Tutorial kita kali ini adalah mata pelajaran matematika, dimana kita akan membicarakan berbagai jenis soal-soal yang berhubungan dengan turunan trigonometri.
Pada bimbingan sebelumnya kita telah mempelajari tentang turunan fungsi aljabar, maka dalam potensi ini dilanjutkan dengan turunan trigonometri.
Daftar Isi
Rumus Turunan Dasar Trigonometri
Berikut ini yakni beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan dilema turunan trigonometri:
2. f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
3. f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
4. f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
5. f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
6. f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x
Perluasan Rumus Turunan Trigonometri I
Misalkan u merupakan fungsi yang mampu diturunkan kepada x, dimana u' ialah turunan u kepada x, maka :
2. f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
3. f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
4. f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
5. f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
6. f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’
Perluasan Rumus Turunan Trigonometri II
Berikut ini yakni turunan dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 :
2. f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
3. f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
4. f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
5. f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
6. f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)
Contoh Soal Turunan Trigonometri
Soal No.1
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = 4 sin x
b. f(x) = 3 cos x
c. f(x) = -2 cos x
d. f(x) = 2 sec x
e. f(x) = 2 csc x
Pembahasan
b. f(x) = 3 cos x → f'(x) = -3 sin x
c. f(x) = -2 cos x → f'(x) = -2 (-sin x) → f'(x) = 2 sin x
d. f(x) = 2 sec x → f'(x) = 2 sec x . tan x
e. f(x) = 2 csc x → f'(x) = 2 (-csc x . cos x) → f'(x) = -2 csc x . cot x
Soal No.2
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin 6x + cos 6x
b. f(x) = 3x4 + sin 2x + cos 3x
c. f(x) = tan 5x + sec 2x
Pembahasan
b. f(x) = 3x4 + sin 2x + cos 3x → f'(x) = 12x3 + 2 cos 2x – 3 sin 3x
c. f(x) = tan 5x + sec 2x → f'(x) = 5 sec2 5x + sec 2x . tan 2x
Soal No.3
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin 3x
b. f(x) = sin x2
c. f(x) = sin 3x2
d. f(x) = sin (2x + 1)
Pembahasan
Misalkan:
u = 3x ⇒ u’ = 3
f(x) = sin 3x
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos 3x . 3
f'(x) = 3 cos 3x
b. f(x) = sin x2
Misalkan:
u = x2 ⇒ u’ = 2x
f(x) = sin x2
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos x2 . 2x
f'(x) = 2x cos x2
c. f(x) = sin 3x2
Misalkan:
u = 3x2 ⇒ u’ = 6x
f(x) = sin 3x2
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos 3x2 . 6x
f'(x) = 6x cos 3x2
d. f(x) = sin (2x + 1)
Misalkan:
u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2
f(x) = sin (2x + 1)
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos (2x + 1) . 2
f'(x) = 2 cos (2x + 1)
Soal No.4
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = cos 3x
b. f(x) = cos x2
c. f(x) = cos 3x2
d. f(x) = cos (2x + 1)
Pembahasan
Misalkan:
u = 3x ⇒ u’ = 3
f(x) = cos 3x
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin 3x . 3
f'(x) = -3 sinx 3x
b. f(x) = cos x2
Misalkan:
u = x2 ⇒ u’ = 2x
f(x) = cos x2
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin x2 . 2x
f'(x) = -2x sin x2
c. f(x) = cos 3x2
Misalkan:
u = 3x2 ⇒ u’ = 6x
f(x) = cos 3x2
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin 3x2 . 6x
f'(x) = -6x sin 3x2
d. f(x) = cos (2x + 1)
Misalkan:
u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2
f(x) = cos (2x + 1)
f'(x) = -sin u . u’
f'(x) = -sin (2x + 1) . 2
f'(x) = -2 sin (2x + 1)
Soal No.5
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin (x2 + 3x + 1)
b. f(x) = cot (x3 + 3x2 + 1)
Pembahasan
Misalkan: u = x2 + 3x + 1 ⇒ u’ = 2x + 3
f(x) = sin (x2 + 3x + 1)
f'(x) = cos u . u’
f'(x) = cos (x2 + 3x + 1) . (2x + 3)
f'(x) = (2x + 3) cos (x2 + 3x + 1)
b. f(x) = cot (x3 + 3x2 + 1)
Misalkan : u = x3 + 3x2 + 1 ⇒ u’ = 3x2 + 6x
f(x) = cot (x3 + 3x2 + 1)
f'(x) = -csc2 u . u’
f'(x) = -csc2 (x3 + 3x2 + 1) . (3x2 + 6x)
f'(x) = -(3x2 + 6x) . csc2 (x3 + 3x2 + 1)
Soal No.6
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = sin x cos 3x
b. f(x) = tan x cos 4x
Pembahasan
Misal :
u = sin x ⇒ u’ = cos x
v = cos 3x ⇒ v’ = -3 sin 3x
Turunan dari bentuk fungsi tersebut adalah :
f'(x) = u’ . v + u . v’
f'(x) = cos x . cos 3x + sin x . -3 sin 3x
f'(x) = cos x . cos 3x − 3 sin x. sin 3x
b. f(x) = tan x cos 4x
Misal :
u = tan x ⇒ u’ = sec2x
v = cos 4x ⇒ v’ = -4 sin 4x
Turunan dari bentuk fungsi tersebut adalah :
f'(x) = u’ . v + u . v’
f'(x) = sec2x . cos 4x + tan x . -4 sin 4x
f'(x) = sec2x . cos 4x – 4 tan x . sin 4x
Soal No.7
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y =
Pembahasan
u = 1 + cos x ⇒ u’ = -sin x
v = sin x ⇒ v’ = cos x
Maka :
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
Soal No.8
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y = sin2 (2x + 3)
Pembahasan
g(x) = 2x + 3 ⇒ g'(x) = 2
Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat :
y = c sinn g(x)
y’ = c. n sinn-1 g(x) . cos g(x) . g'(x)
Sehingga : y = sin2 (2x + 3)
y = sin(2x + 3)2
y’ = c. n sinn-1 g(x) . cos g(x) . g'(x)
y’ = 2 sin2-1 (2x + 3) . cos (2x + 3).(2)
y’ = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
Soal No.9
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y = cos2 (2x2 + 3)
Pembahasan
g(x) = (2x2) + 3 ⇒ g'(x) = 4x
Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat :
y = c cosn g(x)
y’ = -c. n cosn-1 g(x) . sin g(x) . g'(x)
Sehingga :
y = cos2 (2x2 + 3)
y = cos(2x2 + 3)2
y’ = -c. n cosn-1 g(x) . sin g(x) . g'(x)
y’ = -2 cos2-1 (2x2 + 3) . sin (2x2 + 3) . 4x
y’ = -8x cos (2x2 + 3) . sin (2x2 + 3)
Soal No.10
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
y = (sin x + cos x)s
Pembahasan :
g(x) = sin x + cos x ⇒ g'(x) = cos x – sin x
y = (sin x + cos x)2
y’ = n [g(x)]n-1. g ‘(x)
y’ = 2 (sin x + cos x)2-1.(cos x − sin x)
y’ = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
y’ = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
y’ = 2 (cos2 x − sin2 x)
y’ = 2 (cos2 x − (1 − cos2 x))
y’ = 2 (2cos2 x − 1)
y’ = 4cos2 x − 2.
Soal No.11
Carilah turunan dari y = x2 cos 2x ?
Pembahasan
u = x2 ⇒ u’= 2x
v = cos 2x ⇒ v’= −2 sin 2x
y’ = u’.v + u.v’
y’ = 2x . cos 2x + (x2) . (−2 sin 2x)
y’ = 2x cos 2x − 2x2 sin 2x
y’ = 2x(cos 2x − x sin 2x)
Soal No.12
Carilah turunan dari Tentukan turunan y = sin6(x2 + 3x) ?
Pembahasan
g(x) = (x2 + 3x) ⇒ g'(x) = 2x + 3
Rumus turunan untuk fungsi trigonometri berpangkat :
y = c sinn g(x)
y’ = c. n sinn-1 g(x) . cos g(x) . g'(x)
y’ = 6 sin5 (x2 + 3x) . cos (x2 + 3x) . (2x + 3)
y’ = 6(2x + 3) sin5 (x2 + 3x) . cos(x2 + 3x)