Abstrak: Keluhan sebagian pelajar matematika yang kadang kala diungkapkan yakni “kesusahan berguru matematika secara mampu berdiri diatas kaki sendiri”. Kesulitan berguru itu khususnya dalam menentukan model pembelajaran yang tepat. Model pembelajaran yang digunakan hendaknya mencakup bagaimana belajar, bagaimana mengenang, bagaimana berpikir dan bagaimana memotivasi diri sendiri. Oleh alasannya itu, pelajar mampu menentukan versi reciprocal teaching untuk belajar matematika secara mandiri. Karena dalam model reciprocal teaching terdapat empat kemampuan kognitif adalah merangkum, bertanya, menerangkan dan memprediksi
Kata kunci: Model reciprocal teaching, belajar, berdikari
Matematika dikenal selaku suatu ilmu wawasan yang absurd, yang dapat dipandang selaku menstrukturkan acuan berpikir yang sistematis, kritis, logis, cermat dan konsisten. Pola berpikir yang dianut secara konsisten inilah yang menimbulkan matematika memiliki ilmu yang kuat.
Dalam pembahasan matematika, kesimpulan-kesimpulan yang dihasilkan sementara diperoleh melalui akal sehat dengan contoh berpikir seperti yang diungkapkan di atas yang diikuti secara ketat tanpa pengecualian/pengkhususan. Dalam matematika juga tidak terdapat desain-desain yang berlawanan (kontradiksi). Karena itu, bahan matematika dan akal budi matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Materi matematika tidak dapat dimengerti dengan baik dan benar kalau tidak dipelajari dengan pikiran sehat yang benar. Sebaliknya, daypikir matematika itu cuma mampu dipahami dan dilatihkan lewat mencar ilmu materi matematika. Dengan demikian mencar ilmu mirip ini untuk membuat lebih mudah mendapatkan pengertian yang benar sehingga terhindar dari salah pengertian (misconception). Sebab pengertian rancangan yang salah dapat berakibat fatal dalam pengembangan dan penerapan selanjutnya. Kebiasaan berpikir dan bernalar matematika ini akan sungguh menolong dalam menghadapi masalah dalam proses solusi masalah, serta dalam proses pengambilan keputusan, sekalipun di luar bidang matematika.
Untuk mencar ilmu bahan matematika dan akal budi matematika sehingga tercapai tujuan pembelajaran yang kita inginkan. Perlu kiranya kita memilih versi pembelajaran yang sempurna. Dengan demikian kita dapat mencar ilmu secara mandiri. Model pembelajaran yang dipakai hendaknya meliputi bagaimana mencar ilmu, bagaimana mengenang, bagaimana berpikir dan bagaimana memotivasi diri sendiri. Hal ini diungkapkan Weinstein dan Meyer dalam Khabibah (1999:3), “Good teaching includes teaching students how to learn, how to remember, how to think, and how to motivate themselves”. Dengan demikian kita dapat memilih model reciprocal teaching (pembelajaran terbalik) sehingga kita dapat berguru secara berdikari.
Polinscar dan Brown, (1984) dan Daniel, (1988) menyatakan, “ Terdapat sejumlah upaya menurut teori Vigotsky untuk mengenalkan bentuk reciprocal teaching yang dirancang untuk menyikapi siswa dalam kebutuhan pembelajaran mandiri” (dalam Harry dan Julia, 1995:75). Model reciprocal teaching merupakan salah satu model pembelajaran yang dipakai dalam pembelajaran dalam beberapa mata pelajaran diantaranya matematika. Dengan versi reciprocal teaching diharapkan kita dapat mencar ilmu bahan matematika dan penalaran matematika secara mandiri.
Dalam model reciprocal teaching terdapat empat kemampuan kognitif yaitu merangkum, mengajukan pertanyaan, menerangkan dan memprediksi. Belajar materi matematika dan penalaran matematika sungguh erat hubungannya dengan kehidupan sehari-hari. Meskipun tidak semua materi matematika mampu dipelajari dengan menggunakan versi reciprocal teaching. Namun yang kita kehendaki pola berpikir kita memiliki empat kemampuan tersebut.
BELAJAR MANDIRI
Belajar yaitu suatu proses yang harus diadakan seseorang atau sekelompok orang untuk mendapatkan penguasaan suatu kesanggupan tertentu yang telah ditetapkan apalagi dahulu. Yang dimaksud dengan penguasaan kemampuan berguru matematika, bukan hanya penguasaan rancangan, materi, akal budi dan kemampuan teknis (penguasaan ilmu). Tetapi juga, training tabiat, sikap dan perilaku kepada diri dalam matematika, yang secara singkat kita sebut selaku pembinaan kematangan profesional. Dalam matematika termasuk di sini sikap dan etos kerja, sifat kreatif dan inovatif serta kesanggupan berkomunikasi ekspresi dan tulisan.
Sesuai dengan pandangan yang dikemukakan di atas, pembelajaran matematika perlu mencakup perjuangan melatihkan kemampuan mencar ilmu mampu berdiri diatas kaki sendiri dengan memanfaatkan fasilitas dan nara
Daftar Isi
PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Pembelajaran matematika perlu diberi pengutamaan pada:
1. Pemahaman desain dengan baik dan benar.
2. Kekuatan bernalar matematika.
3. Keterampilan dalam teknik dan metode dalam matematika
4. Kemampuan mencar ilmu berdikari.
Ada beberapa tingkatan penguasaan desain dalam matematika selaku berikut:
1. Mengucapkan rancangan dengan sempurna dan benar.
2. Menjelaskan konsep dengan kalimat dan kata-kata biasa, sehinga dapat diketahui oleh orang lain.
3. Mengidentifikasi keberlakuan atau ketidakberlakuan desain, yakni kemampuan memakai atau tidak menggunakan konsep pada kawasan atau situasi yang benar.
4. Menginterpretasikan suatu konsep adalah memberikan interpretasi suatu desain dilingkungan matematika atau di luar matematika dalam suasana sehari-hari atau bidang ilmu lain. Ini mendasari kesanggupan menerapkan matematika.
5. Menerapkan rancangan dengan benar dalam matematika ataupun dalam penerapan matematika di luar bidang matematika.
6. Kesadaran pengembangan rancangan, berbentukgeneralisasi ataupun pengembangan sifat dan perilaku rancangan tersebut.
7. Kemampuan berkomunikasi tentang matematika dan mengkomunikasikan matematika. Yang pertama adalah menghidangkan pertimbangan atau hasil pedoman matematika yang sempurna dan benar, secara lisan dan tulisan. Yang kedua adalah mengkomunikasikan matematika pada pengguna, selaku kunci penerapan matematika.
Beberapa hal berikut ini dapat dipertimbangkan dalam melaksanakan pembelajaran matematika:
1. Usaha menumbuhkan motivasi mencar ilmu
Sebelum mencar ilmu materi dan akal sehat lebih lanjut, kita hendaknya terlebih dulu tahu faedah dan tujuan berguru matematika.
2. Penyajian desain (Aksioma dan Definisi)
Mencoba untuk menjelaskan isi atau maksud konsep itu dengan kata-kata dan kalimat umumyang sederhana. Dan bila memungkinkan diberikan interpretasinya dalam situasi usaha atau suasana lain yang telah diketahui .
Setiap definisi selalu berisikan tiga komponen, yakni:
- Ruang atau semesta di mana definisi itu berlaku.
- Ungkapan definisi.
- Atributnya.
Kemampuan mengidentifikasi ketiga unsur itu dengan benar sangatlah penting untuk memudahkan penggunaan dan menghindarkan penggunaan yang keliru. Perlu dibiasakan menelaah setiap definisi dan menyaksikan beberapa akibat logisnya yang mungkin dirumuskan, yang kerap kali ditemui berupa teorema.
3. Penyajian teorema, sifat atau aturan-hukum
Setiap teorema harus ditunjukkan kebenarannya, memberikan kebenaran ini dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:
- Menemukan teorema itu sebagai akibat logis kebenaran yang berbentukdefinisi atau teorema yang telah diperoleh sebelumnya.
- Meneruskan suatu teorema berdasarkan intuisi dan kemudian dibuktikan secara deduktif menurut definisi atau aneka macam teorema yang diperoleh sebelumnya.
Menunjukkan bahwa setiap teorema berisikan tiga unsur, adalah:
- Semesta di mana teorema itu diberlakukan.
- Premis yaitu semacam persyaratan yang mesti dipenuhi.
- Kesimpulan yang menyatakan balasan dari premis.
Mengidentifikasi komponen-unsur ini penting untuk proses pembuktian dan untuk menghindarkan kekeliruan penggunaan. Penting pula ditunjukkan penggunaan dan interpretasi teorma tersebut.
4. Metode dan tehnik matematika
Untuk menawarkan keahlian penggunaan sistem dan tehnik ini perlu dimulai dengan menawarkan pola yang lengkap dan jelas, dan menunjukkan alasan setiap langkah yang diambil. Kemudian latihan menghidangkan soal-soal yang ada.
5. Problem solving
Dalam masalah solving dituntut kematangan yang lebih, yang meliputi mengenal dan menganalisis urusan, penjajagan dan menjajal -coba banyak sekali cara solusi, menentukan metode dan tehnik-tehnik yang tepat, dan contohnya kebenaran yang diperoleh.
6. Evaluasi
Evaluasi ialah perjuangan untuk mengetahui materi atau kesanggupan yang sudah diajarkan sukses dilakukan dan dipahami dengan baik oleh kita dan sesuai dengan ketentuan tujuan pembelajaran.
MODEL RECIPROCAL TEACHING
Polinscar (1986) dalam Harry dan Julia (1995:75) mengungkapkan ada empat strategi kognitif yang dipakai untuk membantu pemahaman kita tersebut ialah:
1. Merangkum; kita mampu mengidentifikasi dan memparafrasekan inspirasi pokok dalam sebuah wacana.
2. Bertanya; kita dapat menciptakan pertanyaan sendiri wacana isu yang belum terperinci yang terdapat dalam tentang.
3. Menjelaskan; kita mampu mengklarifikasi sebuah pengertian yang sulit dan dapat mengklarifikasi keyword yang terdapat dalam ihwal supaya lebih dimengerti, misalnya dengan membaca ulang, membaca di depan, bertanya untuk membantu.
4. Memprediksi; kita dapat menyelenggarakan hipotesis perihal struktur dan isi bacaan yang akan dihidangkan selanjutnya.
Model reciprocal teaching ialah seni manajemen pembelajaran yang dikembangkan oleh Annimarie Sakivan Polinscar dan Ann Brown pada tahun 1981 untuk pelajaran bahasa. Namun tidak ada salahnya bila kita menerapkannya dalam berguru matematika secara berdikari. Karena dengan versi reciprocal teaching diperlukan belajar mengerti sehingga tidak gampang lupa dan lebih berarti, kita juga mampu belajar mandiri dan mampu memotivasi diri sendiri.
MODEL RECIPROCAL TEACHING DALAM BELAJAR MATEMATIKA SECARA MANDIRI
Telah diungkapkan di atas bahwa model reciprocal teaching ialah suatu mekanisme pembelajaran atau pendekatan yang dirancang untuk mengajarkan terhadap siswa tentang taktik pemahaman yaitu merangkum, bertanya, menjelaskan dan memprediksi. Adapun langkah-langkah penerapan versi reciprocal teaching dalam belajar matematika secara berdikari adalah sebagai berikut:
Dalam hal ini dicontohkan bahan aljabar linear pada pokok bahasan Ruang-ruang Vektor dengan sub pokok bahasan Kebebasan Linear.
Langkah 1. Membaca materi di bawah ini dengan teliti dan teliti.
Definisi: Jika S = v1, v2, …, vr yakni suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + …+ krvr = 0
memiliki paling tidak satu solusi yaitu k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini adalah satu-satunya solusi maka S disebut sebuah himpunan yang bebas secara linear. Jika ada solusi-solusi lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.
Contaoh 1.
Jika v1 = (2, -1, 0, 3) , v2 = (1, 2, 5,-1), dan v3 = (7, -1, 5, 8), maka himpunan vektor-vektor S = v1, v2, v3 tak-bebas secara linear, sebab 3v1 + v2 – v3 = 0.
Contoh 2.
Polinom p1 = 1 – x , p2 = 5 + 3x – 2x2 , dan p3 = 1 + 3x – x2
Membentuk sebuah himpunanyang tak-bebas secara linear dalam P2 alasannya 3 p1 – p2 + 2p3 = 0
Contoh 3.
Tinjau vektor i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1) dalam R3. Dalam bentuk komponen, persaman vektor
k1i + k2j + krk = 0
menjadi
k1(1,0, 0) + k2(0, 1, 0) + kr(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
atau secara ekuivalen
(k1 , k2 , kr ) = (0, 0, 0)
Ini berimplikasi bahwa k1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0 sehinga himpunan S = i, j, k bebas secara linear. Suatu uraian serupa bisa digunakan untuk memperlihatkan bahwa vektor-vektor
e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 1)
membentuk suatu himpunan yang bebas secara linear dalam R3.
Contoh 4.
Tentukan apakah vekor-vektor
v1 = (1, -2, 3) , v2 = (5, 6, -1), v3 = (3, 2, 1)
membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear atau himpunan yang bebas secara linear!
Penyelesaian:
Dalam bentuk unsur, persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0
menjadi
k1(1, -2, 3) + k2(5, 6, -1) + k3(3, 2, 1) = (0, 0, 0)
atau secara ekuivalen
(k1 + 5k2 + 3k3 , –2k1 + 6k2 + 2k3 , 3k1 – k2 + k3) = (0, 0, 0)
dengan menyamakan komponen-unsur yang berpadanan kita akan menerima
k1 + 5k2 + 3k3 = 0
–2k1 + 6k2 + 2k3 = 0
3k1 – k2 + k3 = 0
Jadi, v1, v2, dan v3 membentuk sebuah himpunan yang tak-bebas secara linear jika sistem ini mempunyai sebuah solusi yang tak-trivial, atau suatu himpunan yang bebas secara linear jika sistem ini hanyamempunyai penyelesaian trivial. Dengan menyelesaikan sistem ini kita akan menerima
k1 = –
, k2 = –, k3 = t
, k2 = –, k3 = t Kaprikornus, metode tersebut memiliki penyelesaian tak-trivial dan v1, v2, dan v3 membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear. Atau, kitabisa memberikan eksistensi solusi tak-trivial tanpa menuntaskan sistemnya dengan menawarkan bahwa maktriks koefisiennya mempunyai determinan nol dan risikonya tidak dapat dibalik (ditunjukkan).
Contoh 5.
Tunjukkan bahwa polinom
1, x, x2, …, xn
membentuk suatu himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam Pn!
Penyelesaian:
Anggap
p0 = 1 , p2 = x , p2 = x2 , …, pn = xn
Dan asumsikan bahwa sebuah variasi linear dari polinom-polinom ini adalah nol, katakanlah
a0p0 + a1p1 + a2p2 + … + an pn = 0
atau secara ekuivalen
a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 untuk semua x dalam (
) (1)
) (1) kita harus memperlihatkan bahwa
a0 = a1 = a2 = … = an = 0
Untuk melihat bahwa memang demikian halnya, ingatlah dari aljabar bahwa sebuah polinom tak nol berderajat n paling banyak memiliki n akar yang berbeda. Tetapi hal ini mengimplikasikan bahwa a0 = a1 = a2 = … = an = 0 ; jikalau tidak, dari (1) kita peroleh bahwa a0 + a1x + a2x2 + … + anxn adalah suatu polinom tak nol dengan tak hingga banyaknya akar.
Langkah 2. Merangkum bahan yang telah dibaca di atas.
Rangkuman:
Definisi: Jika S = v1, v2, …, vr yaitu suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + …+ krvr = 0
mempunyai paling tidak satu penyelesaian ialah k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini yakni satu-satunya penyelesaian maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada solusi-solusi lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.
Langkah 3. Bertanya;
Dapat diaplikasikan dengan menciptakan soal sendiri yang tepat dengan pola soal di atas. (Silahkan buat soal sendiri)
Langkah 4: Menjelaskan
Jika mencar ilmu mampu berdiri diatas kaki sendiri dijalankan secara kelompok kita dapat menerangkan kepada teman-sobat. Karena dalam belajar matematika, kita dikatakan memahami sebuah bahan bila kita dapat menjelaskan bahan tersebut dengan kata-kata sendiri kepada orang lain.
Langkah 5: Memprediksi
Digunakan untuk meramalkan apa yang terjadi bila suatu syarat dihilangkan atau ditambah sebuah syarat.
Contoh:
Untuk nilai real x berapakah vektor-vektor berikut ini membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear dalam R3?
v1 = 
, v2 = 
, dan v3 = 
, v2 = , dan v3 =
DAFTAR PUSTAKA
Ansyar, M. dan R. K. Sembiring. 2001. Hakikat Pembelajaran MIPA di Perguruan Tinggi. Dalam Ida Malati Sukma Sadjati (Ed.) Hakikat Pembelajaran MIPA dan Kiat Pembelajaran Biologi di Perguruan Tinggi (hal. 10 – 15). Jakarta
Anton, Howard. Terjemahan oleh Hari Suminto, Ir. 2000. Elementary Linear Aljebra. Batam Centre: Interaksara.
Daniel, Harry dan Julia. 1995. Secondary Mathematic and Special Educational Needs. New York : Cassel
Khabibah, Siti. 1999. Model Pengajaran Terbalik (Reciprocal Teaching) Dalam pembelajaran matematika di SMU. Tesis. Surabaya : IKIP Surabaya