Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

by

1. Aturan Pencacahan / Atuan Perkalian
Aturan pencacahan & aturan perkalian merupakan salah satu ilmu yg dipelajari dlm matematika di tingkat Sekolah Menengan Atas. Aturan perkalian/pencacahan dipakai dlm mengkalkulasikan banyaknya cara kita bisa menyusun atau menciptakan dr beberapa objek yg dipakai. Tentunya dgn syarat yg telah ditentukan.
Lebih jelasnya amati beberapa pola berikut.

 Contoh 1
Adi mempunyai  2 pasang sepatu (warna hitam & putih)  & 3 pasang kaus kaki (warna hitam, putih & coklat). Berapa cara berlainan Adi menggunakan sepatu & kaos kaki?

 Jawaban:
Misalkan jenis/warna sepatu = H & P
Jenis/warna kaus kaki = h, p, c
Sehingga Adi bisa mengkombinasi antara sepatu & kaus kaki sebgai berikut.
Hh, Hp, Hc, Ph, Pp, Pc    (Hh = Sepatu hitam-Kaus kaki hitam)
Jadi, ada 6 cara berlainan Adi memakai kombinasi sepatu & kaus kaki.

Cara 2:
Jenis & banyak sepatu = 2
Jenis & banyak kaus kaki = 3
Banyak cara mengkombinasi sepatu & kaus kaki yaitu :
=  2 x 3
= 6 cara

Contoh 2
Pak Budi akan pergi ke kota X lewat kota Y. Dari rumah ke kota Y mampu melalui 4 rute. Dari kota Y ke kota X dapat lewat 2 rute. Berapa banyak rute yg berbeda mampu ditempuh Pak Budi?

 Jawaban:
Rute dr rumah ke kota Y = 4 rute
Rute dr kota Y ke kota X = 2 rute
Banyak rute berlainan yg ditempuh Pak Budi
= 4 x 2
= 8
Makara, ada 8 rute berlainan yg dapat ditempuh Pak Budi.
Contoh 3
Terdapat bilangan 1, 2, 3, 4, & 5 akan dibuat bilangan tiga angka. Tentukan banyaknya bilangan yg dapat dibuat bila memiliki syarat berikut.
a. Boleh ada angka yg sama
b. Tidak ada pengulangan angka yg sama.
c. Bilangan yg terbentuk lebih dr 300 (boleh pengulangan angka)
d. Bilangan yg terbentuk lebih dr 300 ( tak ada pengulangan angka yg sama)
Jawaban:
Bilangan yg terbentuk adalah bilangan ratusan, sehingga dapat dibuat mirip berikut.

Ratusan
Puluhan
Satuan


  Terdapat 3 kawasan yg dapat diisi angka
a. Boleh ada angka yg sama (angka boleh diulang)
    Pada Ratusan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
    Pada Puluhan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
    Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia

  Cara Menentukan Rumus Barisan Bertingkat Dan Suku Ke-n

5 cara
5 cara
5 cara

   Banyak bilangan yg terbentuk 

  = 5 x 5 x 5 

  = 125
  Makara, ada 125 bilangan yg mampu dibuat.


 b. Tidak ada pengulangan angka yg sama
    Pada Ratusan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
    Pada Puluhan : Bisa memilih 4 angka tersisa (satu angka telah digunakan di ratusan)
    Pada Satuan : Bisa menentukan 3 angka tersisa (satu angka telah dipakai di ratusan & puluhan)


5 cara
4 cara
3 cara

   Banyak bilangan yg terbentuk 

  = 5 x 4 x 3

  = 60
  Makara, ada 60 bilangan yg mampu dibentuk.


 c. Bilangan di atas 300 dgn angka-angkanya boleh diulang
    Pada Ratusan : Bisa memilih 3 angka tersedia (yakni angka 3, 4, & 5)
    Pada Puluhan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
    Pada Satuan : Bisa menentukan 5 angka tersedia


3 cara
5 cara
5 cara

   Banyak bilangan yg terbentuk 

  = 3 x 5 x 5

  = 75
  Kaprikornus, ada 75 bilangan yg nilainya di atas 300.


 d. Bilangan di atas 300 dgn angka-angkanya tak boleh diulang
    Pada Ratusan : Bisa menentukan 3 angka tersedia (yakni angka 3, 4, & 5)
    Pada Puluhan : Bisa menentukan 4 angka tersisa (satu angka telah digunakan di ratusan)
    Pada Satuan : Bisa menentukan 3 angka tersisa (satu angka telah dipakai di ratusan & satuan)


3 cara
4 cara
3 cara

   Banyak bilangan yg terbentuk 

  = 3 x 4 x 3

  = 36
  Kaprikornus, ada 36 bilangan yg nilainya di atas 300 dgn angka berbeda. 

Contoh 4
Terdapat bilangan 0 hingga dgn 9 akan dibuat bilangan empat angka (bilangan Ribuan). Tentukan banyaknya bilangan yg mampu dibentuk bila memiliki syarat berikut.
a. Bilangan ganjil
b. Bilangan kelipatan 5
c. Bilangan antara 3.000 & 7.000
Catatan : Angka boleh diulang pada setiap bilangan
Jawaban:
Bilangan yg terbentuk yaitu bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat mirip berikut.

Ribuan
Ratusan
Puluhan
Satuan
Terdapat 4 daerah yg mampu diisi angka

  Kisi-Kisi UN-USBN SMP, SMA, SMK sederajat tahun 2017/2018
a. Bilangan ganjil. Ciri bilangan ganjil yaitu bilangan yg satuaanya angka 1, 3, 5, 7, atau 9.Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka satuannya angka ganjil.
    Pada Satuan : Bisa memilih 5 angka tersedia (yaitu angka 1, 3, 5, 7, & 9)
    Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, & puluhan.
    Pada Ribuan : Bisa memilih 9 angka tersedia (selain 0)
    Pada Ratusan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 – 9)
    Pada Puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 – 9)
Bilangan yg terbentuk yaitu bilangan Ribuan, sehingga dapat dibentuk seperti berikut.

9 cara
10 cara
10 cara
5 cara

Banyak bilangan yg terbentuk

  = 9 x 10 x 10 x 5

  =4.500

  Kaprikornus, ada 4.500 bilangan ganjil yang terbentuk.

b. Bilangan kelipatan 5. 
Ciri bilangan kelipatan 5 yakni bilangan yg satuannya angka 0 dan 5.Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka satuannya angka 0 & 5.
    Pada Satuan : Bisa memilih 2 angka tersedia (yakni angka 0 dan 5)
    Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, & puluhan.
    Pada Ribuan : Bisa memilih 9 angka tersedia (selain 0)
    Pada Ratusan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 – 9)
    Pada Puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 – 9)
Bilangan yg terbentuk yaitu bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.

9 cara
10 cara
10 cara
2 cara

Banyak bilangan yg terbentuk

  = 9 x 10 x 10 x 2

  =1.800

  Kaprikornus, ada 1.800 bilangan kelipatan 5 yang terbentuk.

c. Bilangan antara 3.000 & 7.000. 
Ciri bilangan antara 3.000 & 7.000 yakni bilangan yg ribuannya3, 4, 5, dan 6. Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka ribuannya haruslah angka 3, 4, 5, & 6.
    Pada Ribuan : Bisa menentukan 4 angka tersedia (yakni angka 3, 4, 5, dan 6)
    Baru kemudian angka-angka pada ratusan, puluhan & satuan.
    Pada Ratusan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 – 9)
    Pada puluhan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 – 9)
    Pada satuan : Bisa memilih 10 angka tersedia (1 – 9)
Bilangan yg terbentuk yaitu bilangan Ribuan, sehingga dapat dibuat seperti berikut.

4 cara
10 cara
10 cara
10 cara

Banyak bilangan yg terbentuk

  = 4 x 10 x 10 x 10

  = 4.000

  Makara, ada 4.000 bilangan antara 3.000 & 7.000 yang terbentuk.

  Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyak dengan Cara Horner

Demikianlah sedikit materi ihwal aturan perkalian/pencacahan.
Selanjutnya, mari mempelajari tentang permutasi & variasi. 

Contoh 5
Diberikan angka 0, 1, 2,3, 4, & 5. Dari angka tersebut akan dibuat bilangan tiga angka (ratusan) tanpa ada angka yg sama. Tentukan banyaknya bilangan yg mampu disusun jikalau :
a. jumlah digit pembentuknya sama dengan 6. 
b. jumlah digit pembentuknya sama dgn 9. 

Jawaban:
a. Kelompok angka-angka yg dijumlahkan 6.
(0, 1, & 5) mampu dibentuk 105, 150, 501, 510
(0, 2, & 4) mampu dibentuk 204, 240, 402, 420
(1, 2, & 3) mampu dibentuk 123, 132, 213, 231, 312, 321
Ada 14 bilangan.
Kaprikornus,ada14 bilangan ratusan yg jumlah digit-digitnya 6.

b. Kelompok angka-angka yg dijumlahkan 9 & bilangan yg terbentuk.

(0, 4, & 5) mampu dibentuk 405, 450, 504, 540
(1, 3, & 5) dapat dibentuk 135, 153, 315, 351, 513, 53

(2, 3, & 4) mampu dibuat 234, 243, 324, 342, 423. 432


Ada 16 bilangan.
Jadi,ada16 bilangan ratusan yg jumla digit-digitnya 6.