Pernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “kalau dan cuma jika” sehingga diperoleh pernyataan gres yang berupa “p jika dan cuma jika q”. Pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah. Biimplikasi “p bila dan cuma bila q” dapat ditulis dengan lambang berikut.
|
p ⇔ q
|
(dibaca: p jika dan cuma jika q)
Dalam beberapa penerapan, p ⇔ q mampu juga dibaca selaku berikut.
(i) Jika p maka q dan jika q maka p.
(ii) p syarat perlu dan cukup bagi q.
(iii) q syarat perlu dan cukup bagi p
Nilai kebenaran biimplikasi p ⇔ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi sebagai berikut.
|
p ⇔ q dinyatakan benar, kalau τ(p) = τ(q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang serupa).
p ⇔ q dinyatakan salah, bila τ(p) ≠ τ(q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama).
|
Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran biimplikasi p ⇔ q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.
Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi p ⇔ q
|
p
|
q
|
p ⇔ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
Sekarang, supaya kalian lebih paham tentang konsep biimplikasi dalam akal matematika, silahkan kalian simak beberapa acuan soal dan pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) (16)1/2 = 4 jikalau dan cuma bila 16log 4 = ½
b) x2 – 4x + 3 = 0 memiliki akar real jikalau dan cuma jikalau x2 – 4x = 0 tidak memiliki akar real.
Jawab:
a) Misalkan p: (16)1/2 = 4 dan q: 16log 4 = ½, maka:
● p: (16)1/2 = 4 bernilai benar (B)
● q: 16log 4 = ½ bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇔ q benar.
b) Misalkan p: x2 – 4x + 3 = 0 memiliki akar real dan q: x2 – 4x = 0 tidak memiliki akar real, maka:
● p: x2 – 4x + 3 = 0 memiliki akar real bernilai benar (B)
● q: x2 – 4x = 0 tidak memiliki akar real bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
Seperti halnya dalam disjungsi, konjungsi, dan implikasi, dalam biimplikasi juga sering ditemui kalimat yang berbentuk “p(x) ⇔ q” atau “p ⇔q(x)”, dengan p(x) dan q(x) ialah kalimat-kalimat terbuka, p dan q ialah pernyataan-pernyataan.
Kalimat terbuka “p(x) ⇔ q” atau “p ⇔ q(x)” mampu diubah menjadi biimplikasi yang bernilai benar/salah dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x). Untuk lebih jelasnya, simaklah acuan soal berikut.
Contoh Soal 2:
Carilah nilai-nilai x semoga kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
3x – 4 = 2x + 2 jikalau dan hanya bila 6 yakni bilangan genap.
Jawab:
Kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇔ q” dengan p(x): 3x – 4 = 2x + 2 merupakan sebuah kalimat terbuka dan q: 6 adalah bilangan genap merupakan suatu pernyataan.
Agar kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jikalau 6 yakni bilangan genap” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): 3x –4 = 2x + 2 haruslah diubah menjadi pernyataan yang benar, karena pernyataan q sudah terang bernilai benar (perhatikan tabel nilai kebenaran biimplikasi di atas).
Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): 3x – 4 = 2x + 2 menjadi pernyataan yang benar yakni himpunan solusi dari kalimat terbuka itu, ialah untuk x = 6. Jadi, kalimat “3x – 4 = 2x + 2 kalau dan cuma bila 6 ialah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar untuk x = 6.
Contoh Soal 3:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimpliasi berikut ini.
a) 0 tergolong bilangan cacah jikalau dan hanya kalau 0 adalah bilangan asli.
b) 2m–n = 2m – 2n bila dan hanya kalau 25–2 = 23.
Jawab:
a) Misalkan p: 0 tergolong bilangan cacah dan q: 0 yaitu bilangan orisinil, maka:
● p: 0 tergolong bilangan cacah bernilai benar (B)
● q: 0 adalah bilangan orisinil bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
b) Misalkan p: 2m–n = 2m – 2n dan q: 25–2 = 23, maka:
● p: 2m–n = 2m – 2n bernilai salah (S)
● q: q: 25–2 = 23 bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah.
Contoh Soal 4:
Diketahui p yakni pernyataan yang bernilai salah dan q yaitu pernyataan yang bernilai benar, pastikan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.
a) p ⇔ q
b) p ⇔ q
c) p ⇔ q
d) p ⇔ q
e) (p ⇔ q)
f) ( p ⇔ q)
Jawab:
Untuk memudahkan memilih nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
|
p
|
q
|
p
|
q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ q
|
(p ⇔ q)
|
( p ⇔ q)
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Contoh Soal 5:
Carilah nilai x semoga setiap kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
a) 2x + 1 = 3 jika dan cuma jika 3 adalah bilangan komposit.
b) x2 – 1 ≤ jikalau dan hanya bila 2log 4 + 2log 2 = 3.
Jawab:
a) Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): 2x + 1 = 3 dan suatu pernyataan q: 3 yaitu bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
q: 3 ialah bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 3 yaitu bilangan prima sehingga tidak termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit ialah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai salah. Sehingga nilai x yang menyanggupi yakni sebagai berikut.
2x + 1 = 3
2x = 3 – 1
2x = 2
x = 1
Karena p(x) mesti bernilai salah, maka x harus bernilai selain 1. Jadi, agar kalimat “2x + 1 = 3 bila dan cuma kalau 3 yakni bilangan komposit” menjadi biimplikasi yang benar, maka x ∈ R, x ≠1.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2 – 1 ≤ 0 dan sebuah pernyataan q: 2log 4 + 2log 2 = 3. Nilai kebenaran pernyataan q ialah selaku berikut.
2log 4 + 2log 2 = 2log 22 + 2log 21
= 2 + 1
= 3
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebaga berikut.
x2 – 1 ≤ 0 maka HP = x
Jadi, semoga kalimat “x2 – 1 ≤ jika dan hanya jikalau 2log 4 + 2log 2 = 3” menjadi biimplikasi yang benar, maka rentang nilai x yang memenuhi ialah -1≤ x ≤ 1, x ∈ R.
Contoh Soal 6:
Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
4x – 2 = 10 jika dan hanya bila log 4 + log 1 = log 5
Jawab:
Terdapat suatu kalimat terbuka p(x): 4x – 2 = 10 dan sebuah pernyataan q: log 4 + log 1 = log 5. Nilai kebenaran pernyataan q adalah selaku berikut.
log 4 + log 1 = log (4 × 1)
= log 4
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang menyanggupi yakni sebaga berikut.
4x – 2 = 10
4x = 10 + 2
4x = 12
x = 3
Makara, supaya kalimat “4x – 2 = 10 bila dan cuma kalau log 4 + log 1 = log 5” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x = 3.