Dalam nalar kita mengenal yang namanya kalimat majemuk. Kalimat beragam ialah kalimat yang terdiri atas dua pernyataan atau kalimat terbuka. Kalimat beragam dalam logika matematika dikategorikan menjadi konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Masih ingatkah kalian dengan apa yang dimaskud biimplikasi itu?
Biimplikasi yakni dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan memakai tanda hubung “bila dan hanya jika”. Biimplikasi dilambangkan dengan ⇔. Adapun tabel nilai kebenaran biimplikasi dari pernyataan p dan q yakni sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi p ⇔ q
|
p
|
q
|
p ⇔ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
Sekarang, biar kalian lebih memahami mengenai rancangan biimplikasi dalam logika matematika, silahkan simak beberapa teladan soal dan pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) P ∩ Q = Q jikalau dan hanya jika Q ⊆ P.
b) Persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar kembar jika dan cuma jika b2 – 4ac = 0.
Jawab:
a) Misalkan p: P ∩ Q = Q dan q: Q ⊆ P. Maksud dari pernyataan p dan q yakni selaku berikut.
□ p: P ∩ Q = Q, dengan “∩” dibaca irisan. P ∩ Q memiliki arti sebuah himpunan yang memuat semua unsur yang sama-sama dimiliki oleh P dan Q. Sebagai pola, jikalau P = a, b, c, d, e dan Q = a, c, e, g, i maka P ∩ Q = a, c, e.
□ q: Q ⊆ P, dengan “⊆” dibaca subset. Q ⊆ P mempunyai arti setiap komponen Q juga merupakan unsur P. Sebagai pola, bila Q = a, b, dan c maka a, b, dan c juga merupakan komponen dari P. Tetapi setiap bagian P belum pasti menjadi bagian Q.
Sekarang, untuk memilih nilai kebenaran biimplikasi di atas, kita buat permisalan sebagai berikut.
Misalkan:
Himpunan P = 1, 2, 3, 4, 5
Himpunan Q = 1, 2, 3
Berarti mampu dikatakan Q ⊆ P dan P ∩ Q = 1, 2, 3. Dengan demikian P ∩ Q = Q. Kaprikornus kalimat “P ∩ Q = Q jikalau dan cuma jika Q ⊆ P” yakni benar.
b) Misalkan p: Persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar kembar dan q: b2 – 4ac = 0. Suatu persamaan kuadrat yang berupa ax2 + bx + c = 0 akan mempunyai akar-akar sama (akar kembar), real dan rasional bila nilai diskriminan D = 0. Nilai diskriminan ditentukan dengan persamaan berikut.
D = b2 – 4ac
Dengan demikian, kalimat “Persamaan ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar kembar jika dan cuma bila b2 – 4ac = 0” yakni benar.
Contoh Soal 2:
Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
Log 10 = 1 bila dan cuma bila x3 + 1 = 0
Jawab:
Terdapat pernyataan p: Log 10 = 1 dan kalimat terbuka q(x): x3 + 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
Log 10 = 10log 101 = 1
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) mesti menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah x = -1.
Contoh Soal 3:
Carilah nilai x supaya kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
Log 16 = (log 4)2 jikalau dan cuma jika x2 – 16 = 0.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: Log 16 = (log 4)2 dan kalimat terbuka q: x2 – 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p yakni sebagai berikut.
Log 16 = log (4 × 4)
Log 16 = log 4 + log 4
(log 4)2 = log 4 × log 4
Jadi log 16 ≠ (log 4)2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah. Agar p ⇔ q salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang menyanggupi adalah selaku berikut.
x2 – 16 = 0
(x + 4)(x – 4) = 0
x = -4 atau x = 4
Kaprikornus, kalimat “Log 16 = (log 4)2 bila dan cuma kalau x2 – 16 = 0” akan menjadi biimplikasi yang salah, bila nilai x = -4 atau x = 4.
Apa itu Biimplikasi Logis?
Untuk mengerti pengertian biimplikasi logis, simaklah kembali kalimat yang berupa p(x) ⇔ q(x) berikut.
x – 2 = 0 jika dan cuma jikalau 3x = 6
Tiap penggantian nilai x yang menjadikan p(x) benar akan menimbulkan kalimat q(x) juga benar. Begitu pula tiap penggantian nilai x yang menyebabkan q(x) benar akan menimbulkan p(x) juga benar. Kalimat p(x) ⇔ q(x) yang berciri mirip itu disebut biimplikasi logis.
Apabila p(x) ⇔ q(x) suatu implikasi logis, dikatakan p(x) dan q(x) ialah dua kalimat yang ekuivalen, ditulis sebagai berikut.
|
p(x) ≡ q(x)
|
dibaca: p(x) ekuivalen q(x)
Jadi, dua kalimat terbuka dikatakan ekuivalen jika kedua kalimat terbuka itu memiliki himpunan penyelasaian yang sama. Berikut ini yaitu beberapa pola biimplikasi logis.
a) 2log x = 3 kalau dan hanya jika x = 23
b) x + 2 = 0 jika dan hanya jikalau 2x + 3 = x + 1
c) ∆ABC siku-siku bila dan cuma jika ∆ABC mempunyai suatu sudut siku-siku.
|
Catatan:
Biimplikasi pada pola c) di atas mampu pula dibaca sebagai berikut.
□ Jika ∆ABC siku-siku, maka ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku dan kalau ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku, maka ∆ABC siku-siku.
□ ∆ABC siku-siku merupakan syarat perlu dan cukup bagi ∆ABC memiliki suatu sudut siku-siku.
□ ∆ABC mempunyai suatu sudut siku-siku merupakan syarat perlu dan cukup bagi ∆ABC siku-siku.
|