara membacanya:

3⁵: Sepuluh pangkat 5

 8¹⁰ : Delapan pangakt 10

Pangkat di atas berkhasiat untuk memilih jumlah aspek yg di ulang.

Rumus bilangan berpangkat yaitu:

aⁿ=a×a×a×a…sebanyak n kali

Jenis  Jenis Bilangan Berpangkat

Terdapat beberapa jenis bilangan berpangkat yg paling sering dibahas.

Antara lain yakni: bilangan berpangkat positif (+), bilangan berpangkat negatif (-) serta bilangan berpangkat nol (0).

Berikut akan kami berikan penjelasan pada masig-masing jenisnya. Simak baik-baik ulasan di bawah ini ya.

1. Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan berpangkat positif merupakan suatu bilangan yg mempunyai pangkat atau eksponen positif.

Apa itu yg dimaksud sebagai eksponen? eksponen merupakan penyebutan lain dr pangkat. Bilangan berpangkat positif mempunyai sifat-sifat tertentu, yg mana bilangan tersebut terdiri atas a, b, selaku bilangan real dan m, n, yang merupakan bilangan lingkaran positif.

Bilangan Eksponen merupakan suatu bentuk pada bilangan perkalian dgn bilangan yg sama kemudian di ulang-ulang atau pemahaman singkatnya yakni perkalian yg diulang-ulang.

Adapun beberapa sifat dr bilangan berpangkat positif, diantaranya ialah selaku berikut ini:

1. a^m x aⁿ = a^m+n
2. a^m : aⁿ = a^{m-n ,} untuk m>n & b ≠ 0
3. (a^m)ⁿ = a^mn
4. (ab)^m = a^m b^m
5. (a/b)^m = a^m/b^m , untuk b ≠ 0

Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik pola soal di bawah ini.

2. Bilangan Berpangkat Negatif

Kemudian merupakan pengertian dr bilangan berpangkat negatif yg merupakan bilangan yg mempunyai pangkat atau eksponen negatif (-).

Adapun beberapa sifat bilangan berpangkat negatif, antara lain ialah sebagai berikut:

Jika a∈R, a ≠ 0, dan n merupakan bilangan bulat negatif, maka:

a^-n = 1/aⁿ atau aⁿ = 1/ a^-n

Untuk lebih mengerti uraian di atas, perhatikan baik-baik teladan soal di bawah ini:

Soal 1.

Tentukan sekaligus nyatakan dgn pangkat positif bilangan berpangkat di bawah ini:

1/ 6(a + b)^-7 = ….

Jawab:

1/ 6(a + b)^-7 = = 1/6 (a+b)⁷

Soal 2.

Nyatakan dgn pangkat negatif bilangan berpangkat di bawah ini:

x¹y² / 2z⁶ = ….

Jawab:

x¹y² / 2z⁶ = 2^-1x^-1z^-6 / y^-2, dgn x ≠ 0 & z ≠ 0.

3. Bilangan berpangkat Nol (0)

Tak cuma ada bilangan berpangkat positif serta bilangan berpangkat negatif yg ada pada bilangan berpangkat lho.

Ternyata, dlm ilmu matematika pula terdapa bilangan berpangkat nol (a). Maka dati itu, yuk mari kita pelajari lebih dlm mengenai bilangan berpangkat nol ini.

Sebelumnya kita sudah mengenali bahwa sifat-sifat bilangan berpangkat, ialah sebagai berikut:

aⁿ/aⁿ = 1 menurut dr sifat pembagian bilangan berpangkat positif maka bisa kita peroleh:

aⁿ/aⁿ = a^n-n = a⁰, sehingga a⁰ = 1

Sehingga sifat dr bilangan berpangkat nol (0) yaitu “Jika nilai a merupakan bilangan riil serta a tak sama dgn 0, maka a⁰ = 1″

Untuk lebih mengerti uraian di atas, perhatikan baik-baik pola soal di bawah ini:

Sederhanakan beberapa bilangan berpangkat di bawah ini:

Soal 1.

5(x² – y²)(x² – y²)⁰

Soal 2.

3x + 2 y / (3x + 2y)⁰

Jawab:

Soal 1.

5(x² – y²)(x² – y²)⁰ = 5(x² – y²) x 1 = 5(x² – y²), dgn x² – y²  ≠ 0

Soal 2.

3x + 2 y / (3x + 2y)⁰ = 3x + 2y / 1 = 3x + 2y, dgn 3x + 2y ≠ 0

Demikianlah pembahasan yg mampu kita sampaikan terakti bilangan berpangkat, kini kita lanjutkan ke pembahasan yg ke dua yakni Bentuk Akar. Perhatikan baik-baik ulasan di bawah ini ya..

Sifat Sifat Bilangan Berpangkat

Berikut ini adalah beberapa sifat yg terdapat di dlm bilangan berpangkat, antara lian yakni:

1. Pangkat Bulat positif

Pengertian:

Sebagai misalnya a bilangan real serta n bilangan bulat positif. Notasi aⁿakan menyatakan hasil kali dr bilangan a sebanyak n aspek. Sehingga dapat kita tuliskan menjadi:

aⁿ = a × a × a × … × a

Di mana : a x a x a x …. x a merupakan n faktor.

Keterangan:

• a merupakan basis bilangan berpangkat.
• n merupakan pangkat.

Sehingga, mampu kita ketahui bahwa:

1. Pada uraian di atas, maka kita sepakati, a1 cukup ditulis dgn a.
2. Tidak seluruh a⁰ dengan a bilangan real menyatakan 1. Pada ketika a = 0 serta n = 0, maka aⁿ= 0⁰, maka balasannya tak menentu.
3. Apabila n merupakan suatu variabel selaku eksponen dr a, maka perlu kita perhatikan semesta variabel tersebut.

   Karena aⁿ = a × a × … × a sebanyak n aspek, ini cuma berlaku pada ketika semesta n ∈N.

Untuk lebih mengetahui uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:

1. 2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 =16
2. 3² = 3 x 3 = 9

2. Pangkat Bulat Negatif

Pengertian:

Untuk a bilangan real serta a ≠ 0, m bilangan bulat positif, maka di definisikan menjadi:

a^-m = (1/a)^m

Dari uraian di atas maka mampu dijelaskan lagi menjadi selaku berikut:

Untuk lebih memahami uraian di atas, amati baik-baik pola soal di bawah ini:

3. Pangkat Nol

Pengertian:

Untuk a bilangan real serta a ≠ 0, maka a⁰ = 1.

Kenapa a tak boleh sama dgn nol?

Seperti yg sudah diterangkan di atas, pada dikala a = 0 maka a⁰ = 0⁰, maka hasil­nya tak menentu.

Sebagai acuan:

• 2⁰ = 1
• 3⁰ = 1

4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Berikut yakni beberapa sifat dr bilangan pangkat lingkaran positif:

Sifat-1

Apabila a bilangan real, m serta n bilangan lingkaran positif maka

a^m × aⁿ = a^m+n

Pembuktian:

Si­fat di atas cuma berlaku apabila a merupakan bilangan real, m serta n merupakan bi­langan bundar positif. Apabila m & n bukan bilangan bundar positif, maka sifat-1 tak berlaku. Contohnya: a = 0 & m = n = 0, tak ber­laris.

Sebagai teladan:

2² x 2³ = (2 x 2) x (2 x 2 x 2)

= 32

= 2⁵

2² x 2³ = 2²⁺³

Sifat-2

Apabila a bilangan real serta a ≠ 0, m dan n bilangan lingkaran positif, sehingga:

Dalam sifat-2 tak diperkenakan apabila a = 0, lantaran ben­tuk perpangkatan pada sifat-2 merupakan bentuk ra­sional.

Pada pecahan yg penyebutnya tak lazim nol. Pada a = 0 & m, n merupakan bilangan bundar positif, sehingga a^m atau aⁿ dimung­kinkan risikonya 0.

Apabila hasil a^m serta aⁿ keduanya nol, maka hasil baginya tak menentu.

Apabila a^m = 0 & aⁿ ≠ 0, maka hasil baginya 0. Namun, apabila a^m ≠ 0 & aⁿ = 0, maka hasil baginya tak ter­definisi.

Sebagi teladan:

2⁵ / 2³ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 / 2 x 2 x 2

= 4

= 2²

= 2^5-3

Perpangkatan Bilangan Bulat

Secara umum, perkalian sembarang bilangan lingkaran a sebanyak n kali atau n faktor, yakni:

a × a × a × … × a atau jika ditulis menjadi aⁿ

Keterangan:

a = disebut selaku bilangan pokok atau bilangan dasar

n = disebut selaku pangkat atau eksponen

an = disebut selaku bilangan berpangkat (dibaca a pangkat n)

Sifat-3

Jika a bilangan real serta a ≠ 0, m dan n merupakan bilangan lingkaran positif, maka (a^m)ⁿ = a^mn

Pembuktian:

Sebagi teladan:

(2³)² = (2³) x (2³)

= (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)

= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

= 2⁶

Di mana (2 x 2 x 2) merupakan 3 aspek, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 merupakan 6 aspek, & lain sebagainya.

5. Pangkat Pecahan

Pengertian:

Contohnya a merupakan bilangan real dan a ≠ 0, serta m merupakan bilangan bulat positif, maka a^1/m = p merupakan bilangan real positif, sehingga p^m = a.

Sifat-sifat perpangkatan bilangan real dgn pangkat pecahan

Pengertian:

Contonya a merupakan bilangan real dan a ≠ 0, m, n merupakan bilangan lingkaran positif maka didefinisikan menjadi:

a^m/n = (a^1/n)^m

Misalkan a merupakan bilangan real dengan a > 0,

p/n & m/n merupakan bilangan pecahan n ≠ 0, maka:

(a^m/n) = (a^p/n) = (a)^m+p/n

Pembuktian:

Apabila a merupakan bilangan real dgn a > 0, sehingga:

m/n & p/q bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka:

(a^m/n) = (a^p/q) = (a)^m/n+p/q

Rangkuman sifat bilangan berpangkat:

Untuk a, b merupakan bilangan bulat serta n, p, & q merupakan bilangan bundar positif, maka berlaku:

Operasi Bilangan Berpangkat

• Bilangan negatif dipangkatkan dgn pangkat ganjil maka akan menghasilakn bilangan negatif.
• Bilangan negatif dipangkatkan dgn pangkat genap maka akan menciptakan kesannya bilangan positif.
• Perkalian bilangan berpangkat yg bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya akan dijumlahkan.
• Pembagian bilangan berpangkat yg bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya akan dikurangkan.
• Sebuah bilangan berpangkat apabila dipangkatkan lagi, maka pangkatnya akan menjadi dikalikan.

Operasi Hitung Bilangan Berpangkat

Berikut akan kami berikan operasi hitung dlm bilangan berpangkat. Meliputi: sifat perkalian, pembagian, perpangkatan & yg yang lain sekaligus teladan soal & pembahasannya.

Perhatikan ulasan di bawah ini dgn seksama.

1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung perkalian dlm bilangan berpangkat, berlaku sifat mirip di bawah ini:

a^m x aⁿ = a^m+n

Untuk lebih mengerti cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:

5³ x 5² = (5 x 5 x 5) x (5 x 5)

5³ x 5² = 5 x 5 x 5 x 5 x 5

5³ x 5² = 5⁵

Sehingga mampu kita simpulkan menjadi 5³ x 5² = 5⁵

Contoh Soal Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat beserta Pembahasannya

Sederhanakan hasil perkalian dr bilangan berpangkat di bawah ini, kemudian tentukan nilainya!

1. 7² x  7⁵
2. (-2)⁴ x (-2)⁵
3. (-3)³ x (-3)⁷
4. 2³ x 3⁴
5. 3y² x y³
6. 2x⁴ x 3x⁶
7. -2² x 2³

1. 7² x  7⁵  = 7²⁺⁵  = 7⁷  = 823.543

2. (-2)⁴ x (-2)⁵ = -2⁴⁺⁵   = -2⁹  = – 512

3. (-3)³ x (-3)⁷ = -33⁺⁷   = -3¹⁰  = 59.049

4. 2³ x  3⁴  , soal ini tak bisa kita sederhakan kembali alasannya adalah bilangan pokonya berlawanan (2 & 3). Sehingga, kita hanya dapat menjumlah nilainya saja, yaitu:

2³ x  3⁴  = 8 x 81 = 648

5. 3y² x y³ = 3(y)²⁺³  = 3y⁵

6. 2x⁴ x 3x⁶ = (2 x 3)(x) ⁴⁺⁶ = 6x¹⁰

7. -2² x 2³ = (-1)² x 2² x 2³ = (1) x 2²⁺³ = 2⁵ = 32

Untuk kasus bilangan pokok negatif yg berpangkat, mirip pada nomor 2, 3 , 7 terdapat poin penting yg harus kalian ketahui, yaitu:

2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung pembagian bilangan berpangkat, maka akan berlaku sifat mirip di bawah ini:

a^m : aⁿ = a^m-n

5⁶ x 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5)

5⁶ x 5³ = 5 x 5 x 5 (coret (5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5))

5⁶ x 5³ = 5³

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi 5⁶ x 5³ = 5^6-3

Contoh Soal Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat & Pembahasannya

1. 4⁵ / 5³
2. 3⁴ / 2³

1. 4⁵ / 5³ = 4^5-3 = 4² = 16

2. 3⁴ / 2³, soal ini tak bisa kita sederhakan kembali sebab bilangan pokonya berlawanan (3 & 2). Sehingga, kita cuma mampu menjumlah nilainya saja, yaitu:

3⁴ / 2³ = 81/ 8 = 10,125

3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung perpangkatan bilangan berpangkat, maka akan berlaku sifat seperti berikut ini:

(a^m)ⁿ = a^mxn

Untuk lebih memahami cara perihal rumus di atas, amati uraian di bawah ini:

(5³)² =(5 x 5 x 5)²

(5³)² = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5)

(5³)² = 5⁶

Sehingga, mampu kita simpulkan menjadi (5³)² = 5^3×2

Contoh Soal Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat beserta Pembahasannya

1. (4³)⁵
2. [(-2)⁴]²

1. (4³)⁵ = 4^3×5 = 4¹⁵ = 1.073.741.824
2. [(-2)⁴]² = (-2)^4×2 = (-2)⁸ = 256

4. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan

Pada operasi hitung perpangkatan pada sebuah perkalian dua bilangan, maka akan berlaku sifat seperti berikut ini:

(a x b)^m = a^m x b^m

Untuk lebih mengerti cara tentang rumus di atas, amati uraian di bawah ini:

(3 x 5)² = (3 x 5) x (3 x 5)

(3 x 5)² =(3 x 3) x (5 x 5)

(3 x 5)² = 3² x 5²

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi (3 x 5)² = 3² x 5²

Contoh Soal Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian 2 Bilangan & Pembahasannya

1. (2 x 7)²
2. [(1/2) x (1/3)]³

1. (2 x 7)² = 2² x 7² = 4 x 49 = 196
2. [(1/2) x (1/3)]³ = (1/2)³ x (1/3)³ = (1/8) x (1/27) = 1/216

5. Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan

Dalam operasi hitung perpangkatan suatu pembagian dua bilangan, berlaku sifat selaku berikut:

(a : b)^m = a^m : b^m

Untuk lebih mengetahui cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:

(3/5)² = (3/5) x (3/5)

(3/5)² = (3 x 3)/(5 x 5)

(3/5)² = 3²/5²

Sehingga, mampu kita simpulkan menjadi (3/5)² = 3²/5²

Contoh Soal Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian 2 Bilangan & Pembahasannya

Sederhanakan hasil perpangkatan dr bilangan berpangkat di bawah ini, kemudian tentukan nilainya!

1. (2/3)²
2. [(−3)/2]³

1. (2/3)² = 2²/5² = 4/25
2. [(−3)/2]³ = (−3)³/2³ = −27/8

6. Sifat Perpangkatan Bilangan nol

Apabila a merupakan bilangan real (a ∈ R) serta n merupakan bilangan bulat positif  (n ≥ 1), maka sifat-sifat perpangkatan  bilangan 0 (nol) merupakan selaku berikut:

1. a^o = 1
2. 0ⁿ = 0
3. 0^o = tak terdefinisi

Untuk membuktikan sifat pangkat darir bilangan nol nomor 1, simak penjelasan di bawah ini:

2⁴ : 2⁴ = 2^4-4 = 20 sehingga,

2⁴ : 2⁴ = 2⁰, sebab 2⁴ : 2⁴ = 16/16 = 1, maka

2⁰ = 1

Dengan pembuktian tersebut, maka mampu kita simpulkan bila seluruh bilangan real kecuali nol jika kita pangkatkan dgn 0 (nol) maka risikonya akan sama dgn 1.

Untuk pembuktian sifat pangkat bilangan nol nomor 2, simak penjelasan di bawah ini:

0¹ = 0 × 0 = 0

0² = 0 × 0 × 0 = 0

0³ = 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Dengan pembuktian di atas, maka bisa kita simpulkan jikalau bilangan nol apabila kita pangkatkan sebanyak apa pun kesudahannya akan senantiasa nol.

Untuk pembuktian sifat pangkat bilangan nol nomor 3, simak penjelasan di bawah ini:

Kita tahu jika nilai 0ⁿ = 0, sehingga,

0ⁿ/0ⁿ = 0/0, nilai 0/0 = seluruh bilangan, lantaran seluruh bilangan dikalikan nol alhasil yakni nol.

Maka mampu kita tuliskan bentuk persamaan yang lain, mirip:

0ⁿ/0ⁿ = 0^n-n

0ⁿ/0ⁿ = 00 lantaran 0ⁿ/0ⁿ = 0/0 = seluruh bilangan, maka

0⁰ = seluruh bilangan

seluruh bilangan artinya mampu 1, 12, 123, 1234, 12345, 13456 & seterusnya. Maka dr itu, definisinya tak terang.

Sehingga bisa kita simpulkan kalau bilangan nol pangkat nol risikonya tak terdefinisi.

Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan akar dr suatu bilangan-bilangan yg kesudahannya bukan tergolong ke dlm bilangan rasional (bilangan yg mencakup bilangan cacah, bilangan prima, serta bilangan-bilangan lain yg terkait) atau bilangan irasional (yakni bilangan yg hasil baginya tak pernah berhenti).

Bentuk akar yaitu bentuk lain untuk menyebutkan suatu bilangan yg berpangkat.

Bentuk akar termasuk ke dlm bilangan irasional di mana bilangan irasional tak bisa disebutkan dgn menggunakan bilangan pecahan a/b, a serta b bilangan bundar a & b ≠ 0.

Bilangan dr bentuk akar merupakan suatu bilangan yg ada di dlm tanda √ yang disebut sebagai tanda akar. 

Beberapa teladan bilangan irasional di dlm bentuk akar yakni √2, √6, √7, √11 & lain sebagainya.

Sementara untuk √25 bukanlah bentuk akar, sebab √25 = 5  (5 merupakan bilangan rasional) sama saja angka 25 bentuk akarnya yaitu √5.

Simbol akar “√” pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan asal Jerman yg bernama Christoff Rudoff.

Di dlm bukunya dgn judul Die Coss. Simbol tersebut diseleksi sebab ibarat dgn karakter ” r ” yg mana diambil dr kata “radix”, yg merupakan bahasa latin bagi akar pangkat dua.

Sebagaimana bilangan berpangkat yg mempunyai beberapa sifat-sifat, bentuk dr akar pun pula mempunyai beberapa sifat, diantaranya yakni:

1. √a² = a
2. √a x b = √a x √b ; a ≥ 0 & b ≥ 0
3. √a/b = √a/√b ; a ≥ 0 & b ≥ 0

Demikianlah ulasan singkat kali ini yg dapat kami sampaikan mengenai Bilangan Berpangkat – Eksponen. Semoga ulasan di atas tentang Bilangan Berpangkat – Eksponen dapat kalian jadikan sebagai materi belajar kalian.