Pemfaktoran – Media Masyarakat

Daftar Isi

Rangkuman teknik dan cara pemfaktoran bentuk aljabar matematika

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html

Pemfaktoranbentuk aljabar adalah perubahan bentuk penjumlahan suku-suku aljabar kedalam bentuk perkalian atas faktor-faktornya. Contohnya bx + by = b(x+y), perkalian faktor-faktornya adalah b dan ( x + y ).

Rumus Pemfaktoran Bentuk Suku Aljabar SMP Kelas 8

Materi prasyarat aljabar SMP Kelas 7 tentunya sangat berguna untuk mempelajari materi ini jadi direview lagi ya.

Jenis- jenis Pemfaktoran

a. Pemfaktoran bentuk ax + ay

Pemfaktoranjenis ini menggunakan sifat distributif penjumlahan atau pengurangan

Contoh soal pemfaktoran :

Faktorkanlah!

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

b. Pemfaktoran bentuk a(x + y) + b (x + y ) = ( a + b ) ( x + y )

Rumus:

Contoh soal pemfaktoran bentuk diatas, yaitu

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini:

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$
$\\(4)\, x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)\\\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)$

c. Pemfaktoran bentuk kuadrat sempurna

Rumus pemfaktoran bentuk kuadrat sempurna adalah:

Contoh soal pemfaktoran bentuk kuadrat sempurna, simaklah soal-soal dibawah ini,

Faktorkanlah soal-soal berikut ini!

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

d. Pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat

Rumus pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat adalah :

Dibawah ini adalah contoh soal pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat, disimak ya!

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$
$\\(4)\, x^3y^2-xz^2=x(x^2y^2-z^2)=x(xy+z)(xy-z)$

(5). $a^2-b^2-c^2+d^2+2ad+2bc$

[Penyelesaian]

$\\\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2+d^2+2ad+2bc\\\\\Leftrightarrow (a^2+2ad+d^2)-(b^2-2bc+c^)\\\\\Leftrightarrow(a+d)^2-(b-c)^2=\left \{ (a+d)+(b-c) \right \}\left \{ (a+d)-(b-c) \right \} \\\\\Leftrightarrow (a+b-c+d)(a-b+c+d)$

e.Pemfaktoran jumlah dua kubik dan selisih dua kubik

Bentuk pemfaktoran jumlah dan selisih dua kubik ada juga yang menyebutnya dengan pemfaktoran pangkat 3, formula atau rumus pemfaktoran jumlah dua kubik dan selisih dua kubik atau pangkat 3 adalah:

Jumlah Dua Kubik :

Selisih Dua Kubik:

Coba perhatikan contoh soal pemfaktoran bentuk jumlah dua kubik dan selisih dua kubik dibawah ini

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

(3). $\small 64y-y^4$

[Penyelesaian]

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

(4). $\small 8(x+y)^3-y^3$

[Penyelesaian]

$\\\Leftrightarrow 8(x+y)^3-y^3\\\Leftrightarrow \left \{ 2(x+y)^3 \right \}-y^3\\\Leftrightarrow\left \{ 2(x+y)-y \right \}\left [ \left \{ 2(x+y) \right \}^2+2y(x+y)+y^2 \right ] \\\Leftrightarrow (2x+y)\left [ \left \{ 4(x^2+2xy+y^2)+2xy+2y^2+y^2 \right \} \right ]\\\Leftrightarrow (2x+y)(4x^2+10xy+7y^2)$

(5). $a^3-b^3-3ab(a-b)$

[Penyelesaian]

$\\\Leftrightarrow a^3-b^3-3ab(a-b)\\\Leftrightarrow (a^3-b^3)-3ab(a-b)\\\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)-3ab(a-b)\\\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2-3ab)\\\Leftrightarrow (a-b)(a^2-2ab+b^2)\\\Leftrightarrow (a-b)(a-b)^2\\\Leftrightarrow (a-b)^3$

f. Pemfaktoran bentuk ax²+ bx + c

Pemfaktoran bentuk ax²+ bx + c , a = 1

Contoh soal pemfaktoran bentuk ini yaitu:

Contoh soal :
$\\(1)\, x^2+8x+15=(x+5)(x+3)\\(2)\, x^2-5x-14=(x-7)(x+2)\\(3)\, -x^2-3x+28=-(x^2+3x-28)=-(x+7)(x-4)\\(4)-3ax^2-9ax+30a=-3a(x^2+3x-10) \\\Leftrightarrow -3a(x-2)(x+5)\\(5)\, 2x^3+2x^2-4x=2x(x^2+x-2)\\\Leftrightarrow 2x(x-1)(x+2)$

Pemfaktoran bentuk ax²+ bx + c , a ≠ 1

Contoh 1 :

Contoh 2 :

Contoh 3 :

Contoh soal -soal pemfaktoran dengan a ≠ 1

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

Cara pemfaktoran fungsi persamaan kuadrat

Saya sudah membuat postingan tersendiri dibagian lain blog ini tentang persamaan kuadrat klik tulisan berwarna tersebut, saya sudah membahasnya lebih lengkap disana.

g. Pemfaktoran dengan rumus abc

Memfaktorkan bentuk aljabar dapat juga menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc yaitu :

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

Perhatikan contoh-contoh memfaktoran dengan rumus abc dibawah ini:

Faktorkanlah fungsi kuadrat dibawah ini dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc!

(1). $6x^2-13x+6$

[Penyelesaian]
a = 6 ; b = -13 dan c = 6

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

Persamaan kuadratnya adalah:
$\\=a(x-x_{1})(x-x_{2})\\=6(x-\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})\\\\=2(x-\frac{3}{2})\times 3(x-\frac{2}{3})\\=(2x-3)(3x-2)\\\\\therefore \, {\color{Red} 6x^2-13x+6=}{\color{Red} (2x-3)(3x-2)}$

(2). $15x^2-2x-24$

[Penyelesaian]
a = 15 ; b = -2 ; c = – 24

$\\=\frac{2\pm\sqrt{-2^2-4.15.(-24)}}{2.15}\\\\=\frac{2\pm\sqrt{1444}}{30}\\\\=\frac{2\pm38}{30}\\\\x_{1}=\frac{4}{3}\: dan\: x_{2}=\frac{-6}{5}$

Persamaan kuadratnya adalah:
$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

(3). $x^2-\sqrt{2}x-12$

[Penyelesaian]

a = 1 ; b = – √ 2 dan c = –12

$\\x_{1,2}=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{(\sqrt{2})^2-4.1.(-12)}}{2}\\\\=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{50}}{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}\pm5\sqrt{2}}{2}\\\\x_{1}=3\sqrt{2}\: \,\: atau\:\,\: x_{2}=-2\sqrt{2}$

Persamaan kuadratnya adalah:
$\\\Leftrightarrow a(x- x_{1})(x-x_{2})\\\\\Leftrightarrow (x-3\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})\\\\\therefore x^2-2\sqrt{2}x-12={\color{Red} (x-3\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})}$

h. Pemfaktoran pangkat n

(1). jika aⁿ– bⁿ , maka dapat habis dibagi oleh ( a – b )

Contoh 1 :

Hitunglah:

$\frac{a^4-b^4}{a-b}$

[Penyelesaian]

$\\\frac{a^4-b^4}{a-b}=\frac{(a^2+b^2)(a^2-b^2)}{(a-b)}\\\\=\frac{(a^2+b^2)(a+b)(a-b)}{(a-b)}\\\\=(a^2+b^2)(a+b)\\\\=a^3+a^2b+ab^2+b^3$

Perhatikan bahwa semua tandanya + pangkat a turun dan pangkat b naik secara teratur

Contoh 2 :

Hitunglah :

$\frac{a^5-b^5}{a-b}$

[Penyelesaian]

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

Perhatikan bahwa semua tandanya + pangkat a turun dan pangkat b naik secara teratur

(2). jika aⁿ– bⁿ , untuk n genap maka dapat habis dibagi oleh (a + b)

Contoh:

Hitunglah:

$\\\frac{a^6-b^6}{a+b}$

[Penyelesaian]

$\\\frac{a^6-b^6}{a+b}=\frac{(a+b)(a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4-b^5)}{(a+b)}\\\\={\color{Red} a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4-b^5}$

Perhatikan tanda + dan – nya bergantian dan berakhir dengan tanda –pangkat a turun dan pangkat b naik secara teratur

(3). jika aⁿ– bⁿ , untuk n ganjil maka dapat habis dibagi oleh (a + b)

Hitunglah:

$\frac{a^5+b^5}{a+b}$

[Penyelesaian]

$\\\frac{a^5+b^5}{a+b}=\frac{(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}{a+b}\\\\={\color{Red} a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4}$

Perhatikan tanda + dan – nya bergantian dan berakhir dengan tanda + pangkat a turun dan pangkat b naik secara teratur.

Beberapa contoh pemfaktoran bentuk aljabar pangkat n yang lain

Sederhanakanlah bentuk berikut, $\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x^{2n}-2x^ny^n+y^{2n}}$

[Penyelesaian]

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

j. Pemfaktoran Pecahan Bentuk Aljabar

Menyederhanakan pecahan dalam bentuk aljabar

Prinsip dasar dalam menyederhanakan suatu pecahan aljabaradalah mengubah atau memanipulasi pecahan sehingga pembilang dan penyebut pecahan tersebut tidak lagi mempunyai faktor persekutuan terbesar (FPB). Cara menyederhanakan sebuah pecahan rasional adalah dengan membagi pecahan dengan FPB pembilang dan penyebutnya.

Contoh Soal menyederhanakan pecahan aljabar

Sederhanakanlah pecahan aljabar dibawah ini!

(1). $http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

[Penyelesaian]

$\small \\ \Leftrightarrow \frac{x^2-2x-9}{x^2-9}\\\\\Leftrightarrow \frac{(x-3)(x+1)}{(x+3)(x-3)}\\\\ \Leftrightarrow {\color{Red} \frac{(x+1)}{(x+3)}}$

(2). $\small \frac{12a+10}{6a^2-13a-15}$

[Penyelesaian]

$\small \\\Leftrightarrow \frac{12a +10}{6a^2-13a-15}\\\\\Leftrightarrow \frac{2(6a+5)}{(6a+5)(a-3)}\\\\\Leftrightarrow {\color{Red} \frac{2}{a-3}}$

Soal no 3 , no 4 dan no 5 dibawah ini merupakan variasi soal menyederhankan pecahan aljabar yang digabungkan dengan perkalian atau pembagian bentuk aljabar

(3). Sederhanakanlah perkalian pecahan bentuk aljabar berikut ini,

$\small \frac{(a-1)^2}{b^3}\times\frac{ab^2+b^2}{a^2- 1}$

[penyelesaian]

$\small \\\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2}{b^3}\times\frac{ab^2+b^2} {a^2-1}\\\\\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2}{b^3}\times \frac{b^2(a+1)}{(a+1)(a-1)}\\\\\Leftrightarrow {\color{Red} \frac{(a-1)}{b}}$

(4). Sederhanakanlah perkalian pecahan bentuk aljabar dibawah ini,

$\small \frac{12a^2-6a}{2a^2-a-1}\times \frac{4a^2-1}{12a^3+18a^2-12a}$

[penyelesaian]

$\small \\\Leftrightarrow \frac{12a^2-6a}{2a^2-a-1}\times \frac{4a^2-1}{12a^3+18a^2-12a}\\\\\Leftrightarrow \frac{6a(2a-1)} {(2a+1)(a-1)}\times\frac{(2a+1)(2a-1)}{6a(2a^2+3a-2)}\\\\\Leftrightarrow \frac{6a(2a-1)}{(2a+1)(a- 1)}\times\frac{(2a+1)(2a-1)}{6a(2a-1)(a+2)}\\\\\Leftrightarrow \frac{(2a-1)}{(a-1)(a+2)}$

(5). Sederhanakanlah pembagian pecahan bentuk aljabarberikut ini,

$\small \frac{x-y}{x^2+xy}\div \frac{xy-y^2} {x+y}$

[Penyelesaian]

$\small \\ \Leftrightarrow \frac{x-y} {x^2+xy}\div \frac{xy-y^2}{x+y}\\\\\Leftrightarrow \frac{(x-y)}{x(x+y)}\times\frac{(x+y)}{y(x-y)}\\ \\\Leftrightarrow {\color{Red} \frac{1}{xy}}$

k. Pemfaktoran Aljabar 2 Variabel

Pemfaktoran bentuk aljabar 2 variabel prinsipnya sama dengan teknik-teknik pemfaktoran yang sudah dibahas diatas, bedanya hanya terletak pada variabelnya saja yaitu mempunyai dua variabel. Berikut ini contoh soal pemfaktoran aljabar 2 variabel.

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar dibawah ini!

(1). $\small 2x^2+3xy-2y^2+2x-11y-2$

[Penyelesaian]

Susun persamaan menurut pangkat menurun dalam x,

(2). $http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/pemfaktoran.html$

[Penyelesaian]

Susun persamaan menurut pangkat menurun dalam x ,

Untuk soal no 3 dibawah ini caranya sama seperti soal no 1 dan 2,

(3). $\small 3a^2-5ab+2b^2-a-b-10$

[Penyelesaian]

Kelompokkan dan susun pangkat menurun dalam b atau dalam a, dalam soal ini urutan pangkat menurun dalam b

$\small \\ \Leftrightarrow 3a^2-5ab+2b^2-a-b-10\\\Leftrightarrow 2b^2-(5a+1)b+(3a^2-a-10)\\\Leftrightarrow 2b^2-(5a+1)b+(a-2)(3a+5)\\\Leftrightarrow \left \{ b-(a-2) \right \}\left \{ 2b-(3a+5) \right \}\\ \Leftrightarrow {\color{Red} (b-a+2)(2b-3a-5)}$

Semoga artikel yang sederhana ini bermanfaat , kami sangat senang berbagi pengetahuan. Kritik dan saran tinggalkan dikolom komentar, jangan lupa like fans page nya juga ya! Jika ada pertanyaan tentang bentuk-bentuk aljabar pemfaktoran.