Contoh Soal Barisan Dan Deret Geometri Beserta Jawabannya

by

Tutorial Matematika edisi kali ini akan membahas perihal barisan dan deret geometri, dimana dalam bimbingan ini akan diberikan beberapa pola soal beserta dengan pembahasannya.  Tentunya soal-soal tersebut akan diberikan sewaktu kita sudah memahami perihal dasar-dasar barisan dan deret geometri.

Pada pembahasan sebelumnya dengan judul : Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika beserta Jawabannya, kita sudah menjajal memahami barisan dan deret aritmatika dengan beberapa pola soal. Lanjutan bimbingan kita kali mencoba ihwal barisan dan deret geometri.

Barisan dan Deret Geometri

Terlebih dulu kita akan mengetahui desain awal atau dasar-dasar dari barisan geometri yang meliputi :

  • Apa itu barisan geometri ?
  • Apa itu deret geometri ?

Apa itu Barisan Geometri ?

Barisan geometri yaitu barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Jika dalam barisan aritmatika, selisih antara satu suku dengan suku berikutnya disebut dengan nilai beda. Sedangkan dalam barisan geometri selisih antar suku diistilahkan dengan rasio ( dilambangkan dengan r).

Misalkan dikenali barisan mirip dibawah ini :

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yakni 3 atau r = 3. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Contoh lain dari Barisan Geometri:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …

Barisan ini memiliki rasio 2 (r=2)
Setiap suku(kecuali suku pertama) merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan 2.

Secara lazim kita dapat menulis Barisan (Urutan) Geometrik seperti berikut :

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7…

dimana:

  • a yaitu suku pertama
  • r ialah rasio
  Rumus Barisan Dan Deret Aritmatika Dan Contoh Soal

Rumus-Rumus Barisan Geometri

1. Untuk mencari Suku ke-n :

Un = ar(n-1)
dimana :

  • Un adalah suku ke-n
  • a menyatakan suku pertama
  • r menyatakan rasio
  • n menyatakan banyaknya suku

2. Untuk mencari nilai rasio(r) :

r = Un U(n-1)
dimana :

  • r adalah rasio
  • Un adalah suku ke-n
  • U(n-1) adalah suku ke-n sebelumnya

3. Mencari Suku Tengah 
Kita mampu mencari suku tengah untuk suatu barisan geometri yang memilliki n suku ganjil (banyaknya suku harus ganjil) dimana dikenali suku pertama dan rasio, maka dipakai rumus:

Ut = √a . rn

dimana:

  • Ut yakni suku tengah
  • a ialah suku pertama
  • n menyatakan banyaknya suku
  • r yakni rasio

Namun jikalau untuk mencari suku tengah yang kondisinya cuma dimengerti suku pertama, banyaknya n suku dan suku terakhir, maka rumusnya:

Ut = √a . Un

dimana :

  • Ut yaitu suku tengah
  • a yaitu suku pertama
  • Un yaitu suku ke-n (dalam hal ini sebagai suku terakhir)

Apa itu Deret Geometri ?

Sama halnya seperti deret aritmatika yang merupakan jumlah dari barisan aritmatika, maka deret geometri adalah hasil penjumlahan dari nilai suku suku suatu barisan geometri. Deret geometri diketahui juga dengan sebutan deret ukur.
Contoh:

  • 1 + 2 + 4 + 8 +16+32
  • 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96
Untuk menghitung deret geometri terdapat dua rumus, yakni :
  • Rumus Deret Geometri Turun
    Rumus deret geometri turun cuma bisa dipakai jikalau 0 < r < 1
    Sn = a(1 – rn) 1 – r
    dimana :

    • Sn yaitu jumlah deret suku ke-n
    • a ialah suku pertama
    • r ialah rasio
    • n ialah banyaknya suku

  • Rumus Deret Geometri Naik
    Rumus deret geometri naik hanya bisa digunakan jika r > 1.
    Sn = a(rn-1) r – 1
    dimana :

    • Sn yaitu jumlah deret suku ke-n
    • a yaitu suku pertama
    • r yaitu rasio
    • n ialah banyaknya suku

Deret Geometri Tak Hingga

Dalam aneka macam soal cobaan sering ditanyakan jumlah suku tak sampai dari suatu deret geometri.

Lalu kira-kira mirip apa deret goemtri tak sampai tersebut ?

Deret Geometri Tak Hingga yaitu penjumlahan suku-suku dalam suatu barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas atau bisa dikatakan tak terhingga suku-suku yang akan kita jumlahkan.

  Rumus Jarak pada Peta, Skala, Jarak Sebenarnya

Notasi untuk menyatakan deret geometri tak hingga ialah S∞

Karena Deret Geometri Tak Hingga merupakan penjumlahan suku-suku barisan geometri yang tidak terbatas jumlah sukunya, maka secara matematatis deret geometri tak hingga dirumuskan selaku berikut :

S∞ = U1 + U2 + U3 + U4…..

atau mampu juga ditulis dengan rumus berikut :

S∞ =

a/1 – r

Latihan Soal

Soal No.1

Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12….maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :
a. 128
b. 192
c.  64
d. 190

Pembahasan

a = 3
r = 2
Un = ar(n-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 192

Jawab : b

Soal No.2

Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut :
a. 4
b. 3
c. 2
d. 9

Pembahasan

Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka:
Un = 243
U(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = Un U(n-1) = 243 81= 3

Jawab :b


Soal No.3

Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80,  …. , 5120. Nilai suku tengahnya ialah :
a. 160
b. 320
c. 510
d. 640

Pembahasan

a = 5
Un = 5120

Ut = √a . Un
Ut = √5 . 5120= √25600 = 160

Jawab :a

Soal No.4

Terdapat suatu barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya yakni 3 dan rasionya ialah 3. Berapakah suku tengahnya ?
a. 27
b. 81
c. 243
d. 9

Pembahasan

a = 3
r = 3
n = 5

Ut = √a . rn= √3 . 35=729 = 27

Jawab : a

Untuk mempertajam pengertian teladan soal di atas, simak ulasan dalam bentuk video berikut ini (dijamin paham):

Soal No.5

Diketahui barisan geometri dengan U5 = 6 dan U9 = 24. Maka suku ke-4 barisan tersebut ialah …
A. 4√3
B. 3√3
C. 3√2
D. 2√3

Pembahasan

Un = ar(n-1)

U5 = ar(5-1)
6 = ar4

U9 = ar(9-1)
24 = ar8
24 = ar4 . r4
24 = 6 . r4
24/6 = r4
r4 = 4
r = 4√4
r = 4¼
r = 2 2 . ¼
r = 2 ½
r = √2

  Titik P(3, 5) dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (0, 0)

Masukkan nilai r pada U5:
6 = ar4
6 = a(√24)
6 = a(4)
a =

3/2

U4 = ar4-1
U4 = ar3
U4 =

3/2

(√2)3
U4 =

3/2

2√2)
U4 = 3√2

Jawab : C

Soal No.6

Pertumbuhan basil mengikuti pola barisan geometri. Setiap satu detik basil meningkat biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah kuman sebelumnya. Jika pada ketika permulaan terdapat 5 bakteri, maka jumlah bakteri menjelma 320 bakteri sehabis ….
A. 6 detik
B. 8 detik
C. 9 detik
D. 11 detik

Pembahasan

Setiap satu detik bakteri meningkat biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah basil sebelumnya.
Pernyataan tersebut dapat kita simpulkan rasio (r) = 2

Jika pada dikala permulaan terdapat 5 kuman
Pernyataan ini bisa simpulkan bahwa suku pertama (a) = 5

Jumlah bakteri berkembang menjadi 320 basil.
Pernyataan di atas memiliki arti : Suku ke-n (Un) = 320

Sekarang kita sudah mampu yang dimengerti yakni :
r = 2
a = 5
Un = 320

Yang ditanyakan adalah : suku ke-n (detik ke berapa) ?

Un = arn-1
320 = 5.2n-1
320 5 = 2n-1
64 = 2n-1
25 = 2n-1
5 = n-1
5 + 1 = n
n = 6

Kaprikornus jumlah bakteri menjelma 320 kuman setelah 6 detik

Jawab : A

Soal No.7

Diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 =

1 /x

dan suku ke-7 =

1 /x6

. Dengan demikian suku ke-10 nya ialah ….
A.

1 /x8

B.

1 /x9

C.

1 /x10

D.

1 /x11

Pembahasan

ar =

1 /x

… (i)
ar6 =

1 /x6

ar.r5 =

1 /x6

… (ii)

1 /x

. r5 =

1 /x6

r5 = (

1 /x6

) . x
r5 =

1 /x5

r =

1 /x

a = 1
U10 = ar9 = 1. (

1 /x

)9 =

1 / x9

Jawab : B

Soal No.8

Jika diketahui suatu deret geometri dengan U1 = 2 dan mempunyai rasio 3 serta suku tengahnya ialah 54. Tentukanlah nilai suku terakhir dari deret tersebut ?

Pembahasan

U1 = a = 2
r = 3
Ut = 54

Ut = √a . Un

54 = √2 . Un

542 = (√2 . Un)2

542 = 2 . Un
2916 = 2Un
2Un
= 2916
Un =

2916 /2

Un = 1458

Dengan demikian, suku terakhir (Un) dari deret tersebut yaitu 1458.

Soal No.9

Suku pertama dan rasio antar suku dari suatu barisan geometri berturut-turut ialah 10 dan

2/3

. Jumlah tak sampai dari deret tersebut yakni …
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40

Pembahasan

a = 10
r =

2/3

S∞ =

a/1 – r

S∞ =

10/1 – 2 3

S∞ =

10/ 1 3

S∞ = 10 x 3
S∞ = 30

Jawab : C