Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k), maka sisa pembagian S ditentukan oleh S = f(k). Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), maka sisa pembagian s diputuskan oleh:
S = f($-\frac b a $)
Untuk lebih mengerti pembagian suku banyak f(x) dibagi dengan (x – k) dan (ax + b), simak beberapa soal dan pembahasan teorema sisa berikut.
Soal dan Pembahasan Teorema Sisa Suku Banyak
Soal ❶
Jika suku banyak f(x) = x⁴ + 3x³ + x² – (p + 1)x + 1 dibagi oleh (x – 2) sisanya ialah 35. Nilai p = …..
A. 4
B. 3
C. -4
D. -3
E. 0
Pembahasan:
f(x) = x⁴ + 3x³ + x² – (p + 1)x + 1 dibagi oleh (x – 2), maka sisanya yaitu f(2).
f(2) = (2)⁴ + 3(2)³ + (2)² – (p + 1)(2) + 1
f(2) = 16 + 24 + 4 – 2p – 2 + 1
f(2) = 43 – 2p
Karena sisa = f(2) = 35, maka:
43 – 2p = 35
<=> -2p = 35 – 43
<=> -2p = -8
<=> p = -8/-2
<=> p = 4
(JAWABAN: A)
f(2) = (2)⁴ + 3(2)³ + (2)² – (p + 1)(2) + 1
f(2) = 16 + 24 + 4 – 2p – 2 + 1
f(2) = 43 – 2p
Karena sisa = f(2) = 35, maka:
43 – 2p = 35
<=> -2p = 35 – 43
<=> -2p = -8
<=> p = -8/-2
<=> p = 4
(JAWABAN: A)
Soal ❷
Suku banyak 6x³ + 7x² + px – 24 habis dibagi oleh 2x – 3. Nilai p = …..
A. -24
B. -9
C. -8
D. 29
E. 24
Pembahasan:
Misalkan f(x) = 6x³ + 7x² + px – 24
Karena f(x) habis dibagi oleh (2x – 3) maka sisa pembagiannya = f($\frac 3 2 $) = 0
f($\frac 3 2 $) = 6($\frac 3 2 $)³ + 7($\frac 3 2 $)² + p($\frac 3 2 $) – 24
f($\frac 3 2 $) = 6($\frac 27 8 $) + 7($\frac 9 4 $) + $\frac 3p 2 $ – 24
f($\frac 3 2 $) = $\frac 162 8 $ + $\frac 63 4 $ + $\frac 3p 2 $ – 24
f($\frac 3 2 $) = $\frac 162 8 $ + $\frac 126 8 $ + $\frac 12p 8 $ – 24
f($\frac 3 2 $) = $\frac 288 + 12p 8 $ – 24
Karena f($\frac 3 2 $) = 0, maka:
Karena f(x) habis dibagi oleh (2x – 3) maka sisa pembagiannya = f($\frac 3 2 $) = 0
f($\frac 3 2 $) = 6($\frac 3 2 $)³ + 7($\frac 3 2 $)² + p($\frac 3 2 $) – 24
f($\frac 3 2 $) = 6($\frac 27 8 $) + 7($\frac 9 4 $) + $\frac 3p 2 $ – 24
f($\frac 3 2 $) = $\frac 162 8 $ + $\frac 63 4 $ + $\frac 3p 2 $ – 24
f($\frac 3 2 $) = $\frac 162 8 $ + $\frac 126 8 $ + $\frac 12p 8 $ – 24
f($\frac 3 2 $) = $\frac 288 + 12p 8 $ – 24
Karena f($\frac 3 2 $) = 0, maka:
$\frac 288 + 12p 8 $ – 24 = 0
<=> $\frac 288 + 12p 8 $ = 24
<=> 288 + 12p = 24 x 8
<=> 288 + 12p = 192
<=> 12p = 192 – 288
<=> 12p = -96
<=> p = -96/12
<=> p = -8
(JAWABAN: C)
<=> $\frac 288 + 12p 8 $ = 24
<=> 288 + 12p = 24 x 8
<=> 288 + 12p = 192
<=> 12p = 192 – 288
<=> 12p = -96
<=> p = -96/12
<=> p = -8
(JAWABAN: C)
Soal ❸
Fungsi f(x) dibagi (x – 1) sisanya 3, sedangkan jikalau dibagi (x – 2) sisanya 4. Jika dibagi x² – 3x + 2, maka sisanya yaitu…..
A. 2x + 1
B. -x – 2
C. x + 2
D. 2x – 3
E. x + 1
Pembahasan:
f(x) dibagi (x – 1) sisanya 3, maka f(1) = 3
f(x) dibagi (x – 2) sisanya 4, maka f(2) = 4
f(x) dibagi (x – 2) sisanya 4, maka f(2) = 4
Jika f(x) dibagi oleh x² – 3x + 2, maka diperoleh hasil H(x) dan sisa pembagiannya S(x). Sisa pembagian S(x) ialah berderajat 1.
Misalkan S(x) = px + q, maka:
f(x) = (x² – 3x + 2).H(x) + S(x)
f(x) = (x – 1)(x – 2).H(x) + (px + q)
Subtitusi nilai-nilai nol dari pembagi, yakni x = 1 dan x = 2 ke persamaan f(x).
* Untuk x = 1
f(1) = (1 – 1)(1 – 2).H(1) + (p(1) + q)
<=> 3 = 0.(-1).H(1) + (p + q)
<=> 3 = p + q ……………(1)
* Untuk x = 2
f(2) = (2 – 1)(2 – 2).H(2) + (p(2) + q)
<=> 4 = 1.0.H(2) + (2p + q)
<=> 4 = 2p + q ………….(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
p + q = 3
2p + q = 4 –
<=> -p = -1
<=> p = 1
Subtitusi nilai p = 1 ke persamaan (1) diperoleh q = 2.
Kaprikornus, sisa pembagiannya yaitu x + 2.
(JAWABAN : C)
Misalkan S(x) = px + q, maka:
f(x) = (x² – 3x + 2).H(x) + S(x)
f(x) = (x – 1)(x – 2).H(x) + (px + q)
Subtitusi nilai-nilai nol dari pembagi, yakni x = 1 dan x = 2 ke persamaan f(x).
* Untuk x = 1
f(1) = (1 – 1)(1 – 2).H(1) + (p(1) + q)
<=> 3 = 0.(-1).H(1) + (p + q)
<=> 3 = p + q ……………(1)
* Untuk x = 2
f(2) = (2 – 1)(2 – 2).H(2) + (p(2) + q)
<=> 4 = 1.0.H(2) + (2p + q)
<=> 4 = 2p + q ………….(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
p + q = 3
2p + q = 4 –
<=> -p = -1
<=> p = 1
Subtitusi nilai p = 1 ke persamaan (1) diperoleh q = 2.
Kaprikornus, sisa pembagiannya yaitu x + 2.
(JAWABAN : C)
Soal ❹
Suatu suku banyak f(x) dibagi dibagi (x + 2) sisanya -1, dan jika dibagi (x – 1) sisanya 2. Sisanya jika dibagi (x² + x – 2) ialah …..
A. x – 4
B. x + 3
C. x + 2
D. x – 2
E. x + 1
Pembahasan:
f(x) dibagi (x + 2) sisanya -1, maka f(-2) = -1
f(x) dibagi (x – 1) sisanya 2, maka f(1) = 2
f(x) dibagi (x – 1) sisanya 2, maka f(1) = 2
Jika f(x) dibagi oleh x² + x – 2, maka diperoleh hasil H(x) dan sisa pembagiannya S(x). Sisa pembagian S(x) yakni berderajat 1.
Misalkan S(x) = px + q, maka:
f(x) = (x² + x – 2).H(x) + S(x)
f(x) = (x + 2)(x – 1).H(x) + (px + q)
Subtitusi nilai-nilai nol dari pembagi, yakni x = -2 dan x = 1 ke persamaan f(x).
* Untuk x = -2
f(-2) = ((-2) + 2)((-2) – 1).H(-2) + (p(-2) + q)
<=> -1 = 0.(-3).H(-2) + (-2p + q)
<=> -1 = -2p + q ……………(1)
* Untuk x = 1
f(1) = (1 + 2)(1 – 1).H(1) + (p(1) + q)
<=> 2 = 3.0.H(1) + (p + q)
<=> 2 = p + q ………….(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
-2p + q = -1
p + q = 2 –
<=> -3p = -3
<=> p = 1
Subtitusi nilai p = 1 ke persamaan (1) diperoleh q = 1.
Makara, sisa pembagiannya yaitu x + 1.
(JAWABAN : E)
Misalkan S(x) = px + q, maka:
f(x) = (x² + x – 2).H(x) + S(x)
f(x) = (x + 2)(x – 1).H(x) + (px + q)
Subtitusi nilai-nilai nol dari pembagi, yakni x = -2 dan x = 1 ke persamaan f(x).
* Untuk x = -2
f(-2) = ((-2) + 2)((-2) – 1).H(-2) + (p(-2) + q)
<=> -1 = 0.(-3).H(-2) + (-2p + q)
<=> -1 = -2p + q ……………(1)
* Untuk x = 1
f(1) = (1 + 2)(1 – 1).H(1) + (p(1) + q)
<=> 2 = 3.0.H(1) + (p + q)
<=> 2 = p + q ………….(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
-2p + q = -1
p + q = 2 –
<=> -3p = -3
<=> p = 1
Subtitusi nilai p = 1 ke persamaan (1) diperoleh q = 1.
Makara, sisa pembagiannya yaitu x + 1.
(JAWABAN : E)
Soal ❺
Jika f(x) dibagi oleh x² – x sisanya 5x + 1 dan kalau dibagi x² + x sisanya 3x + 1, maka bila f(x) dibagi x² – 1 sisanya yakni …..
A. -4x + 2
B. 4x + 2
C. 2x + 4
D. 2x – 4
E. -2x + 4
Pembahasan:
Jika f(x) dibagi oleh x² – x = x(x – 1) sisanya 5x + 1, maka:
f(0) = 5(0) + 1 = 1
f(1) = 5(1) + 1 = 6
Jika f(x) dibagi oleh x² + x = x(x + 1) sisanya 3x+ 1, maka:
f(0) = 3(0) + 1 =1
f(-2) = 3(-1) + 1 = -2
Pembagi x² – 1 berderajat 2 dan dapat difaktorkan menjadi (x+1)(x – 1) sehingga nilai-nilai nol pembagi itu yakni x = -1 dan x = 1.
Misalkan hasil baginya adalah H(x) dan sisa pembaginya S(x) = px + q, maka diperoleh korelasi:
f(x) = (x + 1)(x – 1).H(x) + (px + q)
* Untuk x = -1
f(0) = 5(0) + 1 = 1
f(1) = 5(1) + 1 = 6
Jika f(x) dibagi oleh x² + x = x(x + 1) sisanya 3x+ 1, maka:
f(0) = 3(0) + 1 =1
f(-2) = 3(-1) + 1 = -2
Pembagi x² – 1 berderajat 2 dan dapat difaktorkan menjadi (x+1)(x – 1) sehingga nilai-nilai nol pembagi itu yakni x = -1 dan x = 1.
Misalkan hasil baginya adalah H(x) dan sisa pembaginya S(x) = px + q, maka diperoleh korelasi:
f(x) = (x + 1)(x – 1).H(x) + (px + q)
* Untuk x = -1
f(-1) = ((-1) + 1)((-1) – 1).H(-1) + (p(-1) + q)
<=> -2 = 0.(-2).H(-1) + (-p + q)
<=> -2 = -p + q …………..(1)
* Untuk x = 1
f(1) = (1 + 1)(1 – 1).H(1) + (p(1) + q)
<=> 6 = 2.0.H(1) + (p + q)
<=> 6 = p + q …………….(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
-p + q = -2
p + q = 6 –
<=> -2p = -8
<=> p = -8/-2
<=> p= 4
Subtitusi nilai p = 4 ke persamaan (1):
-p + q = -2
-4 + q =-2
<=> q = -2 +4
<=> q = 2
Dengan demikian S(x) = 4x + 2.
Makara, sisa pembagiannya adalah 4x + 2.
(JAWABAN: B)
<=> -2 = 0.(-2).H(-1) + (-p + q)
<=> -2 = -p + q …………..(1)
* Untuk x = 1
f(1) = (1 + 1)(1 – 1).H(1) + (p(1) + q)
<=> 6 = 2.0.H(1) + (p + q)
<=> 6 = p + q …………….(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
-p + q = -2
p + q = 6 –
<=> -2p = -8
<=> p = -8/-2
<=> p= 4
Subtitusi nilai p = 4 ke persamaan (1):
-p + q = -2
-4 + q =-2
<=> q = -2 +4
<=> q = 2
Dengan demikian S(x) = 4x + 2.
Makara, sisa pembagiannya adalah 4x + 2.
(JAWABAN: B)
Soal ❻
Suku banyak P(x) dibagi oleh (x² – x – 2) sisanya (5x – 7), dan kalau dibagi oleh (x + 2) sisanya -13. Sisa pembagian suku banyak oleh (x² – 4) adalaha…..
A. 4x – 5
B. x – 15
C. -x – 15
D. 5x – 4
E. 8x – 5
Pembahasan:
Jika P(x) dibagi oleh x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1) sisanya 5x – 7, maka:
P(2) = 5(2) – 7 = 3
P(-1) = 5(-1) – 7 = -12
Jika P(x) dibagi oleh x + 2 sisanya -13, maka:
P(-2) = -13
P(2) = 5(2) – 7 = 3
P(-1) = 5(-1) – 7 = -12
Jika P(x) dibagi oleh x + 2 sisanya -13, maka:
P(-2) = -13
Pembagi x² – 4 berderajat 2 dan mampu difaktorkan menjadi (x – 2)(x + 2) sehingga nilai-nilai nol pembagi itu adalah x = 2 dan x = -2.
Misalkan hasil baginya adalah H(x) dan sisa pembaginya S(x) = px + q, maka diperoleh hubungan:
P(x) = (x – 2)(x + 2).H(x) + (px + q)
* Untuk x = 2
P(2) = (2 – 2)(2 + 2).H(2) + (p(2) + q)
<=> 3 = 0.(4).H(2) + (2p + q)
<=> 3 = 2p + q …………..(1)
* Untuk x = 1
P(-2) = (-2 – 2)(-2 + 2).H(-2) + (p(-2) + q)
<=> -13 = (-4).0.H(-2) + (-2p + q)
<=> -13 = -2p + q …………….(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2p + q = 3
-2p + q = -13 +
<=> 2q = -10
<=> q = -10/2
<=> q = -5
Subtitusi nilai q = -5 ke persamaan (1):
2p + q = 3
2p -5 = 3
<=> 2p = 3 +5
<=> 2p = 8
<=> p =8/2
<=> p = 4
Dengan demikian S(x) = 4x – 5.
Kaprikornus, sisa pembagiannya yakni 4x – 5.
(JAWABAN: A)
Soal ❼
Diketahui suku banyak f(x) bila dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi (x + 1) bersisa -9 dan kalau dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x² – 2x – 3) adalah …..
A. -x + 7
B. 6x – 3
C. -6x – 21
D. 11x – 13
E. 33x – 39
Pembahasan:
* f(x) dibagi (x + 1) sisanya 8, maka f(-1) = 8
f(x) dibagi (x – 3) sisanya 4, maka f(3) = 4
* g(x) dibagi (x + 1) sisanya -9, maka f(-1) = -9
g(x)dibagi (x – 3) sisanya 15, maka f(3) = 15
Karena h(x) = f(x).g(x), maka:
* h(-1) = f(-1).g(-1)
= 8 . (-9)
= -72
h(3) = f(3).g(3)
= 4 . 15
= 60
f(x) dibagi (x – 3) sisanya 4, maka f(3) = 4
* g(x) dibagi (x + 1) sisanya -9, maka f(-1) = -9
g(x)dibagi (x – 3) sisanya 15, maka f(3) = 15
Karena h(x) = f(x).g(x), maka:
* h(-1) = f(-1).g(-1)
= 8 . (-9)
= -72
h(3) = f(3).g(3)
= 4 . 15
= 60
Pembagi x² – 2x – 3 berderajat 2 dan dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 3) sehingga nilai-nilai nol pembagi itu adalah x = -1 dan x = 3.
Misalkan hasil baginya adalah H(x) dan sisa pembaginya S(x) = px + q, maka diperoleh kekerabatan:
h(x) = (x + 1)(x – 3).H(x) + (px + q)
* Untuk x = -1
Misalkan hasil baginya adalah H(x) dan sisa pembaginya S(x) = px + q, maka diperoleh kekerabatan:
h(x) = (x + 1)(x – 3).H(x) + (px + q)
* Untuk x = -1
h(-1) = (-1+ 1)((-1) – 3).H(-1) + (p(-1) + q)
-72 = 0.(-4).H(-1) + (-p + q)
-72 = -p + q …………….(1)
* Untuk x = 3
h(3) = (3 + 1)(3 – 3).H(3) + (p(3) + q)
60 = 4.0.H(3) + (3p + q)
60 = 3p + q …………..(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
-p + q = -72
3p + q = 60 –
<=> -4p = -132
<=> p = -132/-4
<=> p =33
Subtitusi nilai p = 33 ke persamaan (1):
-p + q = -72
-33 + q = -72
<=> q = -72 + 33
<=> q = -39
Dengan demikian S(x) = 33x – 39.
Makara, sisa pembagian h(x) oleh (x² – 2x – 3) yaitu 33x – 39.
(JAWABAN : E)
-72 = 0.(-4).H(-1) + (-p + q)
-72 = -p + q …………….(1)
* Untuk x = 3
h(3) = (3 + 1)(3 – 3).H(3) + (p(3) + q)
60 = 4.0.H(3) + (3p + q)
60 = 3p + q …………..(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
-p + q = -72
3p + q = 60 –
<=> -4p = -132
<=> p = -132/-4
<=> p =33
Subtitusi nilai p = 33 ke persamaan (1):
-p + q = -72
-33 + q = -72
<=> q = -72 + 33
<=> q = -39
Dengan demikian S(x) = 33x – 39.
Makara, sisa pembagian h(x) oleh (x² – 2x – 3) yaitu 33x – 39.
(JAWABAN : E)
Demikian artikel “Soal dan Pembahasan Teorema Sisa Suku Banyak” kali ini,gampang-mudahan dapat diketahui dan memudahkan anda menuntaskan soal-soal yang berkaitan dengan teorema sisa suku banyak.